河北省强基联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省强基联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.平行直线与之间的距离是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因为直线与平行，所以由平行线间的距离公式可得.故选：B.2.设，向量，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则，解得，，故.故选：B.3.已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上，由抛物线定义可知，点到直线的距离为3，因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5.故选：C.4.已知圆与圆相交于两点，则直线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】即①，②，①－②化简可得直线的方程为.故选:A.5.在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在平行六面体中，，，则，而，因此，所以.故选：B6.已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（）A B.2 C.或2 D.3【答案】B【解析】因为公比，所以，化简得，解得或，当时，，当时，，又，则．故选：B．7.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意有：平面的法向量为，平面的法向量为，设直线的方向向量为，所以，令，得，故选：D.8.已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形，因为的面积为，所以的面积为，所以，即．又因为，所以，，在中，，则，所以.故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则（）A. B. C. D.1【答案】AD【解析】由题意，，由等比数列通项公式可得，由于等比数列每一项都不是，故，即，解得或.故选：AD.10.如图，已知正方体的边长为2，分别为的中点，则下列结论正确的是（）A.B.平面AEFC.异面直线与EF所成角的余弦值为D.点到平面AEF的距离为2【答案】ABD【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.对于A，因，则，故，A正确；对于B，，，设平面AEF的法向量为，则故可取，因，则，又平面AEF，故平面AEF，故B正确；对于C，因，则异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误；对于D，，由上分析已得平面AEF的法向量为，则点到平面AEF的距离为，D正确.故选：ABD.11.已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（）A.B.面积的最小值为2.C.D.可能为直角.【答案】BC【解析】对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误；对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设，与联立消元得：，显然，设，则，则，点到直线的距离为，则的面积为，则当时，即时，取得最小值2，故B正确；对于C，设直线的倾斜角为，则，则，故C正确；对于D，由B选项可得，则，故与所夹的角为钝角，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，则______.【答案】28【解析】因为等差数列的前项和为，，，故.故答案为：28.13.已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______.【答案】【解析】圆的圆心坐标为，半径为；圆的圆心坐标为，半径为1，则，因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含，若外离：；若内含：，综上：.故答案为：.14.点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为B，则的最小值为______.【答案】9【解析】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点，可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，联立直线的方程，可得，消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点），所以，当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小.所以的最小值为9.故答案为：9.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知数列为等差数列，为其前n项和，，（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求证：.（1）解：由题意等差数列中，，，设公差为，可得，解得，故.（2）证明：由（1）可得，故.因为，所以，得证.16.已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长.解：（1）由题意，且，，得，因此椭圆的方程为.（2）设椭圆左焦点为，直线的方程为，，，联立直线方程与椭圆方程，可得，解得：，.所以17.已知圆C经过点和，且圆心C在直线上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l经过点且与圆C相切，求直线l的方程；（3）若直线与圆C相交于E、F两点，且，求实数a的值.解：（1）由圆心在直线上，设圆心，由，得，解得，因此圆心，半径，所以圆的标准方程为.（2）当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3，所以直线符合题意；当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，解得，直线方程为.综上所述，直线的方程为或.（3）由（1）知，圆的圆心为，半径，由，得圆心到直线的距离，则，即，解得或，所以实数的值为或.18.如图，已知矩形，所平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.（1）设点为棱的中点，求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.（1）证明：由已知，，可知，则，又矩形中有，且，平面，所以平面，又，则平面，所以两两垂直，故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.易知平面的一个法向量等于，所以，所以，又平面，所以平面.（2）解：因为，设平面的法向量为，由，得，取，则，即为平面的一个法向量，因为，设平面的法向量为，由，得，取，则，即为平面的一个法向量，设平面与平面的所成角为，则，故.（3）解：存在，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.理由如下：假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于.设，则.所以.所以，解得或(舍去)，因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于.19.已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且．（1）求双曲线C的方程；（2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）．（i）求m的取值范围；（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上．（1）解：