2024届山西临汾平阳中学九年级上册数学期末质量检测模拟试题含解析

2024届山西临汾平阳中学九上数学期末质量检测模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如果2x=3y,那么2的值为（）

y

2235

A.-B.—C.-D.一

3523

2.下列关于x的一元二次方程没有实数根的是（）

22

A.X+5X-}=0B.X-4X+4=0C.2f+6x+3=0D.f+2x+2=0

3.下列函数中，＞是x的反比例函数的是（）

22

A.y=2xB.y=——x~lC.y=----D.

3-21

4.如图，平行四边形ABC。中，对角线AC、80相交于点O,且AC=6,BD=8,0是对角线50上任意一点，过点

/＞作£尸”4。，与平行四边形的两条边分别交于点£、足设EF=yf则能大致表示y与x之间关系的图象为

5.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE±EF.有下列结论:

①NBAE=30“；

②射线FE是NAFC的角平分线；

（3）CF=-CD；

3

@AF=AB4-CF.

其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，为。。的直径，C,。为。。上的两点，且。为4。的中点，若NR4O=20。，则NACO的度数为

（）

7.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂第二季度平均每月的增长率为工，那么X

满足的方程是（）

A.50（1+x）2=182B.50+50（1+X）+50（1+X）2=182

C.50（1+^）+50（1+X）2=182D.5O+5O（l+x）=182

ci—h

8.一次函数丫=a*+1)与反比例函数y=——，具中abV。，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是()

9.下列成语所描述的事件是必然事件的是()

A.守株待兔B.瓮中捉鳖C.拔苗助长D.水中捞月

10.将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，冉向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为()

A.y=(x+1)2-13B.y=(x-5)2-3

C.y=(x-5)2-13D.y=(x+1)2-3

11.如医，点/是AABC的内心，N8/C=130。，则NK4C=()

12.如图，点A,B的坐标分别为(0,8),(10,0),动点C,。分别在。4,上且CO=8,以CO为直径作。尸

交AB于点E,F.动点。从点O向终点A的运动过程中，线段E尸长的变化情况为()

A.一直不变B.一直变大

C.先变小再变大D.先变大再变小

二、填空题(每题4分，共24分)

13.二次函数)，二一(工一6)2+8的最大值是.

1121I3心+卜?…依据上述规律，则

14.+一二一必

已知4=尔+5=3'生2x3x4383

15.如医，已知二次函数,，=/+机g”顶点。的纵坐标为-3,平行于x轴的直线/交此抛物线A，笈两点，且

AB=6,则点。到直线/的距离为

16.若点4(-4,山)、3(-2,j2)>C(2,%)都在反比例函数丁二一」的图象上，则“、力、”的大小关系是________.

X

17.在△A3C中，ZB=45°,cosA=^-,则NC的度数是.

18.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1.5,0),D(4.5,0),AABC与ADEF位似，原点O是位似中心.若DE

19.(8分)综合与探究

如图，抛物线(。邦)与x轴交于A(-3,0)、"两点，与y轴相交于点C(0,JJ).当x=-4和x=2时，

二次函数)，=。必+"+c(存0)的函数值)，相等，连接AC,BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断ZVIBC的形状，并说明理由；

(3)若点M、N同时从8点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿84、3C边运动，其中一个点到达终点时，

另一点也随之停止运动，当运动时间为/秒时，连接的N,将沿MN翻折，4点恰好落在AC边上的尸处，贝h

的值为,点尸的坐标为：

(4)抛物线对称轴上是否存在一点F,使得尸是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由：若存在,

请直接写出点尸的坐标.

20.（8分）如图，一次函数），="+〃的图象与反比例函数），=一图象交于A（-2,1）,B（1,〃）两点.

x

（1）求n的值；

（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围.

21.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE_LBC于点E.若一个三角形模板与4ABE完全重合地叠放在一起，现

将该模板绕点E顺时针旋转.要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上，请探究平行四边形

ABCD的角和边需要满足的条件.

