17.5 反证法（题型专练）（解析版）

17.5反证法基础达标练题型一辨别反证法与举反例题型二反证法证明中的假设题型三判断反证法证明步骤题型四反证法证明无理数题型五反证法在代数中的证明题型六反证法在几何中的证明能力提升题题型反证法的综合问题基础达标练题型一辨别反证法与举反例1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：．求证：，，中不能有两个角是直角．证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，．于是．这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立．所以，一个三角形中不能有两个角是直角．上述证明方法是（

）A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法【答案】C【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答．【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法，故选：C．2．在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（

）A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法【答案】C【分析】本题主要考查了反证法，根据反证法的第一步：假设结论不成立，即可判断解题．【详解】解：证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是反证法；故选：C．3．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（）A． B．，C．， D．，【答案】B【分析】本题考查了反证法；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．【详解】解：A.，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；B.，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；故选：B．4．我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长满足时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（）A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法【答案】B【分析】本题主要考查了反证法的应用，反证法的一般步骤“假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确”是解题的关键．根据反证法的一般步骤判断即可．【详解】解：推理使用的证明方法是：反证法．故选：B．5．公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派的“万物皆数”观点是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，学派中的希帕索斯发现了无理数，引发了第一次数学危机．欧几里得《原本》中对是无理数的证明如下：假设是有理数，那么（是互质的正整数），所以，故是偶数，从而是偶数．设，则，即，从而也是偶数，这与“是互质的正整数”矛盾，于是“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．这种证明“是无理数”的方法是（

）A．反证法 B．综合法 C．举反例法 D．列举法【答案】A【分析】先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，这种方法叫反证法．【详解】根据题意，假设是有理数，那么p是偶数根据，可得q也是偶数而p、q互质，所以假设不成立假设是有理数推理出来的p、q之间的关系与已知条件矛盾根据反证法的含义，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，故本题采用的是反证法．故选：A．【点睛】本题考查了反证法的概念理解，正确理解反证法的含义是解决问题的关键．6．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A． B．0 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答．【详解】解：﹣2＜1，，∴当n＝﹣2时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，故选：D．【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题的关键．7．对于命题“若则”，能说明它是假命题的反例是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题需要将选项逐一代入题设中进行验证.【详解】选项A，将a、b值代入后命题成立，不能证明是假命题；选项B，，与题设不符；选项C，将a、b值代入后命题成立，不能证明是假命题；选项D，将a、b值代入后，，与原命题不符，故能证明其为假命题.【点睛】真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．一个命题都可以写成这样的格式：如果+条件，那么+结论．条件和结果相矛盾的命题是假命题.8．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（）A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝2【答案】C【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【详解】用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2是假命题的反例可以是：a＝﹣1，b＝﹣2，因为﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，所以C正确；故选C．【点睛】此题主要考查运用反例法判定命题，熟练掌握，即可解题.题型二反证法证明中的假设9．“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先提出与命题的结论相反的假设，再通过推理证明假设不成立，从而肯定原结论．这里要证，就假设其反面．本题主要考查了反证法的概念，熟练掌握反证法中假设结论的反面成立是解题的关键．【详解】解：求证：”．若用反证法证明，则应假设．故选：．10．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（

）A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角【答案】D【分析】本题主要考查了反证法，掌握原命题的否定与原命题的关系是解题的关键．“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此即可解答．【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定．∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角．故选：D．11．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案．了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立．【详解】解：原命题为“若，则”，根据反证法，需假设结论不成立，“”，则用反证法证明“如果，那么”时，应先假设“”．故选：A．12．先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证明命题：四边形的外角中至多有3个钝角，第一步应假设（

）A．四边形的外角中没有钝角 B．四边形的外角中有1个钝角C．四边形的外角中有2个钝角 D．四边形的外角全部都是钝角【答案】D【分析】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．由于原命题结论“至多有3个钝角”的否定是“至少有4个钝角”，据此即可求解．【详解】解：原命题结论“至多有3个钝角”的否定是“至少有4个钝角”，由于四边形的外角共有4个，即假设四边形的外角全部都是钝角，故选：D．13．用反证法证明“中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（）A．这个三角形中有一个内角大于B．这个三角形中有一个内角大于等于C．这个三角形中每一个内角都大于D．这个三角形中每一个内角都小于【答案】D【分析】本题考查了反证法，明确反证法的意义和反证法的步骤是解答的关键．根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，据此解答即可．【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即假设这个三角形中每一个内角都小于．故选：D．14．用反证法证明，若，则时，应假设（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【详解】解：反证法证明，若，则时，应假设，故选：C．15．用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”时，应先假设在三角形中（

