【数学】四川省成都市郫都区2025-2026学年高一上学期11月期中考试试题(解析版)

四川省成都市郫都区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由图知，影部分所表示的集合为，又，，所以图中阴影部分所表示的集合为.故选：A.2.下列各组函数表示同一函数的是（）A.和 B.和C.和 D.与【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以A不符合题意；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以B不符合题意；对于C，函数的定义域为，的定义域为，且，可得函数与的定义域相同，且对应法则也相同，所以两函数是同一函数，所以C符合题意；对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D不符合题意.故选：C.3.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的否定为.故选：B.4.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由于，需满足，解得：且，.故选：A.5.设，，，则的最小值为（）A. B. C. D.32【答案】D【解析】因为，，所以，当且仅当时取等号.令得：，即，解得：，此时，当且仅当时取等号.所以的最小值为32.故选：D.6.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由于，得，所以的定义域是，由此排除ABD选项，所以正确的选项为C.故选：C.7.数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，，.所以，因为，所以.所以，而，所以，故选项B正确.故选：B.8.已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得函数在上单调递增，则，解得或.由函数在上单调递减，在上单调递增，则.综上所述，的取值范围为.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分）9.已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确；对于B，由可得，即的值域为，错误；对于C，函数与函数的图象关于轴对称，故函数的值域与函数的值域相同，为，正确；对于D，由可得，即的值域为，错误．故选：AC.10.已知满足且，下列选项中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由于且，故，对于A,由于，故，A正确，对于B,，故，B正确，对于C,若，则，故C错误，对于D,，故，D正确.故选：ABD.11.享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.以他的名字命名的函数为“高斯函数”，也叫做取整函数.它的函数值表示不超过的最大整数.例如，，，.下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集为C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】对于A，根据高斯函数得，故正确；对于B，不等式等价于，即，根据高斯函数的定义，为整数，即或，所以，当时，；当时，，所以，不等式的解集为，故正确；对于C，令，由得且，即，且，所以，，解不等式得，所以，或，当时，，即；当时，，即，所以，若，则或，故错误；对于D，设，其中，则，当时，都是，为，故和为；当时，都是，，为，故和为；当时，都是，，，为，故和为；以此类推，当时，是，，均为，故和为；当时，，均为，故和为；所以，，所以，当时，矛盾，即，，所以，，其中，，所以，则，故，故正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数集，，若，则________.【答案】1【解析】易知，所以或，若，即，此时，，符合题意；若，此时，，，舍；综上，.故答案为：1.13.已知函数是奇函数，当时，，则当时，________.【答案】【解析】设，则，所以.又函数为奇函数，所以，即时，，故答案为：.14.设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为______________.【答案】【解析】如图：长方形周长为，不妨设，且，设在中，，变形得：当且仅当“”等号成立所以面积的最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（1）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.解：（1）因为，，都是正数，由基本不等式可得，（当且仅当时，等号成立），（当且仅当时，等号成立），（当且仅当时，等号成立），所以，当且仅当时，等号成立.（2）由函数的定义域为，得，恒成立，当时，恒成立，满足题设；当时，，解得，综上，实数的取值范围是.16.已知集合，.（1）已知，若，求实数的取值范围.（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；解：（1）解不等式，得：，故，，又因为且，所以或，故.（2）“”是“”的必要条件等价于.，.当时，，满足；当时，由，得：，解得：.综上：.17.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，如图所示，左右两侧力臂长度分别为厘米，厘米，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.（1）结合你所学习的物理知识，判断顾客购得的黄金是小于10克，等于10克，还是大于10克？为什么？（2）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种投资方案：第一种是每次购买黄金定量为克；第二种是每次购买黄金定额为元；在黄金价格波动的情况下，某投资者准备在11月份分两次以不同价格购入黄金，请你帮他选择一种购入时平均价格更低的投资方案.解：（1）由题可知，天平两臂不等长，则，，，设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.因此，顾客购得的黄金大于.（2）设第一次购买黄金时的价格为元，第二次购买黄金时的价格为元，按第一种方案购买黄金，两次购买黄金的平均价格为；若按第二种方案购买黄金，第一次能购克黄金，第二次能购克黄金，两次购买黄金的平均价格为；比较两次平均价格：.又因为，所以.所以第一种方案的平均价格高于第二种方案的平均价格，因而用第二种方案购买黄金成本更低.18.已知函数，用表示中的较大者，记为.（1）写出函数的解析式，并画出它的图象；（2）当时，若函数的最小值为，求实数的取值集合.解：（1）当，即时，，当当，即或时，，所以，函数图象如图所示：（2）由（1）可得，函数在上递减，在上递增，当时，函数在上递减，所以，解得或（舍去），当时，函数在上的最小值为，解得，综上实数的取值集合为.19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求，的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若方程在恰有三个实根，，（其中），求实数的取值范围及的最小值.解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，，即，又，即，经检验，该函数为奇函数，故，.（2）在上单调递增