22.（10分）如图，A&A…A。是半径为1的，4的内接正十边形，平分NO&A

(1)求证：=AXPO\；

（2）求证：RA之=号1

23.（10分）如图，在东西方向的海面线/WN上，有4,8两艘巡逻船和观测点。（A,B,D在直线MN上）,两

船同时收到渔船。在海面停滞点发出的求救信号.测得渔船分别在巡逻船4,3北偏西3（T和北偏东45。方向，巡逻

船A和渔船。相距120海里，渔船在观测点。北偏东15。方向.（说明:结果取整数.参考数据：&b1.41，6x1.73.）

（1）求巡逻船8与观测点。间的距离；

（2）已知观测点。处45海里的范围内有暗礁.若巡逻船/沿8c方向去营救渔船。有没有触礁的危险？并说明理由.

24.（10分）如图，已知二次函数y=af+bx+c的图象与x轴相交于A（-1,0）,B（3,0）两点，与y轴相交于点

C（0,-3）.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH_Lx轴于点H,与RC交于点M,连接PC

①求线段PM的最大值；

②当APCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.

25.（12分）倡导全民阅读，建设书香社会.

（调查）目前，某地纸媒体阅读率为40%,电子媒体阅读率为80%,综合媒体阅读率为90%.

（百度百科）某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中,

至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平.

（问题解决）（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；

（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会.预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合

阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%,求百分数x.

26.已知抛物线与x轴交于A（-2,0）,B（3,0）两点，与），轴交于点。（0,6）.

（1）求比抛物线的表达式及顶点的坐标；

（2）若点。是x轴上方抛物线上的一个动点（与点4C,3不重合），过点。作轴于点F,交直线BC于点E,

连结BD.设点D的横坐标为川.

①试用含ni的代数式表示DE的长；

②直线能否把分成面积之比为1：2的两部分？若能，请求出点。的坐标；若不能，请说明理由.

（3）如图2,若点M（l,a）,N（2,〃）也在此抛物线上，问在V轴上是否存在点Q,使NMQN=45。？若存在，请直

接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】由已知条件2x=3y,根据比例的性质，即可求得答案.

【详解】解：:2、=3¥，

X3

y2

故选c.

【点睛】

本题考查比例的性质，本题考查比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质.

2、D

【解析】利用一元二次方程的根的判别式逐项判断即可.

【详解】一元二次方程的根的判别式为△=6-4«,逐项判断如下：

A、A=52-4xlx（-l）=29>0,方程有两个不相等的实数根，不符题意

B、A=（-4）2-4xlx4=0,方程有两个相等的实数根，符合题意

C、A=62-4X2X3=I2>0>方程有两个不相等的实数根，不符题意

D、A=22-4xlx2=-4<0,方程没有实数根，符合题意

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式办2十法十c=O（a"O）有：（1）当A=6—4qc>0时，方程

有两个不相等的实数根；（2）当△=〃—4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当/二。2一4奴.<。时，方程没

有实数根.

3、B

【分析】根据y是x的反比例函数的定义，逐一判断选项即可.

【详解】A、）=2x是正比例函数，故本选项不符合题意.

B、）’是x的反比例函数，故本选项符合题意；

c、y不是1的反比例函数，故本选项不符合题意；

D、）'=-x是正比例函数，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式），二人（kHO的常数），是解题的关键.

X

4、A

【分析】根据图形先利用平行线的性质求出△BEFSAAAC,再利用相似三角形的性质得出x的取值范围和函数解析

式即可解答

【详解】当归彩4时,

•••30为AA8C的中线，EF//ACt

为A3E户的中线，ABEFsABAC,

BPEFxy5H3

..而二就’即片/解得二万町，

3

同理可得，当4〈烂8时，y=-(8-x).

故选A.

【点睛】

此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似

5、B

【分析】根据点E为RC中点和正方形的性质，得出NRAE的正切值.从而判断①,再证明AAREsAECF,利用有

两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABEsaAEF,可判断②③，过点E作AF的垂线于点G,再证明

△ABE^AAGE,AECF^AEGF,即可证明④.

