高一数学（人教A版）试题必修二课时跟踪检测（十三）平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例

课时跟踪检测(十三)平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)A级——达标评价1．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是()A．船垂直到达对岸所用时间最少B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少C．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D．船垂直到达对岸时航行的距离最短2．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))2＝0，则△ABC是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．在四边形ABCD中，若eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(1,3)，eq\o(BD,\s\up6(―→))＝(－6,2)，则该四边形的面积为()A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C．5 D．104．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N D．40eq\r(2)N5．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2 B．lg5C．1 D．26．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________.7．一条河宽400m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________min.8．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________.9．(8分)求证：直径所对的圆周角为直角.10．(10分)如图，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.B级——重点培优11．(多选)如图，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项正确的是()A．绳子的拉力不断增大B．绳子的拉力不断减小C．船的浮力不断减小D．船的浮力保持不变12．点O是△ABC所在平面内的一点，满足eq\o(OA,\s\up6(―→))·eq\o(OB,\s\up6(―→))＝eq\o(OB,\s\up6(―→))·eq\o(OC,\s\up6(―→))＝eq\o(OC,\s\up6(―→))·eq\o(OA,\s\up6(―→))，则点O是△ABC的________心.13．(15分)已知某人在静水中游泳的速度为4eq\r(3)km/h，河水的流速为4km/h，现此人在河中游泳．如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？14．(15分)如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求证：点E，O，F在同一直线上.课时跟踪检测(十三)1．选BD根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．2．选C因为eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))2＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))·(eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→)))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(AC,\s\up6(―→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))⊥eq\o(AC,\s\up6(―→))，所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形．3．选D∵eq\o(AC,\s\up6(―→))·eq\o(BD,\s\up6(―→))＝0，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(―→))||eq\o(BD,\s\up6(―→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(10)×2eq\r(10)＝10.4.选B如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝eq\r(2)|F1|＝20N，∴|F1|＝|F2|＝10eq\r(2)N．当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|＝|F1|＝10eq\r(2)N．故选B.5．选DW＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5，2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.故选D.6．解析：设所用时间长短为t，则eq\o(AB,\s\up6(―→))＝tv，即(3,6)＝t(1,2)，所以t＝3.答案：37．解析：∵合速度|v合|＝eq\r(202－122)＝16(km/h)＝eq\f(800,3)(m/min)，∴t＝400÷eq\f(800,3)＝1.5(min)．答案：1.58．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)．设AD＝a，则C(1，a)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(1，a)，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝(－1，a)．因为AC⊥BC，所以eq\o(AC,\s\up6(―→))⊥eq\o(BC,\s\up6(―→)).所以eq\o(AC,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)．答案：19．证明：如图，设eq\o(AO,\s\up6(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝b，则eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up6(―→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝a－b，|a|＝|b|.因为eq\o(AB,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))⊥eq\o(BC,\s\up6(―→))，所以∠ABC＝90°.所以直径所对的圆周角为直角．10．证明：设eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(―→))＝e，eq\o(DB,\s\up6(―→))＝c，eq\o(DC,\s\up6(―→))＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.∵eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(BD,\s\up6(―→))＋eq\o(DC,\s\up6(―→))＝d－c，∴eq\o(AD,\s\up6(―→))·eq\o(BC,\s\up6(―→))＝e·(d－c)＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(―→))⊥eq\o(BC,\s\up6(―→))，即AD⊥BC.11．选AC设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向夹角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2)))，则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝eq\f(|f|,cosθ).∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．12．解析：∵eq\o(OA,\s\up6(―→))·eq\o(OB,\s\up6(―→))＝eq\o(OB,\s\up6(―→))·eq\o(OC,\s\up6(―→))，∴(eq\o(OA,\s\up6(―→))－eq\o(OC,\s\up6(―→)))·eq\o(OB,\s\up6(―→))＝0.∴eq\o(OB,\s\up6(―→))·eq\o(CA,\s\up6(―→))＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高所在直线的交点，即垂心．答案：垂13．解：如图，设此人在静水中游泳的速度为eq\o(OB,\s\up6(―→))，水流的速度为eq\o(OA,\s\up6(―→))，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＝eq\o(OC,\s\up6(―→)).由题意，eq\o(OA,\s\up6(―→))⊥eq\o(OB,\s\up6(―→))且|eq\o(OA,\s\up6(―→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up6(―→))|＝4eq\r(3)，所以|eq\o(OC,\s\up6(―→))|＝eq\r(|\o(OA,\s\up6(―→))|2＋|\o(OB,\s\up6(―→))|2)＝8.在Rt△OAC中，tan∠AOC＝eq\f(AC,OA)＝eq\r(3)，所以∠AOC＝60°.故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8km/h.14．证明：设eq\o(AB,\s\up6(―→))＝m，eq\o(AD,\s\up6(―→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴eq\o(FO,\s\up6(―→))＝eq\o(FA,\s\up6(―→))＋eq\o(AO,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(―→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up6(―→))＝eq\o(OC,\s\up6(―→))＋eq\o(CE,\s\up6(