《等腰三角形性质》课件

第十三章

轴对称13.3.1

等腰三角形

第1课时

等腰三角形性质1.探索并证明等腰三角形的两个性质，培养学生探究精神、推理能力。2.会应用等腰三角形概念和性质解决问题，培养应用意识。3.经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力.4.结合等腰三角形的性质的探索和证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用，培养知识的迁移能力。学习重点：探索并证明等腰三角形的性质.学习难点：性质1中辅助线的添加和对性质2的理解.看到下面三角形了吗，它有何特点呢？腰腰顶角底角底角底边我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？等腰三角形的性质知识点学生活动

【一起探究】ABCAB=AC等腰三角形【思考】△ABC

是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ACDB折痕所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段重合的角

ACBDAB与AC

BD与CD

AD与AD∠B

与∠C∠BAD

与∠CAD∠ADB

与∠ADC【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.ABC已知：△ABC中，AB=AC,求证：∠B=C.【思考】如何构造两个全等的三角形？猜想:等腰三角形的两个底角相等.如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCABCD证明：

作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC

(已知)，BD=CD

(已作)，AD=AD(公共边)，

∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C

(全等三角形的对应角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底边上的中线.还有其他的证法吗？ABCD证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.AB=AC

(已知),∠BAD=∠CAD

(已作),AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在△BAD和△CAD中

由△BAD≌

△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？

ABCD【想一想】解：∵△BAD≌

△CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵

∠ADB+∠ADC=180°，∴

∠ADB=∠ADC=

90°，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线.

ABCD性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).归纳总结具备其中一条性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.即：等腰三角形顶角平分线底边上的高线底边上的中线另外两条成立归纳总结ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）数学语言：如图,在△ABC中,

画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？三线合一不重合【思考】为什么不一样？（1）等腰三角形的顶角一定是锐角.（2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角.（3）钝角三角形不可能是等腰三角形.

（4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.（5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（

）（

）（

）（

）（

）明辨是非.（

）×××√×√ABCD

例1

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.分析：（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.等腰三角形性质的应用素养考点1ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.（4）设∠A=x

,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°.ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x方法点拨在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.解：∵AB=AD=DC

∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.设∠C=x，则∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x，在△ABC中，根据三角形内角和定理，得

2x+x+26°+x=180°，

解得x=38.5°.∴∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.例2等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°

B．80°或40°C．65°或80°

D．50°或80°A等腰三角形的分类讨论问题素养考点2方法点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______；等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________.75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°例3已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.图②图①利用等腰三角形的性质证明线段间的关系素养考点3证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG–DG＝CG–EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.图②图①G方法点拨

在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；(2)求证：EF＝ED.

(2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，

∴ED⊥BC，

又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，

∴EF＝ED.2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）A．40°B．30°C．70°D．50°A11.等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；72°,72°或36°,108°

3.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________．ABCABC70°或20°1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，求∠BAD

和∠ADC的度数.ABCD能力提升题解：∵AB=AC，

∴

∠C=

∠B=30°，∵BD=CD，∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.∴∠

BAD=90°–∠B=60°.ABCD2.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，∴等腰三角形的性质等边对等角三线合一注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质易错点拨（1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论（2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线”学前温故新课早知1.有两边

的三角形是等腰三角形.2.三角形的内角和是

.

3.在三角形中,任意两边之和

第三边.

相等

180°大于

学前温故新课早知1.等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个

相等(简写成“等边对等角”);

性质2:等腰三角形的顶角平分线、

、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).

2.等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在

就是它的对称轴.

3.在△ABC中,AB=AC,∠B=58°,则∠C的度数是

,∠A的度数

.

底角

底边上的中线

直线

58°64°1.等腰三角形“等边对等角”的应用

【例1】

已知一个等腰三角形的两角分别为(2x-2)°,(3x-5)°,求这个等腰三角形各角的度数.分析:应考虑3种情况,即(2x-2)°作顶角或(3x-5)°作顶角或(2x-2)°和(3x-5)°均不是顶角.解:若2x-2=3x-5,得x=3.故三角形的三个内角分别为4°,4°,172°;若2(2x-2)=180-(3x-5),得x=27.故三角形的三个内角分别为52°,52°,76°;若2(3x-5)=180-(2x-2),得x=24.故三角形的三个内角分别为46°,67°,67°.【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.

分析:利用等腰三角形三线合一的性质及角平分线的性质进行证明.证明:连接AD(图略).∵D为BC的中点,AB=AC,∴AD平分∠BAC.又DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.2.等腰三角形“