北京市10区2026届高二数学第一学期期末联考试题含解析

北京市10区2026届高二数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．实数且，，则连接，两点的直线与圆C：的位置关系是（）A.相离 B.相切C.相交 D.不能确定2．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（）A. B.C. D.3．过两点和的直线的斜率为（）A. B.C. D.4．已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=15．若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是A.3 B.4C.5 D.67．方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A. B.C.或 D.8．已知等差数列的前项和为，且，，则（）A.3 B.5C.6 D.109．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A B.C. D.10．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为()A. B.C. D.11．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（）A.外离 B.外切C.内含 D.内切12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，且，则的最小值为______.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上的点P满足轴，，则该椭圆的离心率为___________15．已知直线l1：（1）x+y﹣2=0与l2：（1）x+ay﹣4=0平行，则a=_____.16．如图直线过点，且与直线和分别相交于，两点.（1）求过与交点，且与直线垂直的直线方程；（2）若线段恰被点平分，求直线的方程.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）讨论的单调区间；（2）求在上的最大值.18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.（1）求的标准方程；（2）记直线斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，轴于点，是线段上的动点，轴于点，于点，与相交于点.（1）判断点是否在抛物线上，并说明理由；（2）过点作抛物线的切线交轴于点，过抛物线上的点作抛物线的切线交轴于点，……，以此类推，得到数列，求，及数列的通项公式.20．（12分）已知函数（1）讨论的单调性：（2）若对恒成立，求的取值范围21．（12分）已知动点M到点F（0，2）的距离，与点M到直线l：y＝﹣2的距离相等.（1）求动点M的轨迹方程；（2）若过点F且斜率为1的直线与动点M的轨迹交于A，B两点，求线段AB的长度.22．（10分）三棱锥各棱长为2，E为AC边上中点（1）证明：面BDE；（2）求二面角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意知，m，n是方程的根,再根据两点式求出直线方程，利用圆心到直线的距离与半径之间的关系即可求解.【详解】由题意知，m，n是方程的根，，，过，两点的直线方程为：，圆心到直线的距离为：，故直线和圆相切，故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题.2、A【解析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.【详解】设椭圆的标准方程为，，则有已知，两式相减得，即，，因为，解得故选：A.3、D【解析】应用两点式求直线斜率即可.【详解】由已知坐标，直线的斜率为.故选：D4、A【解析】由题意得，双曲线的焦距为，即，又双曲线的渐近线方程为，点在的渐近线上，所以，联立方程组可得，所以双曲线的方程为考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质5、C【解析】利用圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】将圆C的方程化为标准方程得，所以．因为圆C上有到的距离为1的点，所以圆C与圆：有公共点，所以因为，所以，解得，故选：C6、B【解析】循环体第一次运行后；第二次运行后；第三次运行后，第四次运行后；循环结束，输出值为4，答案选B考点：程序框图的功能7、D【解析】根据曲线为焦点在y轴上的椭圆可得出答案.【详解】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.故选：D.8、B【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，由题中条件，即可得出结果.【详解】因为数列为等差数列，由，可得，，则.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前项和的基本量运算，属于基础题型.9、B【解析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a和纵截距b，面积为【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为令，得；令，得故所求三角形的面积为故选：B10、A【解析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解.【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为.故答案为A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11、C【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.【详解】由两圆的标准方程可得，，，；则，所以两圆不可能内含.故选：C.12、B【解析】写出每次循环的结果，即可得到答案.【详解】当时，，，，；，此时，退出循环，输出的的为.故选：B【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】利用“1”的妙用，运用基本不等式即可求解.【详解】∵，即，∴又∵，，∴，当且仅当且，即，时，等号成立，则的最小值为4.故答案为：.14、【解析】由题意分析为直角三角形，得到关于a、c的齐次式，即可求出离心率.【详解】设，则.由椭圆的定义可知：，所以.所以因轴，所以为直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以离心率.故答案为：15、2【解析】根据两直线平行的充要条件求解【详解】因为已知两直线平行，所以，解得故答案为：【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线平行的充要条件是，或，在均不为0时，用表示容易理解与记忆16、（1）；（2）.【解析】本题考查直线方程的基本求法：垂直直线的求法、点关于点对称、点在直线上的待定系数法【详解】（1）由题可得交点，所以所求直线方程为，即；（2）设直线与直线相交于点，因为线段恰被点平分，所以直线与直线的交点的坐标为将点，的坐标分别代入，的方程，得方程组解得由点和点及两点式，得直线的方程为，即【点睛】直线的考法主要以点的对称和直线的平行与垂直为主．点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于直线的对称，是重点考察内容三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）①，在上单减；②，在上单增，单减；（2）.【解析】（1），根据函数定义域，分，，讨论求解；（2）根据（1）知：分，，，讨论求解.【小问1详解】解：(1)定义域，①时，成立，所以在上递减；②时，当时，，当时，，所以在上单增，单减；【小问2详解】由（1）知：时，在单减，所以；时，在单减，所以；时，在上单增，上递减，所以；时，在单增，所以；综上：.18、（1）；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【解析】（1）由椭圆所过点及离心率，列方程组，再求解即得；（2）设出点A，B坐标并列出它们满足的关系，利用点差法即可作答；（3）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理求得，，再结合为等边三角形的条件即可作答.【详解】（1）显然，半焦距c有，即，则，所以椭圆的标准方程为；（2）设，，，，由(1)知，，两式相减得，即，而弦的中点，则有，所以；（3）假定存在符合要求的点P，由(1)知，设直线的方程为，由得：，则，，于是得，从而得点，，因为等边三角形，即有，，因此，，，从而得，整理得，无解，所以在y轴上不存在点，使得为等边三角形.19、（1）在抛物线上，理由见解析（2）,,.【解析】（1）根据直线的方程设出点的坐标，利用已知条件求出点的坐标即可判断点是否在抛物线上；（2）设出直线的直线方程，与抛物线联立，令，即可求出，同理可以求出，设出直线的直线方程，与抛物线联立，令即可求出的方程，若令，，即，故数列是首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.【小问1详解】由已知条件得直线的方程为，设点，则，由直线的方程为可得点的坐标为，点满足抛物线，则点是否在抛物线上；【小问2详解】设的直线方程为，将直线与抛物线联立得，，解得，的直线方程为，则，即，由此可知，设的直线方程为，将直线与抛物线联立得，，解得，的直线方程为，则，即，由此可知设点，设直线方程为，将直线与抛物线联立得，，其中，即，，解得，直线的方程为，即，令得，即直线过点，则直线的斜率为，直线的方程也可以表示为，即，令，，即，则，即数列是首项，公比为的等比数列，故.20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】（1）求导得，在分，两种情况讨论求解即可；（2）根据题意将问题转化为对恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.【小问1详解】解：函数的定义域为，当时，令，得，令，得；当时，令，得，令，得综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减【小问2详解】解：由（1）知，函数在上单调递增，则，所以对恒成立等价于对恒成立设函数，则，设，则，则在上单调递减，所以，则，所以在上单调递减，所以；故，即的取值范围是21、（1）x2＝8y（2）16【解析】小问1：由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程；小问2：可知直线AB的方程为y＝x+2，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出y1+y2的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值.【小问1详解】由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，所以，则p＝4，所以动点M的轨迹方程是x2＝8y；【小问2详解】由已知直线AB方程是y＝x+2，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣8x﹣16＝0，，所以x1+x2＝8，则y