广东省江门市2026届高三上学期调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省江门市2026届高三上学期调研测试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，若，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由题设，，则.故选：D.2.已知复数满足，则复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由题意，则复数对应的点为，位于第三象限．故选：C.3.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，，得，反之，满足，而，此时不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】命题“”的否定是“”，则“”是真命题，则有，解得.故选：C.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，解得或，又，所以，则，所以.故选：C.6.已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，又，则，，，因为，所以，即，解得，所以，则，，所以，，所以在上的投影向量为.故选：D.7.已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于，且，则为（）A.3 B. C. D.2【答案】B【解析】因为，且角的平分线交边于，且，所以，即，又，所以，所以、，由余弦定理，所以，即.故选：B.8.如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】取的中点，连接，因为、均为等腰直角三角形，所以,由二面角是直二面角，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,所以,所以,所以,,设直线的单位方向向量为，则,所以点到直线的距离为.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由题设，，而，则，所以，又，则，A错，且，所以，B对，，，C对，D错.故选：BC.10.已知函数的部分图象如图，则（）A.B.为奇函数C.在上单调递增D.当在上恰有3个零点时，的取值范围是【答案】ACD【解析】由图象可知，则，所以，，得，由图可知，，所以，因为，所以，又，所以，所以，故A正确；，定义域为R，且，所以为偶函数，所以B错误；对于C，由，得，当时，，所以在上单调递增，所以C正确；对于D，由的周期为和题干图象可知，当在上恰有3个零点时，零点为，又y轴右侧的第四个零点为，所以，即的取值范围是，所以D正确.故选：ACD.11.在四面体中，为四面体外接球的球心，则（）A.四面体体积的最大值为B.长度的取值范围是C.D.当直线与所成角为时，四面体外接球的表面积为【答案】AC【解析】对于A：当时，因为，，平面，所以平面，此时，四面体体积最大，最大值为，故A正确；对于B：，，因为为异面直线，则，则，，从而，故B错误；对于C：不妨取的中点，连接、、，则，所以，同理可得，，所以，从而，故C正确；对于D：以、为邻边作平行四边形，则为矩形，故的各顶点都在球的球面上，如下图所示：则，又因为，，、平面，所以平面，且，如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆，如下图所示：因为，故异面直线、所成的角为或其补角，当时，为等边三角形，则该三角形外接圆直径为，设球的半径为，则，此时，球的表面积为；当时，由于，则，则外接圆直径为，则，此时，球的表面积为.综上所述，球的表面积为或，故D错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数是的共轭复数，则______.【答案】【解析】因为，所以，则故．故答案为：.13.已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是__________.【答案】弧度【解析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，则，即，所以扇形面积，所以当时，取得最大值为，此时，所以圆心角为（弧度）.故答案为：弧度.14.已知点分别是的外心，重心，，则的值为__________.【答案】【解析】设的中点为，连接，，由于为的重心，则一定在线段上，且，所以，由于为的外心，过点作，垂足为，则为中点，则，同理可得，则.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知分别为的三个内角的对边，且．（1）求的值；（2）若，且的面积为，求．解：（1）在中，由正弦定理得：，∴可等价转化为，其中，故．∴，即，因为，所以.（2）因为，所以，由余弦定理可得即，所以，所以.16.如图，在三棱锥中，平面.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，点在线段上，且，求直线与平面所成角的余弦值.（1）证明：由平面，平面，故，又，，，平面，则平面，又平面，故平面平面；（2）解：由平面，平面，故，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则、、、，则，则，，，，由，则，则，设平面的法向量为，则有，取，则，，即可取，设直线与平面所成角为，则，则.所以直线与平面所成角的余弦值为.17.在数列中，.（1）求证：是等比数列；（2）若等比数列满足.（i）求的值；（ii）记数列的前项和为.若，求的值.（1）证明：因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：（i）由（1）可得，所以，所以，则，因为数列为等比数列，所以，即，化简得，解得或，又，所以，当时，，此时为定值，符合题意；（ii）由（i）可知，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，易知，所以，所以为偶数，因为，所以，化简得，解得或（舍去），所以．18.如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.（1）求证：平面；（2）当时，求关于的函数解析式，并求的最大值；（3）若平面平面，当取得最大值时，求的值.（1）证明：因为底面是矩形，所以，因为平面，平面，故平面，在直角梯形中，，因为平面，平面，故平面，又因，平面，故平面平面，又因平面，故平面.（2）解：由题意，在矩形中，，在直角梯形中，，所以为二面角的平面角，即得，同理，因为，平面，所以平面，由（1）平面平面，则得平面，过点作于，由平面，平面，所以，且，平面，故平面，即是四棱锥的高，由，所以，由，平面，平面，所以平面，又因为平面，且，所以，所以，，当时，取得最大值.（3）解：过点作的垂线，交于点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，因为平面和平面垂直，所以，即，整理可得，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，故当取得最大值时，即取得最小值，此时，由，，，所以，则.19.若，且，则的值叫做的“区间长度”.已知函数.（1）当时，求关于的不等式解集的“区间长度”；（2）设关于的不等式解集的“区间长度”为.（i）若，求的值；（ii）求的最大值.解：（1）当时，，由，可得，故或，又函数的定义域为，所以或，所以解集的“区间长度”为；（2）（i），，其