《完全平方公式》课件

第十四章

整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式

一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b

米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，

并进行比较.aabb知识点1完全平方公式直接求：总面积=(a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2aabb计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4(3)

(p–1)2=(p–1)(p–1)=

.p2–2p+1(4)

(m–2)2=(m–2)(m–2)=

.m2–4m+4问题1：学生活动

【一起探究】根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2问题2：(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2

也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”完全平方公式你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?设大正方形ABCD的面积为S.S=

=S1+S2+S3+S4=

.(a+b)2a2+b2+2abS1S2S3S4证明aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：几何解释a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2a−ba−baaabb(a−b)bb(a−b)2(a–b)2=

.a2–2ab+b2差的完全平方公式：几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2.(a–b)2=a2–2ab+b2.观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：(1)说一说积的次数和项数.(2)两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？(3)两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a，b有什么关系？它的符号与什么有关？问题4：

公式特征：公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.积为二次三项式；积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x–y)2=x2–y2(3)(–x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x–y)2=x2–2xy+y2(–x+y)2=x2–2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2想一想例1运用完全平方公式计算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2•(4m)•n+n2+8mn+n2；素养考点1利用完全平方公式进行计算(2)

(a–b)2=a2–2ab+b2y2=y2–y+解：

=+–2•y•

利用完全平方公式计算：(1)(5–a)2；

(2)(–3m–4n)2；(3)(–3a＋b)2.(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2；(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(1)1022；=(100–1)2=10000–200+1解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=9801.

例2

运用完全平方公式计算：素养考点2利用完全平方公式进行简便计算

利用乘法公式计算：(1)982–101×99；(2)20162–2016×4030＋20152.＝(2016–2015)2＝1.解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152例3已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1)

x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36–16＝20；解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20–16＝4.素养考点3利用完全平方公式的变形求整式的值方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.52对应训练.(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，

则k=________.18或–18(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.1添括号法则a+(b+c)=a+b+c;a–(b+c)=a–b–c.a+b+c=a+(b+c);

a–b–c=a–(b+c).去括号：把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：知识点2

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).添括号法则例

运用乘法公式计算:(1)(x+2y–3)(x–2y+3);(2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]解:

(1)(2)原式=[(a+b)+c]2

=

x2–(2y–3)2

=

x2–(4y2–12y+9)=

x2–4y2+12y–9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.素养考点添括号法则的应用

计算：(1)(a–b＋c)2；

(2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．＝1–4x2＋4xy–y2.解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；(2)原式＝[1–(2x–y)][1＋(2x–y)]＝12–(2x–y)22.下列计算结果为2ab–a2–b2的是()A．(a–b)2B．(–a–b)2C．–(a＋b)2D．–(a–b)21.运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(

)A．a2–4a+4B．a2–2a+4C．a2–4D．a2–4a–4AD3.运用完全平方公式计算:(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x–3y)2=_______________；(3)(2m–1)2=_______________；(4)(–2m–1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2–24xy+9y24m2+4m+1

4m2–4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．

255.计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]＝(3a)2–(b–2)2＝9a2–b2＋4b–4.

＝(x–y)2–(m–n)2＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.6.若a+b=5，ab=–6，求a2+b2，a2–ab+b2.解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.完全平方公式法则注意(a±b)2=a2±2ab+b21.项数、符号、字母及其指数2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行常用结论3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;4ab=(a+b)2–(a–b)2.学前温故新课早知平方差公式:(a+b)(a-b)=

.即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的

.

a2-b2平方差学前温故新课早知1.完全平方公式:(a+b)2=

,(a-b)2=

.

2.两个数的和(或差)的平方,等于它们的

,加上(或减去)它们的积的

.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.3.计算:(x+3)2=

,(x-3)2=

.

a2+2ab+b2a2-2ab+b2平方和

2倍

x2+6x+9

x2-6x+9学前温故新课早知4.添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都

;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都

.

即是:遇“加”

,遇“减”

.

5.在下列去括号或添括号的变形中,错误的是(

).A.a3-(2a-b-c)=a3-2a+b+cB.3a-5b-1+2c=-(-3a)-[5b-(2c-1)]C.(a+1)-(-b+c)=-(-1+b-a+c)D.a-b+c-d=a-(b+d-c)不变符号

改变符号

不变

都变

C1.利用完全平方公式进行计算【例1】

计算:(1)(-x+2y)2;

(2)(-2m-n)2.分析:(1)(-x+2y)2可以看成是-x与2y的和的平方,用两数和的完全平方公式计算;因为(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2,所以也可以应用两数差的完全平方公式计算;(2)(-2m-n)2可以选用两数(-2m与n)差的完全平方公式计算;因为(-2m-n)2=[-(2m+n)]2=(2m+n)2,所以也可以应用两数和的完全平方公式计算.解:(1)原式=(2y)2-2·2y·x+x2=4y2-4xy+x2.(2)(方法一)原式=(-2m)2-2·(-2m)·n+n2=4m2+4mn+n2;(方法二)原式=[-(2m+n)]2=(2m+n)2=(2m)2+2·2m·n+n2=4m2+4mn+n2.2.乘法公式的综合运用【例2】

计算:(1)(2a+b-c)2;(2)(a-2b-3c)(-a-2b+3c).分析:(1)将2a+b-c中任意两项结合添加括号,便可应用完全平方公式;(2)观察发现两个因式中的项是:一项相同,两项相反,故应在相反项即a-3c和-a+3c项添括号,以便利用乘法公式,达到简化运算的目的.解:(1)原式=[(2a+b)-c]2=(2a+b)2-2(2a+b)·c+c2=4a2+4ab+b2-4ac-2bc+c2=4a2+b2+c2+4ab-4ac-2bc.(2)原式=[-2b+(a-3c)][-2b-(a-3c)]=(-2b)2-(a-3c)2=4b2-(a2-6ac+9c2)=4b2-a2-9c2+6ac.1234561.下列等式成立的是(

).A.(a-b)2=(b-a)2B.(-a-b)2=-(a+b)2C.(a+b)2=a2+b2D.(a-b)3=(b-a)3答案答案关闭A123456答案答案关闭C2.计算(-2m-1)2的结果是(

).A.4m2-1 B.4m2-4m+1C.4m2+4m+1 D.4m2-4m-11234563.已知a=7-3b,则代数式a2+6ab+9b2的值为

.

答案解析解析关闭∵a=7-3b,∴a+3b=7,∴a2+6ab+9b2=(a+3b)2=49.答案解析关闭491234564.若a+b=3,a2+b2=7,则ab