《一元二次方程的根与系数的关系》课件

第二十一章

一元二次方程21.2一元二次方程

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1.知道一元二次方程根与系数的关系，并会用关系求两根和与两根积.2.借助问题的引导会来探究、总结一元二次方程根与系数的关系.3.通过探究根与系数的关系，培养学生分析、观察问题的能力.学习重点：一元二次方程根与系数关系的探究.学习难点：一元二次方程根与系数关系的应用.回顾复习1.一元二次方程的解法有哪些？

配方法、公式法、因式分解法2.一元二次方法的求根公式是什么呢？3.思考：一元二次方程根与系数之间的关系还有其他表现方式吗？【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？4.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0).b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时,方程无实数根.填表，观察、猜想

方程

x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0根与系数的关系知识点11,1212,-5-3-10-1,-4-54【思考】你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②

x2+px+q=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律.

（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？【猜一猜】(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.如果关于x的方程的两根是x1

,x2

,则:如果方程二次项系数不为1呢?x1+x2=-p，x1·x2=q方程x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

2x2-3x-2=03x2-4x+1=0问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.①用语言叙述发现的规律；②

ax2+bx+c=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律.

-1一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=（韦达定理）常数项一次项系数二次项系数注意系数符号.【注意】能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.学生活动：请同学用求根公式证明.例1

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;一元二次方程的根与系数的关系的应用素养考点1解：这里a=1,b=7,c=6.

Δ

=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.（1）x2+7x+6=0;（2）2x2-3x-2=0.解：这里

a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,

∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是

x1,x2,那么

x1+x2=,x1x2=-1.不解方程，求方程两根的和与两根的积：

①x2+3x-1=0②2x2-4x+1=0解：①②原方程可化为：二次项不是1，可以先把它化为1例2

已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.利用根与系数的关系求字母的值或取值范围素养考点2解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2

.

所以：x1·x2=2x2=

即：x2=

由于x1+x2=2+=

得：k=－7.答：方程的另一个根是

，k=－7.想一想，还有没有别的做法？解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.解这方程，得k=-2.由根与系数关系，得x1●2＝3k,

即2x1

＝－6.∴x1

＝－3.答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和素养考点3解：根据根与系数的关系可知：

∴（1）x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)

,(4)

.411214设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:

例4

设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.根与系数关系的综合题目素养考点4解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0

即-8k+4≥0.∴

由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,

解得

k1=0,k2=4.经检验，k2=4不合题意，舍去.

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3.当k=9或-3时，由于Δ＞0，∴k的值为9或-3.∴（）2-4×

=1.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.

一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（

）

A．﹣2

B．1

C．2

D．0D1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=

,q=

.1-2-3基础巩固题3.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中：3

-19+m=0.

解得

m=16,设另一个根为x1,则：

1×x1=∴x1=4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；

（2）因为k=-7,所以

则：设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.

(1)(x1+1)(x2+1);(2)能力提升题解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2）1.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.拓广探索题解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1,∵

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,由根与系数的关系，得∵△＞0,∴∴∴2.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+

m

-2=0

（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=

1

求m的值.

解：(1)方程有实数根∴m的取值范围为m＞0.(2)∵方程有实数根x1,x2∵

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1解得m=8.经检验m=8是原方程的解．∴∴＝（-2m）2-4m（m-2）＝8m≠0根与系数的关系（韦达定理）内容如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么应用1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a,b,c之间的关系是x1+x2=

,x1x2=

.

2.设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为(

)A3.已知方程x2+2x-3=0的两根为x1,x2,则x1x2的值为

.

4.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为

.

-2-31.利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值点拨:此类题目的解题关键是将求值的代数式变形为含x1+x2和x1x2的形式.运用根与系数的关系求代数式的值时,一定要保证二次项系数不为0和b2-4ac≥0这两个条件.2.求方程中未知系数的值【例2】

若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x1+x2=x1x2,求实数k的值.分析:根据根与系数的关系写出表示x1+x2与x1x2的代数式,并代入x1+