2024届浙江省浙南高考数学考前最后一卷预测卷含解析

2024届浙江省浙南名校高考数学考前最后一卷预测卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是（）

A.18种B.36种C.54种D.72种

2.由曲线j=x2与曲线炉=工所围成的平面图形的面积为（）

124

A.1B.—C.—D.一

333

3.正项等比数列{q}中的外、4039是函数/3=:X3_4工2+6X-3的极值点，则log6%）20=（）

A.-|B.1C.y/2D.2

4.如图，已知平面a_L4，ac0=l,A、4是直线/上的两点，C、。是平面夕内的两点，且DAJJ,CB1Z,

40=3,AB=6,CB=6.P是平面凌上的一动点，且直线PO,p。与平面a所成角相等，则二面角P—8C—。

的余弦值的最小值是（）

A书.»V3cj_

522

5.设集合A={X|-2<K,2,x£Z},3={x|k）g2XVl},则（）

A.（0,2）B.（-2,2]C.{1}D.{-1,0,1,2）

6.已知？的共枕复数是三，且（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.若函数>=/*）的定义域为M={x|-2±W2},值域为N={y|叱蜉2},则函数），=/*）的图像可能是（）

8.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”严礼%主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御*就是

体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数%指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连

排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座

不同的排课顺序共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

,4s-1

9.已知数列｛%｝的前〃项和为S〃，且％包二彳七，=1naN"，贝!]{%}的通项公式对=（)

2/?—1

A.nB.n+\C.2/?-1D.2/?+1

10.如匡，在平行四边形A3CD中，对角线AC与8。交于点。，且A£=2EO,则（）

A.-AD--ABB.-AD+-AB

3333

C.-AD--ABD.-AD+-AB

3333

11.已知。＞匕＞0,椭圆G的方程W+E=1，双曲线C的方程为£一£二1，G和C,的离心率之积为正,

crb~a~h~2

则C2的渐近线方程为()

A.x±V2y=0B.42x±y=(｝C.x±2y=OD.2x±y=0

12.(x-1+1)5展开项中的常数项为

X

A.1B.11C.-19D.51

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设集合A=｛1,3｝,B=1X|X2-2X-3<01,则AC5二.

14.安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的

安排方式共有________种（用数字作答）.

(3兀、cos(a+0=g,

15.已知a,夕£—,7i,cosp——=---,则sina+—

I4J<4J13I4)

16.己知无盖的圆柱形桶的容积是12万立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元，那么

圆桶造价最低为元.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在△A3C中，角所对的边分别为向量〃?=（2〃一瓶,Gc）,向量n=（cosB,cosC），且机//〃.

（1）求角。的大小；

（2）求y=sinA+8-5的最大值.

18.（12分）已知矩形AACQ中.AB=2BC=4,E,尸分别为的中点.沿石厂将矩形AE7X）折起，使

ZAEB=\35°t如图所示.设P、。分别为线段。/，8C的中点，连接夕。.

（1）求证：PQ〃平面DEB;

（2）求二面角A—BE—。的余弦值.

19.（12分）如图，已知正方形人3c。所在平面与梯形A8MN所在平面垂直，BM〃AN,NA=AB=2,BM=4,

CN=卓•

（1）证明：MN上平面BCN；

（2）求点N到平面COM的距离.

20.（12分）设等比数列｛q｝的前〃项和为S“，若a,川=2S“+l（〃eN*）

（I）求数列｛〃”｝的通项公式;

f1,

(n)在。”和之间插入〃个实数，使得这〃+2个数依次组成公差为4的等差数列，设数列｛丁｝的前〃项和为。，

求证：(<2.

21.(12分)已知椭圆氏】+工=1的离心率为e=Y3,且短轴的一个端点3与两焦点A,。组成

a2b22

的三角形面积为

(I)求椭圆E的方程；

(II)若点尸为椭圆E上的一点，过点尸作椭圆E的切线交圆0：/十丁二/于不同的两点“，汽(其中M在N

的右侧)，求四边形ACMN面积的最大值.

22.(10分)设函数/(“=卜+1|+卜-2《+1.

(1)当。=1时,解不等式/(x)«6；

(2)设。<一；，且当2〃Wxv—l时，不等式/(x)W2x+6有解，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.

【详解】

把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，

则不同的分配方案有=36种.

故选：B.

【点睛】

本题考杳排列组合，属于基础题.