【详解】解：・・・E是BC的中点，

,BE1

••tanNBAE=---=—,

AB2

・・・NBAE±30。，故①错误；

・・•四边形ABCD是正方形，

/.ZB=ZC=9()°,AB=BC=CD,

VAE±EF,

.\ZAEF=ZB=90°,

AZBAE+ZAEB=90o,ZAEB+FEC=90°,

AZBAE=ZCEF,

在ABAE和ACEF中，

ZB=ZC

NBAE=NCEF'

/.△BAE^ACEF,

.ABBEG

..——=——=2,

ECCF

/.BE=CE=2CF,

11

VBE=CF=-BC=-CD,

22

即2CF=-CD,

2

1

ACF=-CD,

4

故③错误；

设CF=a.贝1BE=CE=2a,AB=CD=AD=4a,DF=3a,

.•.AE=2后a,EF=\j5AF=5a,

.AE_2y/5BE_2y[5

・・赤--~EF--

.AEBE

•・前一百’

又・・・NB=NAEF,

AAABE^AAEF.

AZAEB=ZAFE,NBAE=NEAG,

XVZAEB=ZEFC,

AZAFE=ZEFC,

・,・射线FE是NAFC的角平分线，故②正确；

过点E作AF的垂线于点G,

在△ARE和aAGE中，

/BAE二/GAE

<ZB=ZAGE,

AE=AE

AAABE^AAGE(AAS),

/.AG=AB,GE=BE=CE,

在RtAEFG和RtAEFC中，

GE=CE

EF=EF'

RtAEFG^RtAEFC(HL),

AGF=CF,

AAB+CF=AG+GF=AF,故④正确.

故选B.

AD

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质.题目综合性较强，注意数形结

合思想的应用.

6、C

【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OC_LAD,由NBAD=20。，即可求得NAOC的度数，又由OC=OA,即可

求得NACO的度数

【详解】TAB为。O的直径，C为A。的中点，

/.OC±AD,

VZBAD=20°,

:.ZAOC=900-ZBAD=70°,

VOA=OC,

180

・/Arn

..Z.ACO=Z.CAO=-------一---/---A--O--C-=-1--8-0--------7--0----=55

22

故选：C.

【点睛】

此题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.此题难度不大，解题的关键是C为4力的中点，根

据垂径定理的推论，即可求得OC_LAD.

7、B

【分析】由题意根据增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么可以

用x分别表示五、六月份的产量，进而即可得出方程.

【详解】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么得五、六月份的产量分别为50(1+x)、50(1+x)2,

根据题意得50+50(1+x)+50(1+x)2=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的增长率问题，注意掌握其一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数

量，b为终止时间的有关数量，X为增长率.

8、C

【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0,计算a-b确定符号，确定双曲线的位置.

【详解】A.由一次函数图象过一、三象限，得a>0,交y轴负半轴，则bvO,

满足ab<0,

Aa-b>0,

，反比例函数的图象过一、三象限，

x

所以此选项不正确；

B.由一次函数图象过二、四象限，得a<0,交y轴正半轴，贝ijb>0,

满足ab<0,

/.a-b<0»

・・・反比例函数y=i的图象过二、四象限，

x

所以此选项不正确；

C.由一次函数图象过一、三象限，得a>0,交y轴负半轴，则bvO,

满足ab<0,

Aa-b>0,

・•・反比例函数产幺心的图象过一、三象限，

x

所以此选项正确；

D.由一次函数图象过二、四象限，得avO,交y轴负半轴，贝bvO,

满足ab~),与已知相矛盾

所以此选项不正确；

故选C.

【点睛】

此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小

9、B

【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件依次判定即可得出答案.

【详解】解：A选项为随机事件，故不符合题意；

B选项是必然事件，故符合题意；

C选项为不可能事件，故不符合题意；

D选项为不可能事件，故不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是

指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难

度适中.

