《用公式法解方程》课件

第二十一章

一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法1.理解求根公式的推导过程，掌握公式法的概念.2.经历探索求根公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和渗透分类讨论.3.培养学生良好的学习习惯，进一步发展学生的合作交流的意识与能力，增强学生学习数学的兴趣.学习重点：学会利用公式法解一元二次方程.学习难点：求根公式的推导过程.解：移项，得.

配方.由此可得.利用配方法解一元二次方程

化：把原方程化成

x2＋px＋q=0的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px=－q.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步骤方程右边是非负数x2＋px＋()2=－q＋()2(x+)2=－q＋()2【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？ax2＋bx＋c=0(a≠0)公式法的概念知识点1一元二次方程的一般形式是什么？【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？用配方法解一般形式的一元二次方程方程两边都除以a，得,

解:移项，得，配方，得,即.一元二次方程的求根公式当

由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当时，将a，b，c代入式子，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

当b2-4ac

＜0

时，方程有实数根吗？公式法的概念

例

用公式法解方程：公式法解方程（1）x2-4x-7=0；素养考点解：∵a=1，b=-4，c=-7,

∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.

∴（1）x2-4x-7=0；解：则方程有两个相等的实数根：（2）2x2-2

x+1=0；【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？解：原方程可化为.则方程有两个不相等的实数根（3）5x2-3x=x+1;..解：原方程可化为.方程无实数根.（4）x2+17=8x..

方法点拨（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根;（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根;（3）当时，一元二次方程没有实数根.用公式法解一元二次方程的一般步骤1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.2.求出∆的值.3.(1)当∆>0时，代入求根公式:

写出一元二次方程的根.

(2)当∆=0时，代入求根公式： 写出一元二次方程的根.

（3）当∆<0时，方程无实数根.

用公式法解方程：解：a=3,b=-6,c=-2,∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.

用公式法解下列方程：（1）x2＋x－1=0

（2）x2－2（3）2x2－2x＋1=0x＋3=0一元二次方程的根的情况知识点2

观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－3（3）没有实数根.

答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；

【发现】b2－4ac的符号决定着方程的解.（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根：（1）当b2-4ac＞0时，有两个不等的实数根：（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.一元二次方程的根的情况一般的，式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2-4ac＞0;当一元二次方程有两个相等的实数根时，

b2-4ac=0;当一元二次方程没有实数根时，b2-4ac＜0.【注意】一元二次方程的根的情况例1

不解方程，判断下列方程根的情况：解：a＝﹣1，b＝，c＝﹣6,

△=b2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0.

该方程有两个相等的实数根.

利用判别式识别一元二次方程的根的情况素养考点1（1）;解：移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4，c＝﹣2,

△=

b2-4ac

=16-4×1×（-2）=24＞0.该方程有两个不相等的实数根.（2）x2+4x=2;（3）4x2+1=-3x;解：移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3，c＝1,∵

△=b2-4ac

=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.解：a＝1，b＝-2m，c＝4（m-1）,∵

△=b2-4ac

=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）

=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.

（4）x²-2mx+4（m-1）=0.

（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）

A.x²=9

B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1

D.2y²+6y+7=0D选一选.（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0

B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0

D.b²-4ac≥0D例2m为何值时，关于x的一元二次方程

2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？

利用判别式求字母的值或取值范围素养考点2

解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,

b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.

（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0∴m＞（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0∴m=（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0,∴m＜∴当m＞

时，方程有两个不相等的实数根；当m=时，方程有两个相等的实数根；当m＜时，方程没有实数根.m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.

解：∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0,∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.

1.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（

）A．m≥1 B．m≤1

C．m＞1 D．m＜1D2.

解方程x2﹣2x﹣1=0．解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，

1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(

)

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.有一个实数

D.没有实数根基础巩固题B2.

关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是（）A.

k>-1

B.

k>-1

且k≠0C.k<1

D.

k<1

且k≠0B

3.

已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵

没有实数根，∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程

x2＋mx＝1-2m

，即.

，∵，∴△>0.∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.公式法定义把各系数直接带入求根公式的解一元二次方程的方法.步骤

应用用判别式△=b2-4ac判定一元二次方程根的情况.1.一元二次方程根的判别式是什么？它有哪几种情况？2.公式法解方程的一般步骤？1.当b2-4ac

0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为

的形式,这个等式叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式是用

法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时,把各项的_____

直接代入求根公式,可以直接求出方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

2.一元二次方程2x2-3x=2中,a=

,b=

,c=

,方程的根是

.

≥

配方

系数

2-3-2

公式法【例】

用公式法解一元二次方程:(1)2x2-4x+1=0;分析:正确确定系数a,b,c的值是运用公式法解一元二次方程的首要条件.由于(1)中方程为一般形式,故只要找准a,b,c的值,直接代入求根公式中进行计算即可,这样就把方程的求解问题转化为求代数式的值,从而简化了解一元二次方程的过程.对于(2)中方程则需先化成一般形式再进行求解.解：(1)∵a=2,b=-4,c=1,∴b2-4ac=(-4)2-4×2×1=8.点拨:利用公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)把一元二次方程化成一般形式;(2)确定a,b,c的值;(3)求b2-4ac的值;(4)当b2-4ac≥0时,将a,b,c及b2-4ac的值代入到求根公式中,求出方程的根.6712345答案答案关闭D1.用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是(

)A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3 D.a=3,b=-2,c=36712345