）A．有一个钝角 B．有两个钝角C．有三个钝角 D．有不止一个钝角【答案】D【分析】本题考查了反证法证明中的假设；反证法的第一步是假设原命题的结论不成立。原命题“一个三角形最多有一个钝角”的结论是“钝角数量不超过1个”，其反面应为“钝角数量超过1个”，即“有不止一个钝角”。【详解】解：用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”时，应先假设在三角形中有不止一个钝角，故选：D．题型三判断反证法证明步骤16．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（

）A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②【答案】D【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．根据反证法的步骤即可判断．【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．所以，正确的步骤是③①②．故选：D．17．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾②因此假设不成立，∴③假设在中，④由，得，即这四个步骤正确的顺序应是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【答案】D【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角．【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：③假设在中，，④由，得，即，①∴，这与三角形内角和为矛盾，②因此假设不成立，∴，∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②．故选：D．18．求证：两直线平行，内错角相等如图1，若，且、被所截，求证：以下是打乱的用反证法证明的过程①如图2，过点作直线，使，②依据理论依据1，可得，③假设，④．⑤与理论依据2矛盾，假设不成立．证明步骤的正确顺序是（

）

A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④【答案】D【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．【详解】解：假设，如图2，过点作直线，使，∴，这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，∴假设不成立，∴．故选：D【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．19．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（