10、D

【详解】因为y=­・4x-4=(x-2)

以抛物线y=x2・4x・4的顶点坐标为(2,.8),把点(2,・8)向左平移1个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐

标为(-1,-1),

所以平移后的抛物线的函数表达式为丫=(x+i)2-1.

故选D.

11、D

【分析】根据三角形的内接圆得到NABC=2NIBC,ZACB=2ZICB,根据三角形的内角和定理求出NIBC+NICB,

求出NACB+NABC的度数即可；

【详解】解：丁点/是A4月。的内心，

工NABC=2NIBC,NACB=2NICB,

VZB/C=130°,

:.N/SC+N/CB=1800-NCS=50°,

:.NABC+NAC3=2X500=100",

.•・NZMC=1800-(ZACB+ZABC)=80".

故选D.

【点睛】

本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.

12、D

【解析】如图，连接OP,PF,作P"_LA3于".点尸的运动轨迹是以O为圆心、OP为半径的。。，易知E尸=2尸"

=24PF2-PH2=\I\6-PH2»观察图形可知?”的值由大变小再变大，推出E尸的值由小变大再变小.

【详解】如图，连接OP,PF,作产"_LA5于".

VCD=8,ZCOD=90°,

：.OP=-CD=4

0f

・•・点尸的运动轨迹是以o为圆心o尸为半径的。a

YPH工EF,

：.EH=FHf

:・EF=2FH=2dPF?-PH?=Jlb-PH?，

观察图形可知产”的值由大变小再变大，

・•・£尸的值由小变大再变小，

【点睛】

此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知勾股定理及直角坐标系的特点.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1

【分析匚次函数的顶点式y=。(1-/?尸+人在x=h时有最值,a>0时有最小值,a<0时有最大值，题中函数。=一1<0,

故其在X=6时有最大值.

【详解】解：・・・。=一1<(),

・・・)'有最大值，

当大=6时，有最大值1.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.

【解析】试题解析：等号右边第一式子的第一个加数的分母是从1开始，三个连续的数的积，分子是1；第二个加数

的分子是1,分母是2,结果的分子是2,分母是1x3=3；

等号右边第二个式子的第一个加数的分母是从2开始，三个连续的数的积，分子是1;第二个加数的分子是L分母是

3,结果的分子是3,分母是2x4=8；

等号右边第三个式子的第一个加数的分母是从3开始，三个连续的数的积，分子是1:第二个加数的分子是1,分母是

4,结果的分子是4,分母是3x5=1.

99+1100

所以aw

99x101-9999

考点：规律型：数字的变化类.

15、1

【分析】设出顶点式y=(x-〃『-3,根据AB=6,设出B(h+3,a),将B点坐标代入，即可求出a值，即可求出直

线I与x轴之间的距离，进一步求出答案.

【详解】由题意知函数的顶点纵坐标为-3,可设函数顶点式为y=(x-〃『-3,

因为平行于工轴的直线/交此抛物线4,B两点,且48=6,所以可设B(h+3,a).

将B(h+3,a)代入)，=-3,得〃=(〃+3『-3=6

所以点B到x轴的距离是6,即直线1与x轴的距离是6,

又因为D到x轴的距离是3

所以点。到直线/的距离：3+6=1

故答案为1.

【点睛】

本题考查了顶点式的应用，能根据题意设出顶点式是解答此题的关键.

16、ji>yi>ji

【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得到答案.

【详解】,・•反比例函数,，二-』的比例系数kvO,

X

.・・在每一个象限内，y随X的增大而增大，

丁点A(-4,“)、B(-2,”)、C(2,J!)都在反比例函数y=-L的图象上，

x

.*.J2>J1>O,Jl<0,

故答案是：

【点睛】

本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，是解题的关键.

17、75°

【解析】已知在AA4C中。，cosA=-,可得NA=6U°,又因N8=45,根据二角形的内角和定埋可得N075、

2

18、2.1.

【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或・k得到位似比为g,然后根

据相似的性质计算AB的长.

【详解】解：VA(1.1,0),D(4.1,0),

.0A1.51

••---==—,

0D4.53

,•,△ABC与4DEF位似，原点O是位似中心，

.AB0A_\

••法二而二铲

11

AAB=-DE=-X7.1=2.1.

