2024届内蒙古满洲里市数学九年级上册期末质量检测模拟试题含解析

2024届内蒙古满洲里市数学九上期末质量检测模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在中，DE〃BC,AD=5t30=1（）,AE=4,AC=（）

A.8B.9C.10D.12

2.下列事件中是不可能事件的是（）

A.三角形内角和小于180。B.两实数之和为正

C.买体育彩票中奖D.抛一枚硬币2次都正面朝上

3.如图所示，线段A8与CO交于点。，下列条件中能判定ACBD的是（）

A.oc=\tOD=2,OA=3,05=4B.04=1,AC=2,AB=3,80=4

C.0C=\,OA=2,CD=3,08=4D.0C=1>OA=2,44=3,CD=4

4.已知“是方程2F—4x—3=0的一个根,则代数式2/-4〃的值等于（)

A.3B.2C.0D.1

5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与X轴交于点A,与y轴交于点B,点C是AB的中点，NECD绕点C

按顺时针旋转，且NECD=45\NECD的一边CE交y轴于点F,开始时另一边CD经过点O,点G坐标为（・2,0）,当NECD

旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的路径长为

(

D..

c.72

4

6.如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90。，得到线段AB,则点B的

A.（-4,1）B.（-1,2）C.（4,-1）D.（1,-2）

7.方程（m-2）x2+mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）

A.任何实数.B.m和C.n#2D.m*-2

8.一元二次方程2——X=1的一次项系数和常数项依次是（）

A.一1和1B.一1和一1C.2和一1D.一1和3

9.如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点尸在线段A3上移动.若点4、4的

坐标分双为（-2,3）、（1,3）,点N的横坐标的最大值为4,则点M的横坐标的最小值为（）

A.-1B.一3C.-5D.-7

10.如图，在RtAABC中，NBAC=900,AH是高，AM是中线，那么在结论①NB=NBAM,②NB=NMAH,③NB=NCAH

中错误的个数有（）

C.2个D.3个

11.桌面上放有6张卡片（卡片除正面的颜色不同外，其余均相同），其中卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色,

1张是黑色.现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是

()

12.若数据2,x,4,8的平均数是4,则这组数据的中位数和众数是（）

A.3和2B.4和2C.2和2D.2和4

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知土="|,则三二上=___.

），3y

14.点（机,1）是二次函数y=f-2X一1图像上一点，则3，〃2-6"7的值为

15.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AH_LBC于点H,连接OH,若OB=4,S0ABeD=24,

17.已知点A（-2,m）>B（2,n）都在抛物线y=x2+2x-t上，则m与n的大小关系是mn.（填“>”、“V”

或“=”）

18.如瓯点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DEHBC,EFIIAB,如果AD：DB=3：2,那么BF：FC=.

三、解答题（共78分）

（1）求证；AC是OO的切线:

（2）若BF=8,DF=V40，求。O的半径；

（3）若NADB=60。，BD=1,求阴影部分的面积.（结果保留根号）

23.（10分）已知，如图，在△ABC中，ZC=90°,点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分

别为点E、F,DF与AB交于点H,延长DE交BC于点G.求证：△DFGsaBCA

24.（10分）如图所示是某路灯灯架示意图，其中点A表示电灯，和5C为灯架，/表示地面，己知A5=2m,BC

=5.7〃?，/A3c=U（F,8CJJ于点C,求电灯A与地面/的距离.（结果精确到0.1〃?.参考数据:sin20S：0.34,cos20K0.94,

tan20°^0.36）

25.（12分）我们不妨约定：如图①，若点D在AABC的边AB上，且满足NACD=NB（或NBCD=NA）,则称满足

这样条件的点为AABC边AB上的“理想点”.

（1）如图①，若点D是AABC的边AB的中点，AC=2jLAB=4.试判断点D是不是AABC边AB上的“理想点”,

并说明理由.

(2)如图②，在＜30中，AB为直径，且AB=5,AC=4.若点D是AABC边AB上的“理想点％求CD的长.

(3)如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,・3),C为x轴正半轴上一点，且满足NACB=45。，在y轴上是否

存在一点D,使点A是B,C,D三点围成的三角形的“理想点%若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理

由.

26.如图，在平面直角坐标系北少中A(0,8),8(6,0),C(0,3),点。从点A运动到点笈停止，连接C。，以C。长为

直径作P.

(D若二ACO二AO8,求的半径;

(2)当与A8相切时，求4008的面积;

(3)连接AP、BP,在整个运动过程中，△243的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是,

请说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

AnAp

【分析】先由DE/7BC得出F==不，再将已知数值代入即可求出AC.

