公式法用 完全平方公式进行因式分解 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

1.3公式法用完全平方公式进行因式分解湘教版·八年级数学上册第1章因式分解你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？aabbabababa²b²ab学生活动

【一起探究】同学们拼出图形为：这个大正方形的面积可以怎么求？(a+b)2a2+2ab+b2=ababa²ababb²请说出完全平方公式.完全平方公式1：

，完全平方公式2：

.(x＋y)²=x²＋2xy＋y²(x－y)²=x²－2xy＋y²在完全平方公式1中，将y

用2代入得到等式把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x²＋4x＋4因式分解：x²＋4x＋4=

.(x＋2)²=

.(x＋2)²x²＋4x＋4探索新知与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.①共有几项？②这三项有什么特点？三项

有两项是两数的平方和，一项为这两数乘积的2倍.2xy+y2±=(x±y)²x2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2例5把多项式9x2－6x＋1因式分解.分析

9x2=(3x)2，

解：

9x2－6x＋1

=(3x－1)2.=(3x)2－2·3x·1+12典例精析1=1²，2·3x·1

=6x，因此

9x2－6x＋1是完全平方公式2的右边.

x²－2·x·y＋y²把下列多项式因式分解：(1)x2+14x+49；解：原式=x2+2·x·7+72=(x+7)2(2)25x2+20xy+4y2；解:原式=(5x)2+2·5x·2y+(2y)2=(5x+2y)2例6把下列多项式因式分解：

(1)－4x2＋12xy－9y2；解：(1)－4x2＋12xy－9y2＝－(4x²－12xy＋9y²)＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²]＝－(2x－3y)².分析(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为

－(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解.

(2)x5＋2x3y＋xy2.分析

(2)中有公因式

x，应先提出公因式，再进一步因式分解；(2)x5＋2x3y＋xy2＝x(x4＋2x²y＋y²)＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²]＝x(x²＋y)².例7

把多项式

x4－2x2＋1

因式分解.解：

x4－2x2＋1＝(x²)²－2·x²·1＋1²＝(x²－1)²＝[(x＋1)(x－1)]²＝(x＋1)²(x－1)².因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.归纳1)利用完全平方公式因式分解的关键是识别完全平方式；先找某两数平方和再验证两数积的2倍利用完全平方公式分解因式2)因式分解的步骤：一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)；二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解；三查：检查每个因式是否被分解彻底．

可以利用完全平方公式把多项式(x＋y)²－4(x＋y)＋4因式分解吗？试一试.分析：将

x＋y

看成一个整体.解：(x＋y)²－4(x＋y)＋4＝(x＋y)²－2·(x＋y)·2＋2²＝(x＋y－2)².1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式？说明理由.（1）x2－12xy+36y2；解：(1)能.可以看作x与6y的差的完全平方.原式=x2－2·x·6y+(6y)2

=(x－6y)2（2）x2－10xy－25；(2)不能.－25无法看作是一个数的平方。2.把下列多项式因式分解：（1）－x2+14xy－49y2；（2）3x4+6x3y+3x2y2.解：原式=3x2(x2+2·x·y+y2)=3x2(x+y)2解:原式=－(x2－14xy+49y2)=－[x2－2·x·7y+(7y)2]=－(x－7y)2

课堂小结利用完全平方公式因式分解公式x2±2xy＋y2=(x±y)2特点（1）要求多项式有三项；（2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.必做题：把下列多项式因式分解：(1)x2+14x+49;(2)25x2+20xy+4y2；(3)－x2+14xy－49y2;(4)x4－2x3+x2.提升题:1.(1)已知a－b＝3，求

a(a－2b)+b2的值；(2)已知ab＝2，a+b＝5，求a3b+2a2b2+ab3的值.2.已知

x2－4x+y2－10y+29＝0，求x2y2+2xy+1的值.拓展题:当a取什么值时，多项式9x2+ax+16能利用完全平方公式进行因式分解？课后作业《提公因式法(第二课时)》教学阐述目录Contents一二三四五六说教材说学情说教学目标说重难点说教法、学法说教学过程七板书设计八评价设计九说教学反思一、说教材1.3.1公式法——完全平方公式》是湘教版版八年级上册第1章《因式分解》的第三节第二课时的内容，是学习平方差公式因式分解的基础上进一步学习因式分解，运用完全平方公式因式分解不仅是现阶段的学习重点，也为以后学习分式的通分和约分,二次根式的计算与化简，以及解方程都奠定了基础.教材所处的地位和作用新课改下的八年级学生二、说学情学生在学习本节内容之前，已经掌握了因式分解的基本概念、提公因式法以及平方差公式，对因式分解的基本步骤有一定的了解。然而，完全平方公式作为一种新的因式分解方法，学生可能会在以下方面遇到困难：一是对完全平方公式的结构特征理解不够深刻，无法准确识别哪些多项式可以使用完全平方公式进行因式分解；二是对公式中的字母x和y的含义理解不够透彻，容易在实际应用中混淆；三是部分学生可能对公式的推导过程缺乏兴趣，导致对公式记忆不牢固。此外，完全平方公式的形式相对复杂，学生在实际应用中容易出现符号错误或因式不完整的情况。因此，教师需要通过具体的实例和练习，引导学生逐步理解完全平方公式的结构特征和应用方法，帮助他们克服学习中的困难。核心素养目标三、说教学目标1.会用完全平方公式对多项式进行因式分解2.经历探索运用完全平方公式分解因式的过程，体会逆向思维的作用，渗透化归思想3.培养学生的逆向思维能力四、说重、难点重点Z难点N识别一个多项式是否适合完全平方公式用完全平方公式分解因式根据本节课的教学目标、教学内容以及学生的认知特点，教学上采用以探究为主，通过实际问题加深数学与生活的联系。五、说教法、学法教法五、说教法、学法注重培养四种能力让学生经历观察、计算、比较、探讨等过程，增加学生的参与机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为学习的主体，进一步培养和提高他们各方面的能力。动手实践总结归纳观察思考合作探究学法六、说教学过程通过实际情境，帮助学生更好地理解完全平方公式.设计意图六、说教学过程通过问题，引导学生独立思考，引出新知识点.设计意图六、说教学过程培养学生的观察能力，总结归纳能力.学习运用完全平方公式进行因式分解的条件——完全平方式的特点.设计意图六、说教学过程通过例题，展示如何应用完全平方公式进行因式分解.设计意图六、说教学过程帮助学生综合掌握提公因式法和运用完全平方公式因式分解，提高学生的计算能力.设计意图六、说教学过程让学生用整体思维的方式解决问题.设计意图六、说教学过程通过练习巩固本课所学，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。设计意图课堂小结:六、说教学过程对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。设计意图课堂板书七、说板书设计八、说评价设计能力对标目标对照具体评价评价星级学习理解完全平方公式定义☆☆☆☆☆特征☆☆☆☆☆辨析☆☆☆☆☆实践应用识别平方差公式的结构特征步骤☆☆☆☆☆正确率☆☆☆☆☆规范度☆☆☆☆☆实践应用利用完全平方公式进行因式分解基础题☆☆☆☆☆变式题☆☆☆☆☆综合题☆☆☆☆☆创新迁移思维提升本节课学习是否提升你的代数变形意识☆☆☆☆☆九、说教学反思在练习中，部分学生仍然存在一些问题：一是对公式中字母x和y的含义理解不够透彻，导致在实际应用中混淆；二是对于一