【数学】陕西省商洛市部分学校2025-2026学年高二上学期11月期中试题(解析版)

陕西省商洛市部分学校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】该直线的斜截式方程为，则斜率为，所以该直线的倾斜角为.故选：D2.已知向量与共线，则（）A.3 B.9 C.-3 D.-9【答案】A【解析】因为共线，所以，所以，，所以．故选：A.3.已知点为圆外一点，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由点在圆外，则，得．又表示圆，得，得．综上：，即实数的取值范围为．故选：D.4.如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.5.已知，两直线，若，则的最小值为（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】两直线，若，则，可得，因为，所以，当且仅当，即等号成立，则的最小值为.故选：C.6.若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】A【解析】选项A，若，，共面，则存在实数使得，即，得到共面，与已知矛盾，所以A正确；选项B，因为，所以，，共面，所以B错误；选项C，因为，所以，，共面，所以C错误；选项D，因为，所以，，共面，所以D错误.故选：A.7.已知空间向量，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，所以，，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，故的最小值为.故选：A.8.已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线可变形，直线过定点，同理，则直线过定点，时，直线，，此时；当时，，直线，直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为的圆，又圆的圆心，半径，两圆位置关系如下图所示，的最大值是．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设为实数，直线，下列说法正确的有（）A.时，在两坐标轴上截距相等B.时，与没有公共点C.经过原点D.原点到直线距离的最大值为【答案】ABD【解析】选项A，当时，直线的方程为.令，得横截距为；令，得纵截距为，截距相等，故A正确.选项B，当时，，，两直线斜率相同且纵截距不同，平行无公共点，故B正确.对于选项C，将代入方程，得，故不经过原点，C错误.对于选项D，将方程整理为，所以直线恒过定点，原点到距离的最大值为原点到的距离，故D正确.故选：ABD.10.已知圆和直线，则下列说法正确的是（）A.当时，直线被圆截得的弦长为B.当时，圆上到直线的距离为的点有个C.当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为D.当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点【答案】ACD【解析】由圆知：圆心，半径；对于A，当时，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，A正确；对于B，当时，圆心到直线的距离，，圆上到直线的距离为的点有个，B错误；对于C，为圆的两条切线，，，，，，当时，取得最小值，四边形面积的最小值为，C正确；对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为：；当或时，在处切线的斜率为，在处切线方程为：，又，整理可得该切线方程为：；当或，在处切线满足方程；综上所述：在圆上一点处的切线方程为：；设，则直线，直线，设，则，坐标满足方程，即直线方程为：；为直线上的动点，，直线，整理可得：，令，解得：，直线恒过定点，D正确.故选：ACD.11.如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则下列说法正确的是（）A.B.直线与平面所成的角为60°C.三棱锥的体积为D.直线平面【答案】ACD【解析】以点为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，对于A，，，所以，所以，故A选项正确；对于B，，易知平面，所以是平面的一个法向量，设直线与平面的夹角为，则，所以，故B选项错误；对于C，，所以C选项正确；对于D，，，设平面的法向量为，则，即，令则，所以，又，所以，所以，又平面，所以平面，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.向量在向量上的投影向量为___________．【答案】【解析】向量在向量上的投影向量为：故答案为：.13.点关于直线的对称点的坐标为_____.【答案】【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则与中点在直线，且过与的直线与直线垂直，因为直线的斜率为，所以，即，解得，所以，点关于直线的对称点的坐标为.故答案为：.14.已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆：交于，两点，则当最大时，的面积为________.【答案】【解析】由题意知，，在中，，显然，所以是锐角，，又函数在上单调递增，因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径，在中，，，所以，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知空间三点，设（1）求；（2）若向量与互相垂直，求实数k的值.解：（1）由题意，，则.（2）由（1）可得因向量与互相垂直，则得：，解得，或.16.已知的三个顶点分别为．（1）求边所在直线的方程与AB边上的高所在直线的方程；（2）求过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程．解：（1）由斜率公式得，所以边所在直线的方程为：，整理得；因为，所以AB边上的高所在直线的斜率，因为AB边上的高所在直线过，所以AB边上的高所在直线的方程为，整理得.所以，边所在直线的方程为，AB边上的高所在直线的方程为.（2）当直线过原点时，此时直线在两坐标轴上的截距的绝对值均为，设所求直线方程为，把点代入得，解得，此时直线方程为.当直线不过原点时，设直线方程为，因为所求直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，即，所以或，当时，直线方程为，把点代入得，解得，此时直线方程为；当时，直线方程为，把点代入得，解得，此时直线方程为；综上，过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为：，，.17.如图，在直三棱柱中，，点E，F分别为棱的中点.（1）求直线与直线的夹角的余弦值；（2）求点到平面的距离.解：（1）由题意得两两互相垂直，所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，设直线与直线的夹角为，则.所以直线与直线的夹角的余弦值为.（2），，设平面的法向量为，则，取，则，则，所以点到平面的距离为.18.在平面直角坐标系中，已知圆经过点，且与圆相切于点．（1）求圆的方程：（2）过点作圆的切线，求切线方程；（3）圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由．解：（1）将点代入圆可得，解得，即圆，将点表示成“点圆”形式：，可设圆的方程为，代入点可得，解得，所以圆的方程为，即.（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径，若切线斜率不存在，则，不满足题意舍去；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，解得或，所以切线方程为.（3）由（1）可知：，圆的圆心，半径，设，因为，即，整理得，可知点轨迹是以为圆心，半径的圆，且，可知圆与圆的位置关系为相交，两圆有2个公共点，所以圆上存在2个点，使得．19.在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．（1）证明：连接，因为点，分别为的中点，所以，因为四边形为直角梯形，，，，所以，，在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以，又因为为等边三角形，点为的中点，所以，又因为侧面平面，侧面平面，所以平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接，可得，又平面，又平面，所以，以为坐标