33

故答案为2.1.

【点睛】

本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点

的坐标的比等于k或・k.

三、解答题(共78分)

19、(1))，二—立/一述X+是直角三角形，理由见解析;(3月/一1,挛］;(4涛在，尸6)，

333I3J

F!(-1,-2>/3).

【分析】(1)由对称性先求出点3的坐标，可设抛物线的解析式为产心+3)(x-1),将。坐标代入尸a(x+3)(x-1)即可;

(1)先判断△A8C为直角三角形，分别求出A3,AC,8C的长，由勾股定理的逆定理可证明结论；

(3)因为点M、N同时从〃点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿A4、次;边运动，所以也以=从丫=£,证四边

形尸是菱形，设与y轴交于H,证△CTWs2^CA氏由相似三角形的性质可求出，的值，CH的长，可得出点

P纵坐标，求出直线4C的解析式，将点P纵坐标代入即可；

(4)求出直线8C的解析式，如图1,当NACr=90。时，点R,C,尸在一条直线上，求出直线〃C与对称轴的交点

即可；当NC4尸=90。时，求出直线AF的解析式，再求其与对称轴的交点即可.

【详解】(1)二•在抛物线产"+Z>x+c中，当x=-4和x=I时，二次函数产。3+必+。的函数值y相等，

-4+2

・•・抛物线的对称轴为x=——=-1,

2

又二抛物线产“+bx+c与x轴交于4(-3,0)、B两点,

由对栋性可知6(1,0),

・••可设抛物线的解析式为产n(x+3)(x-1),

将C(0,V3)代入y=a(x+3)(x-1),

得：-3a=6,

解得：a6

3

・•・此抛物线的解析式为尸一近(X+3)(L1)=-立3-迈x+G；

333

(1)△/3C为直角三角形.理由如下：

VA(-3,0),B(l,0),C(0,G),

，O4=3,08=1,OC=V3，

22

：.AB=OA+OB=4f4C=JoR2+oc2=l6,BC=^OB+OC

・.・4。+8。=16,AB'=16,

K

：.Ae+BC'=ABt

，△/ISC是直角三角形；

(3),・,点M、N同时从8点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿8A、3C边运动,

:・BM;BN=t,

由翻折知，△RMN24PMN,

:.BM=PM=RN=PN=t,

・••四边形尸M8N是菱形,

:.PN//AB,

:•△CPNs^CAB,设PM与y轴交于〃,

.PNCNCH

••耘一百一节‘

t2-tCH

即~i=~r=^/3

解得：CH=2,

33

：.OH=OC-CH=V3--=,

33

设直线AC的解析式为y=kx+,

将点A（・3,0）代入产AX+G，

得：A=3,

3

J直线AC的解析式为y=gx+6

将吁迈代入万旦+5

33

•»x=-1,

工P（・l，—）.

3

（4）设直线8c的解析式为尸Ax+G，

将点5（1,0）代入尸AX+VL

得：k=—\/3,

・•・直线BC的解析式为y=—Gx+G,

由（1）知△A3C为直角三角形，NAC'6=9（）。.

①如图1,当NACF=90°时，点氏C,尸在一条直线上,

在丁二一、回X+6中，当x=-l时，y=i73，

AFi（-1,1石）；

②当NC4尸=90°时，AF//BC,

・•・可设直线AF的解析式为＞-=-V5X+H,

将点A(-3,0)代入)，二一6》+〃,

得：〃=-，

・•・直线AF的解析式为y=—Gx-3#,

在y=-、回*・3右中，当尸T时，j=-1x/3»

AFi(-1,-173).

本题是二次函数综合题.考查了待定系数法求解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，

解答本题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用.

20、(1)m=-2,n=-2；(2)xv—2或0cx<1.

【解析】(D把A(-2,1)代入反比例函数丫二一，求出m的值即可；把B(1,n)代入反比例函数的解析式可求出

x

n；

(2)观察函数图象得到当xV-2或OVxVl时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即一次函数的值大于

反比例函数的值.