）A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②①【答案】C【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于，则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．则四个步骤正确的顺序是③④①②，故选：C．20．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．（2）所以．（3）假设．（4）那么，由，得，即，即．请你写出这四个步骤正确的顺序．【答案】（3）（4）（1）（2）【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可．【详解】证明：假设，那么，由，得，即，所以，这与三角形内角和定理相矛盾，所以，所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），故答案为：（3）（4）（1）（2）．题型四反证法证明无理数21．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程．证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知．，∴_______________．是一个偶数，是一个偶数．∴_______________．设（k是正整数），，_____________，是一个偶数．∴_______________．∴p和q均为偶数．这与__________________的假设矛盾．这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立，所以不是有理数．【答案】；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数【分析】本题主要考查了用假设法证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是一个偶数，可得，q是一个偶数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是偶数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论．【详解】解：完整证明过程如下：证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知．，∴．是一个偶数，是一个偶数．∴q是一个偶数．设（k是正整数），，，是一个偶数．∴p是一个偶数．∴p和q均为偶数．这与p，q是互质的正整数的假设矛盾．这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立，所以不是有理数．22．证明：是无理数．【答案】见解析【分析】本题主要考查了反证法，假设是有理数，设（m、n互质），则两边同时平方推出，则n一定是3的倍数，设，则，可得，同理可得m一定是3的倍数，则m、n一定有公因数3，故m、n不互质，这与假设矛盾，据此可证明题设．【详解】证明：假设是有理数，设（m、n互质），∴，∴，∴是3的倍数，∴n一定是3的倍数，设，则，∴，同理可得m一定是3的倍数，∵m、n同时是3的倍数，∴m、n一定有公因数3，∴m、n不互质，这与假设矛盾，∴假设不成立，∴是无理数．23．证明：中x不是有理数．【答案】详见解析【分析】假设x是有理数，则x可以表示为（a，b均为整数且互质），从而可得，由此判断出a是偶数，再设（c为整数），从而可得，由此判断出b是偶数，据此得出假设不成立，即可得证．【详解】证明：假设x是有理数，故x可以表示为（a，b均为整数且互质），则，因为是偶数，所以是偶数，所以a是偶数，设（c为整数），则，即，所以b也是偶数，这和a，b互质矛盾．所以假设不成立，x是无理数．【点睛】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键题型五反证法在代数中的证明24．求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明）【答案】见解析【分析】此题考查了反证法的应用，假设或，然后根据题意证明出，即可证明．【详解】证明：假设或，则且或且或且．当且时，，，这与矛盾．同理可得当且或且时，，这与矛盾，假设不成立，因此且．25．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零．【答案】详见解析【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．【详解】证明：假设，都不大于零，即，，因为两个非正数相加还是非正数，所以，这与已知条件矛盾，所以假设不成立．所以，中至少有一个大于零．26．请用反证法证明：已知：，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是熟练掌握反证法的证明步骤．先假设，然后根据绝对值的性质推出矛盾，从而证明原命题成立．【详解】假设，当时，，这与已知相矛盾，∴假设不成立，∴．27．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明）【答案】见解析【分析】此题考查了反证法，完全平方公式，假设m不是偶数，则m为奇数，设（n为整数），证明出为奇数，与为偶数矛盾，即可证明．【详解】解：假设m不是偶数，则m为奇数，设（n为整数），则．因为为偶数，所以为奇数，与为偶数矛盾，所以假设不成立，故m为偶数．28．用反证法证明“”，求证：必为负数．证明：假设不是负数，那么是__________或是__________．①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零；②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________．综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数．【答案】见解析【分析】本题主要考查了反证法，反证法第一步假设结论不成立，即假设是0或正数，根据正数和0的绝对值都是它本身可得到此时假设与题设矛盾，则可证明结论．【详解】解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数．①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零；②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数．综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数．29．设a，b，c是不全相等的任意实数，若．求证：x，y，z至少有一个大于零．【答案】见解析．【分析】假设x，y，z都小于零，列出算式，根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性判断即可．【详解】解：假设x，y，z都小于零，则，∴，∴，这与偶次方的非负性相矛盾，∴假设不成立，∴x，y，z至少有一个大于零．【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．30．证明：对任意正整数和两数中至少有一个不能等于两整数的平方和.【答案】详见解析【分析】2k-1，2k+1中必有一个为4k+3形式，然后用反证法证明4k+3不能表示成两完全平方数之和即可．【详解】证明:因为2k-1，2k+1中必有一个为4k+3形式，假设存在两数平方和为4k+3，必为一奇一偶，即（2m+1）2+（2n）2=4k+3，但（2m+1）2+（2n）2=4m2+4m+4n2+1=4（m2+m+n2）+1，矛盾．故原结论成立．所以对任意正整数k,2k+1k,2k+1和2k−12k−1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和.【点睛】本题考查了反证法．掌握奇数的表示是解题的关键．题型六反证法在几何中的证明31．用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”．【答案】见解析．【分析】查了反证法．解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．画出图形，写出已知、求证，然后根据反证法的步骤给出证明即可解决问题．【详解】解：已知：，，求证：．证明：假设与相交于点，则过点有两条直线平行于直线，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，所以，所以平行于同一条直线的两直线平行．32．用反证法证明：如图所示，已知，那么．【答案】见解析．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，进而证明即可解答．【详解】证明：假设a不平行于b，即a与b相交．设a，b相交于点A，如图，∵，∴过直线外一点A有两条直线与直线c垂直，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立，∴原命题正确．【点睛】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．33．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不相等．【答案】见解析【分析】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立．【详解】证明：假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立．【点睛】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．34．如图，已知：直线与相交于O，于F，于H．求证：和必相交．【答案】见解析．【分析】运用反证法假设与平行，则它们的垂线也平行，与题设矛盾，从而证明．【详解】证明：若与平行，则它们的垂线也平行，即与平行，与直线与相交于O矛盾，所以与不平行即相交．【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．35．用反证法证明：在三角形中，大角对大边．【答案】见解析【分析】假设不大于，即或，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质分别证明假设不成立，由此得出原命题成立．本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键．【详解】解：如图，已知：在中，．求证：．证明：假设不大于，即或．当时，，这与已知条件相矛盾；当时，如图，在边上截取，则，∵是的一个外角，∴，∴，∴，即，这与已知条件相矛盾；上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立．∴，即在三角形中，大角对大边．36．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于．已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于．