2023线性代数练习题

一、单项选择题

1.若〃阶方阵人满足AAT=£则矩阵A的行列式同有()

A.|川二0;B.|A|=1;c.|川二一1;D.|A|=I或网=一1.

2.设48均为〃阶方阵，则必有()

A.|4+却=|川+|却；B.(A+8)T=A+8;

C.9.恸=|印网;D.(AB)T=ATBT.

3.设A,8均为〃阶方阵，且=则*出=()

A.。”；B.纥；C.2E”；D.无法判断.

Ax,+x3=0

4.若齐次线性方程组-玉=0有非零解，则人满足条件)

x,-x2=0

A.k=-1;B.k-1;C.2=1;D.k^\.

5.若〃阶方阵4满足则矩阵A的行列式同有()

A.|A|=0;B.同=1；C.|/1|=-1；D.|A|=1或网=-l.

6.设A,8均为〃阶方阵，k/0,则必有()

A.|4+臼=|川+恸；B.(M)T=M;

c.|A|.|B|=|B|-|A|；D.(M)-1=M-1.

7.设A,8均为〃阶方阵，且AB=E,则8%=()

A.O〃；B.B;C.A;D.E..

kX[+£=()

8,若齐次线性方程组・玉-玉=0只有零解，则攵满足条件)

x{-x2=0

A.k—1;B.k=—1;C.k=\\D.k^\.

(\in

9.若矩阵A=123不可逆，则人满足条件()

J3t,

A.fw5;B.Z=5;C./=—5;D.t4一5.

10.向量组1：%=(1,2,3)。2=(3,-1,2),。3=(2,3©线性相关,则c满足条件()

A.cw5;B.c=5;C.c=—5;D.CH-5.

11.若A—8,则下列命题错误的是()

A.A的行向量组与8的行向量组等价;B.R(A)=R(B);

C.A的列向量组与8的列向量组等价;D.AX=O与3X=0是同解的.

12.若向量组。,4,7线性无关；。，46线性相关，则（）.

A.a必可由线性表示；B.夕必不可由a,线性表示；

C.5必可由a,线性表示；D.5必不可由a,y线性表示.

’4812k、

13.设矩阵4=3696，若R（A）=2,则女满足条件（）

J232,

A.Z=8;B.%08;C.k=-8；D.kR-8.

14.设方阵X满足X2—X-2E=。，则下列命题错误的是（）

A.x-,=-（X-E）；B.（X-Er,=ix；C.X+2石可逆；D.X+2E不可逆.

2■

15.设有〃元非齐次线性方程组Ar=A,则下列命题错误的是（）.

A.=〃有唯一解的充要条件是A（A）=R（Ab）=n；

B.Ar=〃有两个不同的解，则At=〃有无穷多解.；

C.Av=。有两个不同的解，则/民=0的基础解系中含有两个以上向量；

D.若Ar=〃无解，则A（A）vR（A0.

二、填空题

1.设A,4都是〃阶可逆矩阵，则（ABV：，.

I23

2.设行列式。=4I-3,则42=-

-121

‘1-12、

3.设矩阵4=-132,贝UR（A）=.

\116Z

4.设A为3阶方阵，旦|川=2,则卜3川=,A2|=.

5.设矩阵A=『1则*=___________.

（53）

6.设A8都是〃阶可逆矩阵，则（A8）-=,（48）T=.

123

7.设行列式。=4I-3,贝=

-121

‘1-12、

8.设矩阵A=-12-3,则R(A)=

J01,

9.设A为3阶方阵，且|川=2,则卜川=，同=(W=■

10.设矩阵4=,则同=__________，A-'=___________.

（58J

‘X、

[1.设x=（芭,々,七），卜=%，则"=-----------•/=-----------------

12.设《二（1,1,1）,%=（出0力），臼=。，3,2）线性相关，则。/满足条件.

111、

13.若矩阵4=123不可逆，则k满足条件.

J3J

1-i1

14.设。=123则A2]—42+A23=

13-2

15,设&4）=〃v〃，则〃元齐次线性方程组.4丫=0的一个基础解系含个解向量.

三、计算题

1.计算下列行列式

111111bed

1m22b00

⑵。=

22m30c0

333m00J

2.(1)已知A=1求

③■!"(418+2C)

①4，②ATB+2C;

'2

0、

(2)已知4=1求

「3

11八

①A1②48+2。;-(ATB+2C)

f?00「2-4、

3.(1)已知4=0-11,B=11,且AX=B,求X.

-21J°,

-200、-4、

(2)已知A=023,B=1，且=求X.

<012,3,

423r10、

4.设4=110,B=-12，且AX=2X+8,求矩阵X.

-123T,

5.讨论向量组4=(2,1,-1,-1).=(0,3,-2,0),%=(2,4,-3,-1)的线性相关性.

6.设向量组％,4，出线性无关，判断向量组4,四，4的线性相关性:

(1)/?]=%+2a2+3a3,42=2al+2a2+4a劣,&=3al+a2+3%;

(2)/3\=四一％，A=2%十%，月=a\+%+%•

7.求下列向量组的秩和一个最大无关组，

Tr

⑴q=(-1,-1,0,0),,a2=(l,2,l,-l),a3=(l,3,2,-2),4=(2,6,4,-1)「；

(2)a,=(-1,-1,0,0)\%=(1,2,1,T)T,4=(O,2,2,l『，a'=(Z6,4,-l)T.

8.设向量组《=(43,1)\生=(2也3)，生=(1,2,1)，%=(2,3,1厂的秩为2,求a力.

(3102}

9.求矩阵4二1-12-1的秩，并求它的列向量组的一个最大无关组.

J3-44；

(1-112\

1114

10.设矩阵4=,求矩阵A的列向曷组的一个最大无关组，井杷不属于

4-6-24

U679J

最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.

H.求下列齐次线性方程组的一个基础解系和它的通解,

X]-x2-x3+x4=0,%+2X2+x3-x4=0,

⑵<2玉+3X-x=0,

⑴X1-X,+x3-3X4=0,24

X)-x2-2X3+3X4=0.%+3X2+3X3-2X4=0.

12.求解下列非齐次线性方程组

-x-x+x=0,

&-2X2+3X3-x4=1,234

(1)<3%-z+5±-3%=2,

⑵<xl-x2+xy-3X4=1,

2x,+x+=1.

22X3-2X4