广东省广州市天天向上联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市天天向上联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得直线的斜率为．设直线的倾斜角为，则，由，得，故选：B．2.在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】,故选：C.3.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.故选：D.4.在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（）A3 B. C.1 D.【答案】C【解析】依题意，，，则在的投影数量为：.所以点到直线的距离为：.故选：C.5.若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】A选项，，所以，，是共面向量；B选项，，所以，，是共面向量；C选项，，所以，，是共面向量；D选项，令，显然无解，故不是共面向量.故选：D.6.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.7.设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由三角形的面积公式可得，得，由，得，所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，解得.故选：C.8.已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】已知、是圆：上的两点，且，点为坐标原点，由于，即为，故圆的圆心为，半径为2，设为的中点，则，结合，得到，即点在以为圆心，半径为的圆上，又，则，而，的最小值为，则的最小值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】方法一：根据题意，平面的方程为：，即.对A：因为，所以点在平面内，故A正确；对B：因为，所以点不在平面内，故B错误；对C：因为，所以点不在平面内，故C错误；对D：因为，所以点在平面内，故D正确.方法二：对A：设，则，因为，所以在平面内，故A正确；对B：设，则，因为，所以点不在平面内，故B错误；对C：设，则，因为，所以点不在平面内，故C错误；对D：设，则，因为，所以点在平面内，故D正确.故选：AD.10.已知直线和直线，下列说法正确的是（）A.始终过定点 B.若，则或C.若，则或2 D.当时，始终不过第三象限【答案】ACD【解析】对于A，，由解得，所以始终过定点，故A正确；对于B，若，则有，解得，故B错误；对于C，若，则有，得或2，故C正确；对于D，始终过，因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确．故选：ACD．11.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（）A.B.直线与所成角的余弦值为C.三棱锥的体积为D.存在实数使得【答案】BD【解析】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，对于A，，故与不垂直，故A错误；对于B，，所以直线与所成角的余弦值为，故B正确；对于C，由上，所以，所以即，又，所以，因，又由正方体性质可知平面，即平面，.所以，故C错误；对于D，若存在实数使得，则，所以，所以，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，已知向量，，若在上的投影向量为，则______.【答案】4【解析】若在上的投影向量为，即，则，解得.故答案为：4.13.若椭圆的离心率是，则的值为_________.【答案】或【解析】①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得，解得；②当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得，解得.综上所述，或故答案为：或.14.若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______.【答案】【解析】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称，因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称，所以只需研究与圆只有一个交点即可，当与圆相切时，则，当与圆相交时（只有一个交点），则，综上可得的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知且（1）求实数的值；（2）若，求实数的值．解：（1），，设，，的值为2．（2）由（1），则，，，．16.已知圆的圆心在轴上，且经过点.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.解：（1）设中点为，则，由圆的性质得，所以，得，所以线段的垂直平分线方程是，设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，，所以圆标准方程为.（2）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得，解得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或.17.如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由．（1）证明：在直三棱柱中，，直线两两垂直，以C为原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，设是平面的一个法向量，则，令，得，显然，即，而平面，所以平面.（2）解：假定线段上存在点满足条件，由（1）设，，，则，，设是平面的一个法向量，则，令，得，由平面，得，即存在实数，满足：，即，解得，因此，即Q是的中点，所以线段上存在点，使平面，.18.已知椭圆的焦距为，且经过点．（1）求的方程；（2）若直线与相交于不同于的，两点，的中点为，当时，①求证：为直角；②求的值．（1）解：由题意，且，则，所以椭圆；（2）①证明：在中，又，两点不同于，的中点为，当时，此时，所以为直角，得证.②解：设，联立，整理得，则，所以，则，，由，综上，将韦达公式代入上式整理得，可得或，而时，直线过点，不合题设，当时，满足条件，所以.19.有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点O，建立平面直角坐标系．（1）记折痕与ME的交点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若直线与曲线C交于A，B两点．（i）当k为何值时，为常数d，并求出d的值；（ii）以A，B为切点，作曲线C的两条切线，设其交点为Q，当时，证明：.（1）解：由题意可知，，所以P点轨迹是以F，E为焦点，4为长轴长的椭圆，即，，所以，所以曲线C的方程，即椭圆方程为．（2）（i）解：由消元得，，由，得，设，，则，，所以，当为常数d时，即与无