【详解】(1)解：・・•点A(-2,1)在反比例函数y='的图象上，

x

»,.//?=—2x1=—2.

・••反比例函数的表达式为y=--.

X

2

二•点B(b〃)在反比例函数)，二一一的图象上,

-2

•\fi=—=-2

1

(2)观察函数图象可知，自变量取值范围是：x<-2或

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待

定系数法求函数的解析式.也考查了观察函数图象的能力.

21、详见解析.

【分析】三角形模板绕点E旋转60°后，E为旋转中心，位置不变，仍在边BC上，过点E分别做射线EM,EN,

EM,EN分别AB,CD于F,G使得NBEM=NAEN=60。，可证ABEF为等边三角形，即EB=EF,故B的对应点为F.

根据SAS可证三一GEC,BPEA=GE

,故A的对应点为G,由此可得：要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上，平行四边形ABCD

的角和幼需要满足的条件是:/ABC=60°,AB=BC.

【详解】解：要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在ABCD的边上，ABCD的角和边需要满足的条件是：

ZABC=60°,AB=BC

理由如下：

三角形模板绕点E旋转60。后，E为旋转中心，位置不变，仍在边BC上，过点E分别做射线EM,EN,使得

ZBEM=ZAEN=60°，

VAE±BC,EPZAEB=ZAEC=90°,

/.ZBEM<ZBEA

工射线EM只能与AB边相交，记交点为F

在4BEF中,

VZB=ZBEF=60°,

AZBFE=180°-ZB-ZBEF=60°

:.ZB=ZBEF=ZBFE=6(r

・••△BEF为等边三角形

/.EB=EF

;当三角形模板绕点E旋转60。后，点B的对应点为F,此时点F在边AB边上

VZAEC=90°

AZAEN=60°<ZAEC

，射线EN只可能与边AD或边CD相交

若射线EN与CD相交，记交点为G

在RtZkAEB中，Zl=90°-ZB=30°

ABE=-AB

2

VAB=BC=BE+EC

：.EC=-AB

2

VZGEC=ZAEC-ZAEG=90°-60°=30°

;在「ABC7）中，AB//CD

ZC=1800-ZABC=120°

又・.・NEGC=180°-120°-30°=30°

AEC=GC

即AF=EF=EC=GC」AB,且Nl=NGEC=30°

2

A^EAF^GEC

Z.EA=GE

，当三角形模板绕点E旋转60。后，点A的对应点为G,此时点G在边CD边上

・•・只有当NABC=60。，AB二BC时，三角形模板绕点E顺时针旋转60。后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上.

二要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上，平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件

是:NABC=60°,AB=BC.

【点睛】

本题考查了旋转的性质以及平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的性质及判定是解题的关键.

22、（1）详见解析；（2）详见解析

【分析】（1）根据题意得出角相等得出△AiA2Ps△AQA2,再根据相似三角形的性质即可得出答案；

（2）设AIA2=X,得出OP=PA2=A1A2=X,AIP=1-X,再代入AA??=。4中即可求出答案.

【详解】证明：（1）・・・AiA2A3…Am是半径为1的。O的内接正十边形，A2P平分NOA2Al

，NAIOA2=36°,ZAI=ZOA2AI=72°,ZAIA2P=ZO=36°

AZA,PA2=72°,OP=PAZ，

AA/VA.P

/.△AiAzP^AAiOAz,~7^r~~T7~

o\AIA2

2

AAIA2=AIP*OAI

(2)设AIA2=X,

则OP=PA2=A|A2=X,

AAiP=l-x,

由(1)得AIAZ2=AIP・OAI

X2=lf，

•,*x2+1=0，

解得，x=T±J.一4以二T土石（负值舍去）

22

,75—1

••x=-----，

2

即伙=与1

【点睛】

本题考查了正十边形的性质及相似三角形的判定及性质定理，能够根据正十边形的性质得出角的度数是解题的关键.