2、B

【解析】

首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.

【详解】

y=x2[x=0fx,=1

联立方程：\\可得：।八，.,

[y=x[y=()\y2=\

结合定积分的几何意义可知曲线)，=炉与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为：

s=〕：(Gf)公=/一卡"斗

本题选择B选项.

【点睛】

本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.

3、B

【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为0,得出44039=6,再由等比数列的性质可得.

【详解】

解：依题意外、4039是函数/(力=:/-4/+61一3的极值点，也就是r(x)=d-8x+6=o的两个根

4〃4039=6

又｛%｝是正项等比数列，所以%)2。=>/4七4039=瓜

•J°g新"2020=l°g而#=1・

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.

4、B

【解析】

pA

NPB4为所求的二面角的平面角，由♦D4P〜♦。尸8得出而，求出产在。内的轨迹，根据轨迹的特点求出NPB4的

最大值对应的余弦值

【详解】

•・・ZM_L/,alB,ar\B=l,ADu0

ADA.a,同理9CJL&

/.为直线PD与平面a所成的角，NC尸3为直线PC与平面a所成的角

..ZDPA=/CPB,又/DAP=/CBP=90。

p

在平面。内，以A8为x轴，以A8的中垂线为）’轴建立平面直角坐标系

则4（―3。），8（3,0）,设P（x,y）（＞，＞0）

.•.2而+3）2+）=加一3『十,2,整理可得：（戈+5『+），2=16

.•，在a内的轨迹为M（-5,0）为圆心，以4为半径的上半圆

平面PBCc平面a=3C,PB工BC,AB.LBC

:.NPBA为二面角P-BC-D的平面角，

・••当PB与圆相切时，ZPBA最大,cos/尸3A取得最小值

此时PM=4,MB=8,MP工PB,PB=46

PB46x/3

cosZ.PBA==----=——

MB82

故选4

【点睛】

本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量

法等，依据题目选择方法求出结果.

5、C

【解析】

解对数不等式求得集合3,由此求得两个集合的交集.

【详解】

ilog2A：<l=1og22,解得0<x<2,故"=(0,2).依题意人={-1,0,1,2},所以八「8={1}.

故选：c

【点睛】

本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

6、D

【解析】

设2=工+加（阳），£四，整理回二彳+1—2i得到方程组•&-+「="+1,解方程组即可解决问题.

y+2-O

【详解】

设2=工+加（乂丁wR）,

因为|z|=N+1—2i,所以yjx2+y2=x—yi+1—2i=（%+1）—（y+2）/,

所以[乒了="1,解得：卜=1,

〔）'+2=0[y=-2

所以复数z在复平面内对应的点为此点位于第四象限.

故选D

【点睛】

本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题.

7、B

【解析】

因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；

对B满足函数定义，故符合；

对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；

对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定.

故选B.

8、C

【解析】

根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有&=2种，剩余的3门全排列,

即可求解.

【详解】

由题意，“数”排在第三节，贝心射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6

节，有3种，再考虑两者的顺序，有A；=2种，

剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A；=6种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3x2x6=36种不同的排法.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键,

着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

9、C

【解析】

利用%=N2)证得数列为常数列，并由此求得｛4,｝的通项公式.

【详解】

4V-1

由〃川二茶」7,得=4S「1,可得⑵L3)%=4S“T—1(,?>2).

相减得(2〃+1)/=(2〃-1)《山，则/(/?>2),又

2n-\2〃+1

4s-1

由4+i=——，4=1,得4=3，所以,所以)为常

2x1-12x1+1

数列，所以=1,故为=2〃-1.

2n-]2x1-1

故选：C

【点睛】

本小题考查数列的通项与前〃项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意吸.

10、C

【解析】

画出图形，以A区外。为基底将向量EO进行分解后可得结果.

【详解】

画出图形，如下图.

D

/o\/

/\/

AB

选取AA舛Q为基底，则4E=[AO=；AC=；(AB+AO),

・・・ED=AD-AE=ADAB+AD]=-AD--AB,

3、733

故选C.

【点睛】

应用平面向量基本定理应注意的问题

(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会

给解题带来方便.

(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.

11、A

【解析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合G和a的离心率之积为之

即可得。*的关系，进而得双曲线的离心率

2

方程.