ABAC

【详解】・・・DE〃BC,

ADAE

••'='9

ABAC

VAD=5,BD=10,

AAB=5+10=15,

VAE=4,

.54

••—=-----，

15AC

AAC=12.

故选：D.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.

2、A

【解析】根据三角形的内角和定理，可知：“三角形内角和等于180。”，故是不可能事件;

根据实数的加法，可知两实数之和可能为正，可能是0,可能为负，故是可能事件；

根据买彩票可能中奖，故可知是可能事件；

根据硬币的特点，抛一枚硬币2次有可能两次都正面朝上，故是可能事件.

故选A.

3、C

【解析】根据平行线分线段成比例的推论：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,

那么这条直线平行于三角形的第三边，逐项判断即可得答案.

OCOA

【详解】A.V----w-----

ODOB

，不能判定AC//BD,故本选项不符合题意;

OCOA

B.无法判断

OD-OB

则不能判定AC//BD,故本选项不符合题意;

C.VOC=\,。4=2,CD=3,08=4

OCOA

ODOB

:.AC//BD

故本选项符合题意;

OCOA

D.V——*——

ODOB

・••不能判定AC〃BD,故本选项不符合题意;

故选C.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例的推论，熟练掌握此推论判定平行是解题的关键.

4、A

【分析】根据题意，将。代入方程得2/—44—3=0,移项即可得结果.

【详解】•・•〃是方程21—4x—3-0的一个根,

••2。~—4。-3=0,

:.2a2-4。=3,

故选A.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，已知方程的根，只需将根代入方程即可.

5、A

【解析】先确定点B、A、C的坐标，①当点G在点。时，点F的坐标为(0,2),此时点F、B、C三点的圆心为BC

的中点，坐标为(1,3);②当直线OD过点G时，利用相似求出点F的坐标，根据圆心在弦的垂直平分线上确定圆心

在线段BC的垂直平分线上，故纵坐标为孑，利用两点间的距离公式求得圆心的坐标，由此可求圆心所走的路径的长

度.

【详解】,・,直线)，=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,

・・・B(0,4)A(4,0),

•・•点C是AB的中点，

，C(2,2),

①当点G在点O时，点F的坐标为(0,2),此时点F、B、C三点的圆心为BC的中点，坐标为(1,3)；

②当直线OD过点G时，如图，

连接CN.OC,贝！|CN=ON=2,:.OC=2桓,

VG(-2,0),

工直线GC的解析式为：)，=g.E+l,・••直线GC与y轴交点M(O,1),

过点M作MH±OC,VZMOH=45°,AMH=OH=—,

2

.*.CH=OC-OH=^^,

2

VZNCO=ZFCG=45°NFCN二NMCH,

又・.・NFNC=NMHC,

AAFNC^AMHC,

FN2

FNCN-f=-=—f=-四28

MH=CH脚an也至一得a?,.,.啊

22

此时过点F、B、C二点的圆心在BF的垂直平分线上，设圆心坐标为（x,—）f

则/+令=（27）2+（与-2）2,解得X=

JJ

当NECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的

410

路径为线段，即由BC的中点到点（；，—

33

A所经过的路径长二M』十件2『=当.

故选：A.

此题是一道综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定及性质定理，两点间的距

离公式，综合性比较强，做题时需时时变换思想来解题.

6、D

【解析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a,相应的新图形就是把原图

形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a,相应的新图形就是把原

图形向上（或向下）平移a个单位长度；

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30。,45。,

60°,90°,180°.

【详解】将线段AB先向右平移5个单位，点B（2,1）,连接OB,顺时针旋转90。，则IT对应坐标为（1,・2）,

故选D.

【点睛】

本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键.

7、C

【分析】根据二次项系数不为0列出不等式，解不等式得到答案.

【详解】:方程（m-2〉x2+mx-1=0是关于x的一元二次方程，

Am-2#0,

解得，n#2,

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用问题，掌握一元一次方程的性质以及应用是解题的关键.

8、B

【解析】根据一元二次方程的一般形式进行选择.

【详解】解：2x2-x=l,

移项得：2x2-x-l=0,

一次项系数是・1,常数项是

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且时0）特别要注意a邦的条件.这是在做

题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax?叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a,b分别叫二次项系数，

一次项系数.

9、C

【分析】根据顶点「在线段A8上移动，又知点A、4的坐标分别为｛-2,3）、（1,3）,再根据平行于R轴，MV之

间距离不变，点N的横坐标的最大值为4,分别求出对称轴过点A和8时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值.

【详解】根据题意知，点N的横坐标的最大值为4,

此时对称轴过8点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（-2,0）,

当对称轴过A点时，点"的横坐标最小，此时的N点坐标为（1,0）,M点的坐标为（—5,0）,

故点M的横坐标的最小值为-5,

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线与X轴的交点，二次函数的图象与性质.解答本题的关键是理解二次函数在平行于X轴的直线上移

动时，两交点之间的距离不变.

10、B

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出NB=NBAM,根据已知条件判断NB=NMAH

不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出NB=NCAH.

【详解】①•・•在RtZkABC中，ZBAC=90°,AH是高，AM是中线，

/.ZB=ZBAM,①正确；

②・.・NB=NBAM,不能判定AM平分NBAH,

・・・NB=NMAH不一定成立，②错误；

③・.・NBAC=90°,AH是高，

/.ZB+ZBAH=90°,ZCAH4-ZBAH=90°,

AZB=ZCAH,③正确.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能

根据这些性质进行推理是解此题的关键.

11、A

【详解】・・•桌面上放有6张卡片，卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色，

31

，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是：y=~.

62

故选A.

12、A

【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；据此先求得x的值，再将数据按从小到大

排列，将中间的两个数求平均值即可得到中位数，众数是出现次数最多的数.

2+V-I-4-I-.Q

【详解】这组数的平均数为-------=4,

4

解得：x=2；

所以这组数据是：2,2,4,8；

中位数是（2+4）+2=3,

2在这组数据中出现2次，4出现一次，8出现一次，

所以众数是2；

故选：A.

【点睛】

本题考查平均数和中位数和众数的概念.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、2

3

X-1V

【解析】根据题意，设x=5A,y=3kt代入即可求得——的值.

y

【详解】解：由题意，设x=5&,y=3h

,x->_5k-3k_2

•••

y3k3

故答案为I".

【点睛】

本题考查了分式的求值，解题的关键是根据分式的性质对已知分式进行变形.

14、1

【分析】把点（团,1）代入尸犬-2”1即可求得病-2〃?值，将3〃/一6帆变形3（〃/-2租），代入即可.

【详解】解：丁点（6,1）是二次函数y=f-2尤一1图像上，

1=rrr-2m-｝则〃/-2m=2.

/.3m2-6m=3（〃P—2〃?）=3x2=6

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键.

15、3

【分析】由四边形ABCD是菱形，OB=4,根据菱形的性质可得BD=8,在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半

求得AC=6,再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OH的长.

【详解】,・•四边形ABCD是菱形，OB=4,

AOA=OC,BD=2OB=8；

••'S菱形ABCD=24,

AAC=6：

VAH±BC,O/\=OC,

/.OH=|AC=3.

故答案为3.

【点睛】

本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式(菱形的面积等于两条

对角线乘积的一半)求得AC=6是解题的关键.

16、m>-—

4

【分析】根据根的判别式，令△>(),即可计算出m的值.

【详解】,・•关于x的方程x2・x-m=0有两个不相等实根，

/.△=1-4xlx(-m)=l+4m>0,

解得J.

故答案为--J-.

【点睛】

本题考查了一元二次方程系数的问题，掌握根的判别式是解题的关键.

17、<

【解析】根据二次函数的性质得到抛物线尸x2+2x-t的开口向上，有最小值为WL对称轴为直线x=・l,则在对称轴左

侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，进而解答即可.

【详解】Vy=x2+2x-t=(x+1)

Aa=l>0,有最小值为

，抛物线开口向上，

•・•抛物线y=x2+2x-t对称轴为直线x=-l,

V-2<0<2,

故答案为：V

18、3:2

AnAp3CF2RF3

【解析】因为所以黑=展=巳因为£尸〃A仇所以左=三=彳,所以故答案为:3:2.

DBEC2EABF3FC2

三、解答题(共78分)

19、(1)抛物线的解析式为：y=-LxzZx+l

(1)存在，Pi(-,2),Pl(-,-),P3-二)

(3)当点E运动到(1,1)时，四边形CDBF的面积最大，S因边形CDBF的面积最大=——•

【解析】试题分析：(D将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

(D根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于

Pi;以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P”P3；作CH垂直于对称轴与点H,由等腰三角形的性质及勾股定

理就可以求出结论；

(3)由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F

的坐标，由四边形CDBF的面积=SABCD+SACEF+SABEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论.

试题解析：(1)T抛物线y=・〈xi+mx+n经过A(-1,0),C(0,1).

・・・抛物线的对称轴是、=三.

■

AOD=-.

,

VC(0,1),

AOC=1.

在R3OCD中，由勾股定理，得

CD二二.

VACDP是以CD为腰的等腰三角形,

/.CPI=CPI=CP3=CD.