23、（1）76海里；（2）没有触礁的危险，理由见解析

【分析】（1）作CEJ_MN.根据直角三角形性质求AE,CE,AB,再证△OC4sACB4,所以二二不.

CAAB

（2）作DD_LBC.ffiBF=DF,由BF2+DF2=BD2可求解.

【详解】解：（1）作CE1.MN.

因为渔船分别在巡逻船A,B北偏西30°和北偏东45。方向，

所以NCAE=60。,ZCBE=45°

所以NACE=30°,ZACB=180o-60°-45o=75°;

所以AE=gAC=60（海里），CE=BE=^（AC）2+（AE）2=V12O2+6O2=60x/3（海里）.

所以A3=60+60G.

因为渔船在观测点。北偏东15。方向.

所以NCDE=75。

所以NCDE=NACB,

所以△OCAsACRA.

jDAAC

所以二7二-7=•

CAAB

DA120

即---二---------产.

12()60+60G

解得，04=120(6—1).

，=(60+6。6)-120(6-1)=180—606=76海里.

(2)没有触礁的危险.

作OR_L8c.

因为NCBD=45。

所以BF=DF

所以BF2+DF2=BD2

即DF2+DF2=762

可求得DF=38>/2a54.

V54>45,

・•・没有触礁的危险.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答.

Q

24、⑴二次函数的表达式y=x2・2x・3；(2)①PM最大="②P(2,・3)或(3-正，2・4尤)・

【分析】(D根据待定系数法，可得答案;

(2)①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质,

可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案.

【详解】(1)将A,B,C代入函数解析式，

a-b+c=0a=1

得(9a+30+c=0,解得卜=-2,

c=-3c=-3

这个二次函数的表达式y=x2-2x-3；

(2)设BC的解析式为y=kx+b,

将B,C的坐标代入函数解析式，得

3k+b=0k=[

』3'解得

b=-3'

BC的解析式为y=x-3,

设M(n,n-3),P(n,n2-2n-3).

39

PM=(n-3)-(n2-2n-3)=-n2+3n=-(n---)2+—,

24

39

当n=二•时，「、1最大=

24

②当PM=PCW，(-n2+3n)2=n2+(n2-2n-3+3)2,

解得ni=O(不符合题意，舍)，iu=2,

n2-2n-3=-3,

P(2,-3)；

当PM=MC时，(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2,

解得ni=O(不符合题意，舍)，n2=3+C(不符合题意，舍)，n3=3.Q,

n2-2n-3=2-4亚,

P(3-72>2-4夜)；

综上所述：P(2,-3)或(3-72，2-472).

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解

题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.

25、(1)该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为50%.(2)x为10%.

【分析】(1)根据题意，利用某地传统媒体阅读率为8。％,数字媒体阅读率为40%,而综合阅读率为9()%,得出等

式求出答案；

(2)根据综合阅读人数■纸媒体阅读人数=只读电子媒体的人数，结合该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，

综合阅读人数按百分数x增加列出方程即可求出答案.

【详解】解：(1)设某地人数为a,既有传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数为y,

则传统媒体阅读人数为0.8a,数字媒体阅读人数为0.4a.依题意得：

0.8a+().4a-y=0.9a,

解得y=0.3a,

・••传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数占总人口总数的百分比为30%.

则该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为=80%-30%=50%.

(2)依题意得：0.9a(1+x)2+0.4a(1-x)2=0.5a(1+0.53),整理得：5x2+26x-2.65=0,

解得：xi=0.1=10%,X2=・5.3(舍去)，

答：x为10%.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键.

2

(1\75(]25)“-m-3+凤3m1(02〈<初in<。3)；②能’理由见解析'

26、(1)y=-x--,顶点坐标为：不了;(2)®DE=<

I2j4U4)

点。的坐标为(1,6)；(3)存在，点Q的坐标为：(0,3)或(0,6).

【分析】(1)根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后把一般式转化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；

(2)①先利用待定系数法求出直线的函数表达式，再设出点。、£的坐标，然