【详解】

2222

椭圆G的方程[+当=1，双曲线c、的方程为二—与二i,

a~b-a-b-

则椭圆离心率,=应王，双曲线的离心率e,='"2+"-,

a~a

由G和的离心率之积为也,

2

即xla2-b2\!a2+tr△

即句殳=---------x--------=——，

aa2

解得2=±也，

a2

所以渐近线方程为)，=±乎X，

化简可得x土及y=0,

故选：A.

【点睛】

本题考杳了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.

12、B

【解析】

展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.

【详解】

展开式中的项为常数项，有3种情况:

(1)5个括号都出1,即7=1；

(2)两个括号出X,两个括号出(-』)，一个括号出1,即丁=仁./.仁.(一L)2.]=3()；

xX

(3)一个括号出X,一个括号出(-』)，三个括号出1,即丁=《”・。>(一3・1=一20；

xX

所以展开项中的常数项为7=1+30—20=11,故选B.

【点睛】

本题考杳二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质,即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、{1}

【解析】

先解不等式f—2x-3<0,再求交集的定义求解即可.

【详解】

由题，因为％2一2l—3<0,解得-lvxv3,即8={x|-lvx<3},

则4B={1},

故答案为:{1}

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式.

14、1296

【解析】

先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.

【详解】

由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有

C：A；=36,同理女生的排法共有4；=36,故不同的安排共有C；A；-C：A；=1296种.

故答案为：1296

【点睛】

本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.

【解析】

/\

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得sin(a+4),sin4-］的值，由两角差的正弦公式即可计算得

sina+f的值.

[4J

【详解】

cos(cr+/?)=^,cos]'..5_

13,

a+(甘，2万，万一5s

3

2

sin(cr+/?)=-Jl-cos+=5-

(a+A)sin['一?3541233

=sin(a+Q)cosp----cos—x-----------x-=-------

4I5八1351365

33

故答案为：一；

65

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.

16、360万

【解析】

设桶的底面半径为人用〃表示出桶的总造价，利用基本不等式得出最小值.

【详解】

设桶的底面半径为小高为则乃

故〃=4,

2

/.圆通的造价为y=30•万，+20-2^r-=30/rr+竺”

r

12幽二3。++小+小n3?3。储・幽・幽

解法一：y=30-^-r2+20-r•—=30^r24360乃

94（）乃

当且仅当3（）4产=二＞^,即r=2时取等号.

r

MI2480乃,（八480）

解法二：y=30不广+-----,贝!Iy=604「------

令艮P60%厂一'S?",解得厂＞2,此函数在（2,y）单调递增;

480乃八

令y'<0,即60s——<0,解得0＜一＜2,此函数在（0,2）上单调递减;

厂

4804八

令），'=0,即60乃厂—-=0»解得〃=2,

r

即当〃=2时，圆桶的造价最低.

所以）'min=30%X22+史经=360万

故答案为：360〃

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7T

17、(1)(2)2

6

【解析】

A

（1）转化条件得2sinAcosC=6sin（B+C）,进而可得cosC=T，即可得解;

（2）由A+8="5乃化简可得），=2sin|A+g71],由Ac（0,乎]结合三角函数的性质即可得解.

6\3J；\67

【详解】

(1)m!In，(2a-x/3Z?jcosC=VSccosB，

由正弦定理得2sinAcosC-\/5sinBcosC=x/5sinCeosB,

/.2sinAcosC=x/3(sinBcosC+sinCeos8)即2sinAcosC=x/3s\n(B+C),

又B+C=n—Af2sinAcosC=\/3sin/\>

又Aw(0,sinA/O,cosC=^^,

由C«(U)可得c=[.

6

(2)由(1)可得4+3=2,/.B=--At

66

y=sinA+y/3sin(B-y)=siiiA+Qsi〃(葛-A-y)=sinA+5/3.v/n(y-A)

=sinA+>/3cosA=2sin|A+—,

I3；

,/Ae0,—1,A+—G—2sinA+—e(-l,2],

I6J3^36JI3J

y=sinA+gsin(B-y)的最大值为2.

【点睛】

本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.

18、(1)证明见解析(2)旦

3

【解析】

⑴取OE中点R,连接PR,HR,可知ADE/中，依〃反且由Q是4c中点，可得则有8Q//PR且

2

BQ=PR^四边形BQPR是平行四边形，则有PQ//BR，即证得PQH平面DEB.