证明：假设①___________，所以，②_____________．这与“③___________”矛盾．所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于．【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立．【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于，所以，②．这与“③三角形的内角和为”矛盾．所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为37．如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．【答案】见解析【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质．假设点D与点E重合．根据是的中线，，则，与相矛盾，即可得出结论．【详解】证明：假设点D与点E重合．∵是的中线，，∴垂直平分，∴，与相矛盾，∴点D与点E不重合．．题型反证法的综合问题38．阅读下列文字，回答问题.题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．证明：假设AC=BC，∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B，∴AC≠BC．这与假设矛盾，所以AC≠BC．上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.【答案】有错误.改正见解析.【分析】反证法的步骤是（1）假设结论不成立（2）从假设出发推出矛盾（3）假设不成立，则结论成立．运用反证法证题时，应从假设出发，把假设当做已知条件，经过推理论证，得出与定义、公理、定理或已知相矛盾，从而判定假设不成立，肯定结论，而非推出结论与假设相矛盾．【详解】有错误.改正：假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC=BC不成立，所以AC≠BC.【点睛】本题结合等腰直角三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．39．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，．(1)求证：是等腰三角形；(2)用反证法证明不可能是直角三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．（1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论；（2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立．【详解】（1）证明：，，又，，在与中，，≌，，是等腰三角形；（2）解：假设是等腰直角三角形，则，，由（1）可知：≌，∴，，，，不可能是等腰直角三角形．40．七年级教材在图形与几何部分给出了五条基本事实，在《证明》一章中我们从两条基本事实出发，把前面得到的平行线相关性质进行了严格的证明，体会了数学的公里化思想.请完成下列证明活动：活动．利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实）已知：如图，直线、被直线所截，．求证：．证明：假设，则可以过点作，∵，∴（），∴过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（）矛盾，∴假设不成立，∴．活动．利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程）已知:．求证：．证明：【答案】活动1：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；活动2：；两直线平行，同旁内角互补；证明见解析【分析】活动1，根据同位角相等，两直线平行可得出结论；活动2，利用∠1＝∠2，再由补角的定义即可得出结论．【详解】活动1，证明：假设∠1≠∠2，则可以过点O作∠EOG＝∠2，∵∠EOG＝∠2，∴（同位角相等，两直线平行），∴过O点存在两条直线AB、OG两条直线与CD平行，这与基本事实（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）矛盾，∴假设不成立，∴∠1＝∠2．故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．活动2，已知：．求证：两直线平行，同旁内角互补．证明：如图，∵，∴∠1＝∠2，∵∠1＋∠3＝180°，∴∠2＋∠3＝180°，即两直线平行，同旁内角互补．故答案为：；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题主要考查的是平行线性质的证明，熟知平行线的性质定理和平行线的公理，是解答此题的关键．41．已知正整数x，y满足，且满足不等式组．(1)请用反证法证明：；(2)求所有符合条件的正整数对．【答案】(1)见解析(2)和【分析】本题考查反证法，解不等式组；（1）利用反证法设，进而求出与条件矛盾，假设不成立解答即可；（2）根据（1）中结论得到x为1、2、3、4、5，分别代入求出y值解答即可．【详解】（1）证明：假设，则，∴，即，解得，但根据，当时，，这与矛盾，∴假设不成立，∴；（2）解：∵x，y为正整数，，且由（1）知，∴x的可能值为1、2、3、4、5，（Ⅰ）当时，则由①得，∴，即，解得，由②得，由得，∴该不等式组无正整数解；（Ⅱ）当时，则由①得，∴，即，解得，由②得，由得，∴该不等式组无正整数解；（Ⅲ）当时，则由①得，∴，即，解得，由②得，由得，∴该不等式组无正整数解；（Ⅳ）当时，则由①得，∴，即，解得，由②得，由得，∴该不等式组无正整数解，∴正整数对符合条件；（Ⅴ）当时，则由①得，∴，即，解得，由②得，由得，∴该不等式组无正整数解，∴正整数对符合条件；∴综上所述，所有符合条件的正整数对为和．42．已知实数a、b、c、m、n满足，．(1)当时，求证：；(2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．（1）先得出，，求出，再根据证明结论；（2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论．【详解】（1）解：因为，，所以，，所以，因为，，所以，所以，即．（2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数，所以，都为偶数，即，都为偶数，所以为偶数，这与为奇数矛盾，所以假设不成立，所以m，n至少有一个为奇数．43．如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接．(1)求证：是等边三角形；(2)当时，求证：是直角三角形；(3)能否为等边三角形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)是直角三角形，理由见解析(3)不能．理由见解析【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可；（3）用反证法，假设能否为等边三角形，根据题意证明不等于，推出矛盾．【详解】（1）证明：，．，是等边三角形；（2）解：是直角三角形．理由如下：是等边三角形，，，，，，∴是直角三角形；（3）解：不能．理由：由，得．若为等边三角形，则，又，．又，，又，．∴不可能为等边三角形．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．44．甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是谁？谁闯了祸？【答案】丙说了实话；是丁闯了祸.【分析】用反证法的方法先分别假设一人说真话，看和题上条件是否矛盾，依次判断得出结论【详解】本题可分三种情况进行讨论：①若甲真，则乙假，丙真，丁真；这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符；②若甲假，乙真，则丙假，丁真；这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；③若甲假，乙假，则丙真，丁假；这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件．由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．【点睛】本题考查了运用反证法的方法进行推理与论证,此类题可以用假设的方法，根据只有一人说的是实话进行逐步推理．45．人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了．已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF．证明：假设（1），过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，∴PQ//CD（

（2）

），∵AB//CD，且AB也过点G，∴与（

（3））矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF．请完成上面（1）、（2）、（3）空：(1)___________；(2)___________；(3)请选择合理的依据（

）A．两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行【答案】(1)∠BGF≠∠DHF(2)同位角相等，两直线平行(3)C【分析】（1）根据反证法先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF；（2）根据平行线的判定条件即可填写；（3）根据平行公理即可选择．【详解】（1）解：用反证法证明问题，先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF（2）同位角相等，两直线平行（3）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行故选C【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证的结果相反的命题，再根据已知条件进行证明，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．46．如图，在中，，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且，(1)求证：是等腰三角形；(2)当时，求的度数；(3)可能是等腰直角三角形吗？为什么？【答案】(1)见解析(2)65°(3)不可能是等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据AD+EC=AB，可知EC=DB，再利用SAS证明△BED≌△CFE，得DE=EF，即可证明结论；（2）由（1）知△BED≌△CFE，得∠BDE=∠FEC，则∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE