阶段拔尖专训2二次函数的图象与线段直线射线的交点问题

阶段拔尖专训2二次函数的图象与线段、直线、射线的交点问题题型1二次函数的图象与线段交点问题1．[2023杭州模拟]已知点P(2，－3)在抛物线L：y＝a(x－1)2＋k(a，k均为常数且a≠0)上，L交y轴于点C，连接CP.(1)写出L的对称轴，并用含a的式子表示k；【解】由题意得抛物线L的对称轴为直线x＝1.将点P(2，－3)的坐标代入y＝a(x－1)2＋k，得－3＝a＋k，解得k＝－a－3.(2)当L经过点(4，－7)时，求此时L的表达式及顶点坐标；(3)横、纵坐标都是整数的点叫作整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(含边界)恰有5个整点，求a的取值范围．【解】由(1)得抛物线L的表达式为y＝a(x－1)2－a－3，∴抛物线L的顶点坐标为(1，－a－3)．将x＝0代入y＝a(x－1)2－a－3，得y＝a－a－3＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)．易得点(0，－3)，(1，－3)，(2，－3)在区域内．当区域内恰有5个整点时，点(1，－2)，(1，－1)在区域内，点(1，0)不在区域内，∴－1≤－a－3＜0，解得－3＜a≤－2.2.已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)A点坐标为________，B点坐标为________；(－1，0)(3，0)(2)如图，过点A的直线l：y＝－x－1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为m，当PA＝PC时，求m的值；(3)将线段AB先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段MN，若抛物线y＝a(－x2＋2x＋3)(a≠0)与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点C(x，y)为线段AB上一点，作DC∥y轴，交抛物线于点D，求线段DC的最大值；(3)在直线AB上取一点P，将P向上平移3个单位长度得到点Q，请直接写出线段PQ与抛物线有交点时，点P的横坐标xP的取值范围．4．如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.(1)m＝________，b＝________；－22(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．【解】－1≤xM＜2或

xM＝3.5．已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1的顶点为A，点B的坐标为(3，5)．(1)求抛物线过点B时顶点A的坐标；【解】∵抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1过点B(3，5)，∴5＝32－2m×3＋m2＋2m－1，即m2－4m＋3＝0，解得m1＝1，m2＝3.

当m＝1时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∴顶点A的坐标为(1，1)；当m＝3时，y＝x2－6x＋14＝(x－3)2＋5，∴顶点A的坐标为(3，5)．综上，顶点A的坐标为(1，1)或(3，5)．(2)点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式；【解】∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝(x－m)2＋2m－1，∴顶点A的坐标为(m，2m－1)．∵点A的坐标记为(x，y)，∴x＝m，y＝2m－1.∴y＝2x－1.(3)如图，已知点C的坐标为(0，2)，当m取何值时，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个公共点？【解】由(2)可知，抛物线的顶点在直线y＝2x－1上运动，且形状不变．由(1)知，当m＝1或m＝3时，抛物线过点B(3，5)．把C(0，2)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，得m2＋2m－1＝2，解得m＝1或m＝－3.∴当m＝1或m＝－3时，抛物线经过点C(0，2)．如图，当m＝－3或m＝3时，抛物线与线段BC只有一个交点(即线段CB的端点)；当m＝1时，抛物线同时过点B，C，不合题意．∴m的取值范围是－3≤m≤3且m≠1.6．[2024长沙一模]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(4，0)，O两点，D(2，－2)为抛物线的顶点．(1)该抛物线的表达式为________________；题型2二次函数的图象与射线交点问题7．如图①，抛物线y＝ax2－3x＋c与x轴的交点为A和B，与y轴的交点为D(0，4)，与直线y＝－x＋b的交点为A和C，且OA＝OD.(1)求抛物线的表达式和b的值；题型3二次函数的图象与直线交点问题(2)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象(如图②)，若直线y＝－x＋n与新图象恰好有4个公共点，请求出此时n的取值范围．8．[2024株洲期末]如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，与x轴的另一交点为点A，顶点为点D.(1)B点坐标为________，C点坐标为________．(3，0)(0，3)(2)求抛物线的表达式，点A，点D的坐标及抛物线的对

称轴．当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或－1，∴A(－1，0)．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1