17.3.3 勾股定理的逆定理（题型专练）（原卷版）

17.3勾股定理（勾股定理的逆定理）基础达标练题型一由三边长度判断直角三角形题型二勾股数题型三格点中判断直角三角形题型四利用勾股定理的逆定理进行求值题型五利用勾股定理的逆定理进行证明题型六确定直角三角形的个数题型七勾股定理的逆定理的应用能力提升题题型一与勾股定理逆定理有关的几何多结论问题题型二勾股定理及其逆定理的综合运用基础达标练题型一由三边长度判断直角三角形1．下列各组数据是三角形三条边的长，组成的三角形不是直角三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（

）A． B．C． D．3．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（）A．三个内角度数之比为 B．三边之比为C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2，4．已知满足．(1)求的值；(2)判断长度为的三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．5．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．(1)求CD的长；(2)求AB的长；(3)判断△ABC的形状．题型二勾股数6．下列各组数中，不是勾股数的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，7．下列各组数据中，是勾股数的是（

）A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，58．定义：如果一个正整数m能表示为两个正整数的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面三个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数，正确的是（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③9．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；(2)已知的三边a，b，c满足．求证：c是“完美勾股数”．(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．题型三格点中判断直角三角形10．如图，若在边长为1的正方形网格中，则的形状为（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（

）A． B． C． D．12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题．(1)试判断的形状并说明理由；(2)在网格中以为边向右作直角三角形，令点在格点上，且使是等腰三角形，则的长为．题型四利用勾股定理的逆定理进行求值13．在中，，，则的大小为（

）A． B． C． D．14．如图，将绕点A顺时针旋转角（）得到，若，则的度数为（

）A． B． C． D．15．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（

）A． B． C． D．16．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（

）A． B． C． D．17．如图，在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（

）

A． B． C． D．18．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（）A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.619．如图，在中，是的中点，作，交于点，且．(1)试说明：；(2)若，求的长．20．如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接．(1)求证：；(2)求的长．21．如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D分别在格点上．(1)求四边形的周长及面积；(2)求的度数；(3)画出点C到线段的垂线段，并求出垂线段的长．22．如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接．(1)求证：．(2)若，求的度数．23．如图，在中，，点是边上一点，连接，且，．(1)求证：；(2)若，求的周长．题型五利用勾股定理的逆定理进行证明24．三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（

）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形25．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，且．(1)求证：是直角三角形；(2)若，，求的长．26．如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接．(1)是直角三角形吗？请说明理由；(2)求的长．27.如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．题型六确定直角三角形的个数28．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个29．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（

）A．个 B．个 C．个 D．个30．如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（

）个

A． B． C． D．题型七勾股定理的逆定理的应用31．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（

）A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里32．甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西33．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（

）A．勾股定理B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形C．三角形内角和定理D．直角三角形的两锐角互余34．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（

）A． B．C． D．35．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（

）A． B． C． D．36．为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片劳动基地，然后中间用栅栏将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其中，已知，，，．(1)求花卉区的面积；(2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计）和，这两条步道的长度相差多少米？37．第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处．(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度．38．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由；(2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离．39．台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线上的两点A，B的距离分别为，且，以风眼为圆心周围以内为受影响区域．(1)求的度数．(2)风眼离海港C最近的距离是多少？(3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？．题型一与勾股定理逆定理有关的几何多结论问题40.如图，D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点D与点的距离为5；②可以由绕点A逆时针旋转60°得到；③；④点D到的距离为3；⑤．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个41．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有（）①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④42．如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．443．如图，中，且，为外一点，连接，过作交于点，为上一点且，连接，．将线段绕点逆时针旋转到线段，连接分别交、于点、，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤若，，，则．其中正确的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型二勾股定理及其逆定理的综合运用44.如图，∠BAC=90°，AB=22,AC=22，BD=12，DC=41045.如图，△ABC中，AB=AC，BC长为5，点D是AC上的一点，BD=4,CD=3．(1)△BCD是哪种类型的三角形，请给出证明；(2)求出线段AC的长．46．如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离．47．如图，．(1)求证：；(2)若，求的度数．48．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）．(1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形；(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；(3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围．49．阅读下列内容，并解决问题．一道习题引发的思考小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m²-1，c=m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数．关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．【问题解答】（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；（2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数；（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．50．在中，，点，分别是，上的点，连接．(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）(2)如图，连接，若平分，，，，则．(3)如图，若，，求证：点在的平分线上．(4)【能力设问】如