《运用平方差公式因式分解》课件

第十四章

整式的乘法与因式分解

14.3.2公式法1课时

运用平方差公式因式分解1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想和逆向思维．2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解，培养运算能力和应用意识.3．培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.学习重点：掌握公式的特点，运用平方差公式进行因式分解.学习难点：灵活应用平方差公式因式分解.a米b米b米a米(a–b)如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2–b2=(a+b)(a–b)用平方差公式进行因式分解多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a，b两数的平方差的形式知识点想一想学生活动

【一起探究】))((baba–+=22ba–))((22bababa–+=–整式乘法因式分解平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2–()2的形式.

两数是平方，减号在中央．(1)x2+y2(2)x2–y2(3)–x2–y2–(x2+y2)y2–x2(4)–x2+y2(5)x2–25y2(x+5y)(x–5y)(6)m2–1(m+1)(m–1)例1分解因式：素养考点1利用平方差公式分解因式的应用aabb(

+)(–)a2–b2=解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式整体思想ab

方法点拨公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.分解因式：(1)(a＋b)2–4a2；(2)9(m＋n)2–(m–n)2.＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)＝(b–a)(3a＋b)；(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.例2分解因式：素养考点2多次因式分解解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2＝(x2+y2)(x2–y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止.＝(x2+y2)(x+y)(x–y);(2)原式＝ab(a2–1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.＝ab(a+1)(a–1).方法点拨分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．

分解因式：(1)5m2a4–5m2b4；(2)a2–4b2–a–2b.＝(a＋2b)(a–2b–1).＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)；解：(1)原式＝5m2(a4–b4)＝5m2(a2＋b2)(a2–b2)

(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b)＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)例3已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．素养考点3利用因式分解求整式的值∴x–y＝–2②.解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得：方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.已知x–y=2，x2–y2=8，求x+y的值.

例4计算下列各题：(1)1012–992；(2)53.52×4–46.52×4.素养考点4利用因式分解进行简便运算解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；(2)原式＝4×(53.52–46.52)＝

4×(53.5＋46.5)(53.5–46.5)＝4×100×7=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.用平方差公式进行简便计算:(1)38²–37²(2)213²–87²(3)229²–171²(4)91×89解：(1)

38²–37²=(38+37)(38–37)=75

(2)213²–87²=(213+87)(213–87)=300×126=37800(3)

229²–171²=(229+171)(229–171)=400×58=23200(4)

91×89=(90+1)(90–1)=90²–1=8100–1=8099例5求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．素养考点5利用因式分解进行证明即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n，∵n为整数，∴8n被8整除，方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．

若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.解：∵a2–2bc=c2–2ab，

∴(a2–c2)+2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+2b（a-c）=0，∴(a–c)(a+c+2b)=0.∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c，∴这个三角形是等腰三角形.分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状.1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(

)A．a2＋(–b)2B．5m2–20mnC．–x2–y2D．–x2＋9D2.将多项式x–x3因式分解正确的是(

)A．x(x2–1)

B．x(1–x2)

C．x(x+1)(x–1)

D．x(1+x)(1–x)

D3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(

)A．–21B．21C．–10D．10A4.如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82–4×1.62＝6.82–(2×1.6)2＝6.82–3.22＝(6.8＋3.2)(6.8–3.2)＝10×3.6＝36(cm2)答：剩余部分的面积为36cm2.5.(1)992–1能否被100整除吗？解：(1)因为992–1=(99+1)(99–1)=100×98，所以，(2n+1)2–25能被4整除.(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？所以992–1能被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)=(2n+6)(2n–4)

=2(n+3)×2(n–2)=4(n+3)(n–2).平方差公式分解因式公式a2–b2=(a+b)(a–b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.学前温故新课早知1.平方差公式:(a+b)(a-b)=

,完全平方公式:(a+b)2=

,(a-b)2=

.

2.把一个多项式化成了几个

的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式

.a2-b2

a2+2ab+b2

a2-2ab+b2整式

分解因式

学前温故新课早知1.因式分解的平方差公式:a2-b2=

,即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的

.

2.下列各式运用平方差公式分解因式正确的是

(

).A.x2-y2=(x+y)(x+y)B.x2-y2=(x+y)(x-y)C.-x2+y2=(-x+y)(-x-y)D.-x2-y2=-(x+y)(x-y)3.把2x2-18分解因式,结果正确的是

(

).A.2(x2-9) B.2(x-3)2C.2(x+3)(x-3) D.2(x+9)(x-9)(a+b)(a-b)

积

BC2x2-18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3).学前温故新课早知4.因式分解的完全平方公式:a2+2ab+b2=

,

a2-2ab+b2=

.

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.5.下列各式能用完全平方公式分解的是(

).A.x2-1

B.x2+2x-1C.x2+x+1 D.4x2+4x+16.如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做

.

(a+b)2

(a-b)2D公式法

分析:应用公式法分解因式的关键是认清公式中的字母各代表什么.【例2】

计算:1.992-2.992.分析:1.99相当于平方差公式中的a,2.99相当于平方差公式中的b.解:1.992-2.992=(1.99-2.99)×(1.99+2.99)=(-1)×4.98=-4.98.2.分解因式的一般步骤【例3】

分解因式:(1)x3-4x;(2)3x2-6x+3.分析:(1)先提公因式x,再用平方差公式;(2)先提公因式3,再用完全平方公式.解:(1)x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)·(x-2);(2