作CHJLx轴于H,

AHPi=HD=l,

ADPi=2.

AP1(—>2),Pl(—9一),P3(一9-二);

■■■—一

[

(3)当y=0时，0=----x'+—x+1

■■

.\X1=-1,X1=2,

AB(2,0).

设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象，得

0=色

卜1=二:k+额'

解得:卜4

Ik=2

，直线BC的解析式为：y=--x+1.

11；

如图I,过点C作CMJLEF于M,设E(a,--a+1),F(a,--a,+-a+l),

/.EF=--a'+—a+1-(--a+1)=--a'+la(0<x<2).

VS四边形CDBF=SABCD+SACEF+SABEF=:BD・OC+gEF*CM+-^EF・BN,

/■■

=—:二2+—a(--a,+la)+—(2-a)(-—a*+la),

-al+2a+-(0<x<2).

，a=l时，S四边形CDBF的面积最大=1,

AE(1,1).

考点：1、勾股定理；1、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；2、二次函数的最值

1|327

20、⑴y=—x+3或尸一x----；(2)——

22216

【分析】(1)根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线/的解析式，直线平移，斜率不变，

设平移后的直线方程为力；把点8和O的坐标代入进行解答即可；

(2)根据正方形是中心对称图形，当直线/经过对角线的交点时，恰好平分正方形48co的面积，求得交点坐标，代

入根据待定系数法即可求得直线/的解析式，然后求得£、〃的坐标，根据待定系数法求得直线〃"的解

析式，得到与J轴的交点。的坐标，根据三角形面积公式即可求得.

【详解】(D•・•长为3的正方形4ACO中，点A的坐标为(5,4),

：.B(2,4),C(2,1),D(5,1),

设直线，的解析式为y=人，

把C(2,1)代入得，1=2A,解得k=’,

2

*,•直线/为：y=-x,

设平移后的直线方程为y=；x+〃，

把点3的坐标代入，得:4='x2+b,

2

解得b=3,

把点Z)的坐标代入，得：l='xS+瓦

2

3

解得：b=■二，

2

113

则平移后的直线/解析式为：)，=5工+3或)，=§x-

(2)设4c和"。的交点为P,

75

，尸点的坐标为(不，—)>

22

1s17

把尸点的坐标代入y=7x+力得，-=-x-+/>,

2222

解得力

4

13

・••此时直线/的解析式为)，=5'+彳，如图,

33

：.E(-0),F(0,-),

24

设直线BE的解析式为：y=mx+〃，

8

3m=—

----tn+z?=07

则2,解得:

12

2"?4-72=4n=­

7

Q1?

・•・直线BE的解析式为：y=,x+亍，

,,12、

••2(0,—),

12327

:・QF=---------=—

7428

【点睛】

本题主要考查一次函数的图象的平移和正方形的性质的综合，掌握待定系数法和求直线和坐标轴的交点坐标是解题的

关键.

历5

21、(1)x=-6,X2=2；(2)x=l+—,x=l-—

22

【分析】(D利用因式分解法求解可得;

(2)利用公式法求解可得.

【详解】解：(1),・・f+4工-12=0,

(x+6)(x-2)=0,

则x+6=0或x-2=0,

解得N=-6,匕=2；

(2)Vfl=2,h=-4,c=\,

/.△=(-4)2-4x2xl=8>0,

则片区也年也

42

:♦X[=l+^~，x2=lV2

2

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟悉一元二次方程的解法.

22、（1）证明见解析；（2）6；（3）应二£

12

【解析】（1）连接OA、OD,如图，利用垂径定理的推论得到OD_LBE,再利用CA=CF得到

ZCAF=NCFA,然后利用角度的代换可证明NOAD+NCAF=90。,则OA_LAC,从而根据

切线的判定定理得到结论；

（2）设。0的半径为r,则OF=8・i•，在RtAODF中利用勾股定理得到

（8-「）2+”=（J而了,然后解方程即可；

⑶先证明ABOD为等腰直角三角形得到OB=巫厕OA=^，再利用圆周角定理得到NAOB=2NADB=120J则

22

NAOE=60〃,接着在RtAOAC中计算出AC,然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面

积.

【详解】（1）证明：连接OA、OD,如图，

YD为BE的下半圆弧的中点，

AOD1BE,

AZODF+ZOFD=90°,

VCA=CF,

AZCAF=ZCFA,

而NCFA=NOFD,

/.ZODF+ZCAF=90o,

VOA=OD,

AZODA=ZOAD,

/.ZOAD+ZCAF=90°,BPZOAC=90°,

・・・OA_LAC,

・・・AC是。O的切线；

(2)解：设。。的半径为r,则OF=8・r,

22

在RtZkODF中，(8・r)+r=(^40)?，解得门=6,r2=2(舍去),

即。。的半径为6；

(3)解：VZBOD=9()°,OB=OD,

/.△BOD为等腰直角三角形，

VZAOB=2ZADB=12()°,

:.ZAOE=60°.

