《分式方程的实际应用-工程、行程问题》课件

第十五章

分式

15.3分式方程15.2.2分式方程的实际应用——工程、行程问题

1.通过使学生经历用分式方程解决实际问题的过程，体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型，培养学生的建模思想。2.通过学生列分式方程解决具体实际问题，培养学生数学应用意识，提高分析问题和解决实际问题的能力。3.通过列分式方程解应用题，进一步掌握列方程解应用题的方法和步骤，体会检验的必要性，渗透方程的思想方法。学习重点：会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.学习难点：实际问题中相等关系的提炼及转化为方程的过程.1.解分式方程：

；解：方程两边都乘以2（x-2)，得2+2（x-2）=x+1解得：x=3检验：当x=3时，2（x-2）=2≠0，∴x=3是原方程的解.2.列方程解决实际问题的步骤：

；

3.我们所学过的应用题类型：(1)行程问题：基本公式：

；(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；(3)工程问题：基本公式：

；审、设、列、解、答路程=速度×时间以及它的两个变式工作量=工时×工效以及它的两个变式(4)顺水逆水问题：顺水速度＝

，逆水速度＝

；(5)利润问题：基本公式：

.轮船速度+水流速度轮船速度-水流速度利润率=利润÷进价利润=售价-进价，问题：一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度.学生活动一

【一起探究】分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺水航行的速度为____千米/时，逆水航行的速度为____千米/时，顺水航行的时间为____时，逆水航行的时间为_______时，根据题意，可得方程_______________.x+3x-3解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程得解这个方程得：x=21.检验：当x=21时，（x+3）（x-3）≠0，并且也符合题意.答：轮船在静水中的速度为21千米/时.检验是必须的一步骤，而且是两方面的检验.列分式方程解应用题的一般步骤1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.4.解:认真仔细解这个分式方程.5.验:检验.6.答:注意单位和语言完整.问题：两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？学生活动二

【一起探究】分析：甲队1个月完成总工程的

,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的

,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______.解：设乙队如果单独施工1个月完成总工程的

.依题意得方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，解得：x=1检验:当x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解，且符合题意.答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,而甲队1个月完成总工程的,可知乙队施工速度快.探究：某列列车平均提速v千米/时．用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？学生活动三

【一起探究】分析：这里的字母v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为xkm/h,那么提速前列车行驶skm所用时间为

h,提速后列车的平均速度为

km/h,提速后列车运行(s+50)km所用时间为

h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程.

(x+v)解:设提速前这次列车的平均速度为xkm/h,则提速前它行驶skm所用时间为

h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km所用时间为

h.根据行驶时间的等量关系,得.方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).解得：

.检验:由v,s都是正数,得x=

时x(x+v)≠0.所以原分式方程的解为x=.答:提速前列车的平均速度为

km/h.(1)在实际问题中,有时题目中包含多个相等数量关系,在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系；(2)在检验过程中,不仅检验所得的根是否为原分式方程的根,还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义,如时间非负、人数为正整数等.1.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米,下面所列方程正确的是(

)A

2.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.

汽车所用的时间＝自行车所用时间－2/3

可解得x=15经检验，x=15是原方程的解，并符合题意，由x＝15得3x=45答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.3.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?解：设规定日期为x天，根据题意，得解得：x=12.经检验：x=12是原方程的解且符合题意.答：规定日期为12天.本节课探究了分式的哪些问题？在探寻分式方程的应用时，你经历了哪些数学活动？在这些活动过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些数学经验？对于分式方程的知识，后续我们还会研究哪些内容？1.在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10千米/时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等.请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为____.

2.某市区一条主要街道的改造工程准备招标,指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书,从投标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍;该工程若由甲队先做6天,剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天.解:设甲队单独完成这项工程需x天,则乙队单独完成这项工程需2x天,根据题意可得:

解得x=30,经检验x=30为原方程的根且符合题意.∴2x=60.答:甲队单独完成这项工程需30天,乙队单独完成这项工程需60天.学前温故新课早知列一元一次方程解应用题的一般步骤:(1)审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系;(2)设:设未知数,用字母表示其他未知数;(3)找:找出能够表示应用题全部意义的一个

;

(4)列:根据题中的等量关系列出

;

(5)解:解方程,求出未知数的值;(6)答:检验所得解是否符合题意,写出问题的答案.相等关系

方程

学前温故新课早知1.工程问题基本关系式

×时间=工作量.

2.某施工队挖掘一条长96m的隧道,开工后每天比原计划多挖2m,结果提前4天完成任务,原计划每天挖多少米?若设原计划每天挖xm,则依题意列出正确的方程为(

).3.行程问题基本关系式速度×时间=

.

工作效率

C路程

4.轮船顺水航行40km所需的时间和逆水航行30km所需的时间相同.已知水流速度为3km/h,设轮船在静水中的速度为xkm/h,可列方程为

.

1.列分式方程解行程问题【例1】

为了加快城市群的建设与发展,在A,B两城市间新建一条城际铁路,建成后,铁路运行里程由现在的120km缩短至114km,城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km,运行时间仅是现行时间的,求建成后的城际铁路在A,B两地的运行时间.分析:本题的已知量是路程——由现在的120

km缩短至114

km;未知量是速度——现在的速度及建成城际铁路后的速度;列方程用时间——建成城际铁路后的运行时间=现行时间的

.2.列分式方程解工程问题【例2】

某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天,需付甲工程队工程款1.2万元,乙工程队工程款0.5万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,有如下方案:(1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成;(2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天;(3)若甲、乙两队合做3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.请问:在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?请说明理由.分析:解决这一问题的关键是求出完成这项工程的规定日期.把总工程量看成单位“1”.在本题中,待求量——时间:设规定日期为x天,则乙工程队单独完成需要(x+6)天;工作效率:甲工程队每天完成

,乙工程队每天完成

工作量:(找等量关系)甲工程队工作量+乙工程队工作量=1.解法一设规定日期为x天,经检验,x=6是原方程的根.显然,方案(2)不符合要求;方案(1):1.2×6=7.2(万元);方案(3):1.2×3+0.5×6=6.6(万元).因为7.2>6.6,所以在不耽误工期的前提下,选第三种施工方案最节省工程款.解法二设规定日期为x天,则甲工程队做3天的工作量与乙工程队做6天的工作量相等,经检验,x=6是原方程的根.(下同解法一)123451.甲、乙两人加工某种机器零件,已知每小时甲比乙少加工6个这种零件,甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等,设甲每小时加工x个零件,所列方程正确的是(

)答案答案关闭123452.某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品的件数相同.求甲、乙两种商品每件的进价.答案答案关闭12345答案解析解析关闭答案解析关闭12345答案答案关闭4.在某市创建全国文明城市的工作中,市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式.改进后每天的用水量