《等腰三角形判定》课件

第十三章

轴对称13.3.1

等腰三角形

第2课时

等腰三角形判定1.通过对等腰三角形判定定理的证明，发展学生的归纳猜想能力，培养学生推理能力。2.应用判定定理解决问题，培养学生应用意识和创新能力。3.提高学生证明文字命题的能力,培养举一反三、灵活变换的能力，培养数学文字语言向符号语言的转化能力.4.体会数学源于实际,运用于实际的应用价值,领悟数学中的转化思想,欣赏数学的几何美、对称美.学习重点：等腰三角形判定定理及应用.学习难点：等腰三角形性质和判定的互逆关系.1.等腰三角形的定义？有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.①等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

.2.等腰三角形有哪些性质？DABC几何语言：∵AB=AC(已知)，

∴∠B=∠C(等边对等角).ABC如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

如图，在△ABC中,∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?CABAB=AC你能验证你的结论吗？等腰三角形的判定知识点学生活动

【一起探究】

请同学用直尺和量角器，画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？小活动在△ABD与△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.过A作AD平分∠BAC交BC于点D.证明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.∴

AC=AB.()即△ABC为等腰三角形.∵∠B=∠C，()等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”，这又是一个判定两条线段相等的根据之一）.已知等角对等边在△ABC中，BCA((归纳总结应用格式：ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角对等边）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角对等边）.错，因为都不是在同一个三角形中.【思考】如图,下列推理正确吗?例1求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC．ABCE（（12D利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形状素养考点1证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．ABCE（（12D已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等),∴AE=DE(等角对等边）,∴△AED是等腰三角形.例2已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD.BADC由平行及角平分线识别等腰三角形素养考点2证明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD.总结：平分角+平行=等腰三角形BADC如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.3cm如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？BCADE答：是.由折叠可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.∴∠EDB=∠CBD，例3如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．通过计算角相等来证明等腰三角形素养考点3证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法点拨

“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，它的前提条件是“在同一个三角形中”．如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是 (

)

A.4 B.5 C.6 D.7C

解析:∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠BAC=108°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6个.例4已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作等腰△ABC.使底边BC=a，底边上的高为h.ah利用尺规作图作等腰三角形素养考点4作法：1.作线段AB=a.2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D.3.在MN上取一点C，使DC=h.4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.ABCMND例5

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF，BE，FC之间的关系.ABCOEF利用等腰三角形的判定证明线段之间的关系素养考点5解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵

BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴

EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEFOABCEF若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？方法点拨

判定线段之间的数量关系，一般做法是通过证明线段所在的两个三角形全等或利用同一个三角形中“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.OABCMN123456在ΔABC中,OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，过O点作MN∥BC.

ΔAMN的周长=AB+AC吗？为什么？∴MN=OABCMN123456∴ΔAMN的周长=AM+MN+ANBM+CN.=AM+BM+CN+AN=AB+AC.解：∵OB平分∠ABC，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.∴OM=BM.同理得：ON=CN.

∵

MN=OM+ON,1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形CA3.如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.解：∵∠NBC=∠A+∠C，

∴∠C=80°–

40°=40°，∴∠C=∠A，∴BA=BC(等角对等边).∵AB=20×(12–10)=40(海里),∴BC=40海里.答：B处距离灯塔C为40海里.80°40°NBAC北等腰三角形的判定等角对等边定义注意是指同一个三角形中有两边相等的三角形是等腰三角形学前温故新课早知等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的

相等.(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

两个底角

学前温故新课早知1.如果一个三角形

,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

2.已知三角形的两角分别为50°和80°,则这个三角形是

.(按边分类)

有两个角相等

等腰三角形

等腰三角形的判定【例题】

如图,在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,BD为∠ABC的平分线,求∠ABD,∠BDC的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.分析:由等腰三角形的判定及三角形的内角和,可求出∠ABD,∠BDC的度数,由等腰三角形的判定方法可得出△ABC,△BCD,△ABD是等腰三角形.

123451.下列能判定三角形是等腰三角形的是(

).A.有两个角为30°,60° B.有两个角为40°,80°C.有两个角为40°,70° D.有两个角为100°,20°答案解析解析关闭对于A,因为有两个角为30°,60°,则第三个角为90°,所以此选项不正确;对于B,因为有两个角为40°,80°,则第三个角为60°,所以此选项不正确;对于C,因为有两个角为40°,70°,则第三个角为70°,有两个角相等,所以此选项正确;对于D,因为有两个角为100°,20°,则第三个角为60°,所以此选项不正确,故选C.答案解析关闭C123452.如图,在等腰三角形ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=(

)答案解析解析关闭∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴∠BDC=72°.∴∠ABD=∠A,∠BDC=∠C,∴AD=BD=BC=b.∴CD=AC-AD=a-b.