在RBOAC中，AC=V3

知识求解.

23、见解析

【分析】通过角度转化，先求出ND=NB,然后根据NC=NDFG=90。，可证相似.

【详解】•:DF_LBC于F,ZC=90°

.•.ZDFG=ZC=9()°

又DE_LAB于点E

AZDGB+ZB=90°

又NDGB+ND=90°

AZB=ZD

AADFG^ABCA.

【点睛】

本题考查证相似，解题关键是通过角度转化，得出ND=NB.

24、电灯从距离地面/的高度为6.4米.

【分析】过A作AO_L，，过3作于E,贝ljOE=8C=5.7〃］，解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：过A作AO_L/,过〃作BEL1O于£,则OE=〃C=5.7%

VZABC=110°,

:.NA3E=20°,

AZ4=70°,

AEAE

/.sin20°=—=—=0.34,

AB2

解得：4E=0.68,

：.AD=AE+DE^6A；

答：电灯从距离地面，的高度为6.4米.

【点睛】

考核知识点：解直角三角形应用.构造直角三角形，解直角三角形是关键.

12-

25、(1)是，理由见解析；(2)―；(3)D(0,42)或D(0,6)

【分析】⑴依据边长AC=2jLAB=4,D是边AB的中点，得到氧2=4＞他，可得到两个三角形相似，从而得

到NACD=NB；

(2)由点D是AABC的“理想点”，得到/ACD=NB或NBCD二NA,分两种情况证明均得到CD_LAB,再根据面积法求

出CD的长；

⑶使点A是B,C,D三点围成的三角形的“理想点”，应分两种情况讨论，利用三角形相似分别求出点D的坐标即可.

【详解】(DD是△ABC边AB上的“理想点”，理由：

VAB=4,点D是△ABC的边AB的中点，

/.AD=2,

2

VAC=8,AD^AB=8t

又・・・NA=NA,

AAADC^AACB,

AZACD=ZB,

・・・D是AABC边AB上的“理想点”.

(2)如图②,

②

•・,点D是△ABC的“理想点”，

:.ZACD=ZB或NBCD=NA,

当NACD=NB时，

VZACD+ZBCD=90°,

.\ZBCD+ZB=9()°,

.\ZCDB=90°,

当NBCD=NA时，同理可得CD_LAB,

在RtZkABC中，VZACB=90°,AB=5,AC=4,

：•BC=y/AB2-AC2=V52-42=3，

V-ABCD=-ACBC,

22

A-?5CD,仓由4,

**•CD=—.

5

(3)如图③，存在.

过点A作MA±AC交CB的延长线于点M,VZMAC=ZAOC=900,ZACM=45°,

:.ZAMC=ZACM=45°,

AAM=AC,

VZMAH+ZCAO=90°,ZCAO+ZACO=9()°,

.\ZMAH=ZACO,

/.△AHM^ACOA

.\MH=OA,OC=AH,

设C(a,0),

VA(0,2),B(0,-3),

AOA=MH=2,OB=3,AB=5,OC=AH=a,BH=a-5,

VMH/7OC,

.MH_BH

^~OC~~OBr

.2_a-5

:.—=-----，

a3

解得a=6或(舍去)，

经检验a=6是原分式方程的解，

AC(6,0),OC=6.

①当NDCA=NABC时，点A是aBCDi的“理想点”，

设Di(0,m),

VZD1CA=ZABC,ZCDiA=ZCDiB,

/.△DIAC^ADICB,

；・CD；=D]A?D3,

/.nr+62=(m-2)(/”+3),

解得m=42,.*.D](0,42)；

②当NBCA:NCD2B时，点A是△BCD?"理想点”,

可知：ZCD2O=45°,

.*.OD2=OC=6,

综上，满足条件的点D的坐标为D(0,42)或D(0,6).

【点睛】

此题考查相似三角形的判定及性质，通过证明三角形相似得到点是三角形某条边上的“理想点”，通过点是三角形的“理

想点”，从而证明出三角形相似，由此得到点的坐标，相互反推的思想的利用，注意后者需分情况进行讨论.

26、(1)—；(2)—；(3)是，—

8102

【分析】⑴若.ACD-AOB,则空=?，代入数值即可求得CD,从而求得。夕的半径.