(2)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：加=卜5/1()/)，〃=(0,0,1)然后利用空间向量的相关结论可求得二

面角4一3七一。的余弦值.

【详解】

(1)取DE中点R,连接PR,BR,

则在△£)£尸中，PRHFE,且PR=、FE,

又Q是BC中点，所以6Q=38c=1放，

而且BQ//EF,所以

所以四边形BQPR是平行四边形，

所以PQf/BR,

又PQU平面DEB,BRu平面DEB,

所以PQ〃平面。砂.

（2）在平面ABE内作EG_LBE交AB于点G,以E为原点，EG,EB,EF分别为x,y,x轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则各点坐标为石（0,0,0）,8（020）,D（V2,-V2,2）,

所以仍二（0,2,0）,ED=（V2,-V2,2）,

设平面BED的一个法向量为m=（x,y,z）,

m.ED-0,y/2x-y/ly+2z=0

即,

m-EB=0y=0

取z=l,得加=（一夜,0,1）,

又平面ABE的一个法向量为/?=（（）,0,1）,

ITr

/irr、m.niV3

所以8sM〃卜师二⑹:y.

因此，二面角A—BE—O的余弦值为巫

3

【点睛】

本题考查线面平行的判定，考查利用空间向量求解二面角,考查逻辑推理能力及运算求解能力，难度一段.

19、（1）证明见解析（2）2叵

【解析】

(D因为正方形48CD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，平面ABC。平面A8MN=A8,8C_LAB,所以3CJ_

平面ABMNf

因为MNu平面A8MN,8Vu平面AZM/N,所以BC工MN,BC上BN,

因为BC=2,CN=2+,所以BNNcM-BC?=2丘，

因为附=AB=2,所以AB?+AN?=BN?,所以A8_LAN,

因为在直角梯形A8MN中，BM=4,所以MN=2五，

所以RN、MN?=BM?,所以BN工MN,因为8C'BN=B,所以M/V_L平面8CN.

(2)如图，取朋M的中点E,则3E=AN,

又BM//AN,所以四边形45£内是平行四边形，所以NE〃AB,

又AB"CD,所以NE〃CD,因为NE.平面COM,COu平面CDW,所以NE〃平面COM,

所以点N到平面CDM的距离与点E到平面CDM的距离相等，

设点N到平面COM的距离为h,由BE=EM可得息B到平面CDM的距离为2h,

2222

由题易得COJ■平面BCM,所以CD_LCM,KCM=y]i3C+HM=V2+4=25/5>

所以%=-x-xCDxCMx2h=-x-x2x2>/5x2h=^^-，

32323

xx

又匕f-Be8CxCDxBM=~~2x2x4=—,所以由VB-CDM=^M-BCD可得J=~»

解得h=m,所以点N到平面co朋的距离为名叵.

55

20、(I)a—(II)详见解析.

【解析】

(I)。川=2S“+1,4=2Sz+l(〃..2),两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出.

八，1n+1n+1

(II)由题设可得。向=q+5+1)4,可得7=------=千>利用错位相减法即可得出.

《ran^\~an2T

【详解】

解：(I)因为q.|=2S〃+1,故q=2S,“+1(〃22),两式相减可得，

%+「%=2(5“一)=2atl(n>2)f故afl+l=(n>2),

因为｛《,｝是等比数列，，〃2=3q,又％=2%+l,所以34=2%-1,

故4=1,所以〃“=3"T

1〃+172+1

(II)由题设可得=%+(〃+1)%,所以丁=--------=

4凡2・3

34

所以(=1+二+—+上里「①

“2-32-322.3”T

r11丁13nn+\

贝卜T=-+——7+••+--------4------

332-322?123

e〜=2T,1I1/?+1

①一②得：—71=1H-------1-------…H--------:---------

3〃2-32-322・3“T2・3”

1

=1+.Q-3"“)〃+]

2・3〃

152〃+515.3

所以7；-----------T<—<2,得证.

88・3'i8

【点睛】

本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

v2

21、(I)—+y2=1;(II)4.

4.

【解析】

（I）结合已知可得£=走，/记=6求出。，）的值，即可得椭圆方程;

a2

（II）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得m2=4公+1,

联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得SMCO+SMN。，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出

SAMON，得到SACMN=SAMON+3AMe+%9，整理后利用基本不等式求最值.

【详解】

解：（I）可得£=立，股=百结合"=〃+c2,

a