（人教A版）必修第二册高一数学下学期 平面向量及其应用 章末检测2（中）（解析版）

专题6.2平面向量及其应用章末检测2（中）一、单选题1．有下列结论：①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；②若a≠b，则a，③若AB=DC，则四边形④若m=n，n=⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中，错误的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.【解答过程】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若a≠b也有可能a，b长度不等，但方向相同或相反，即共线，对于③，若AB=DC，则AB，DC不一定相等，所以四边形ABCD不一定是平行四边形，对于④，若m=n，n=k，则对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.综上，错误的是②③⑤，共3个.故选：B.2．已知平面上的非零向量a，b，c，下列说法中正确的是（

）①若a//b，b//②若|a|=2|b③若xa+yb=2a④若a//b，则一定存在唯一的实数λ，使得A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解题思路】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a，b的长度关系判断②，举反例判断③.【解答过程】对于①，由向量共线定理可知，a//b，则存在唯一的实数λ1，使得a=λ1b，b//c，则存在唯一的实数λ2，使得对于②，模长关系只能说明向量a，b的长度关系，与方向无关，则②错误；对于③，当a=b时，由题意可得x+ya=5a，则x+y=5，不能说明x=2由向量共线定理可知，④正确；故选：B.3．已知向量a与b的夹角是5π6，且a=a+b，则向量A．60° B．30° C．150° D．120°【解题思路】利用向量数量积的定义和运算性质求解即可.【解答过程】由向量的平方等于模长的平方可得a2所以a2=a2+2abcos5π64．已知平面向量a，b满足a=3，b=1，3，a−2A．3 B．1 C．2 D．6【解题思路】根据模的运算性质求出a⋅【解答过程】∵a−2b∴解得a⋅b=2，所以a在b5．点O为△ABC内一点，若S△AOB:S△BOC:S△AOC=4:3:2，设A．29，49 B．49，29 C．19，2【解题思路】先证明S△AOC⋅OB【解答过程】如图所示，延长AO交BC于Q，显然S△AOB+S△BOC+而AQ=所以AO=所以S△AOC⋅OB又由题可知S△AOB:S所以4OA+AC+3OA6．在锐角三角形ABC中，点D为BC延长线上一点，且BCCD=2,AB=56,AC=10,B=πA．253+32C．753+34【解题思路】在△ABC中，利用余弦定理求解BC，根据已知锐角三角形条件排除不符合条件的解，再利用三角形面积公式求得结果.【解答过程】设CD=x，则BC=2x在△ABC中，由余弦定理AC得100=150+4x2−203x当x=5（3−1）2时，当x=5（3+1）2时，BC=5(3+1)，在△ABD中，BD=3x=15(3+1)2，则△7．△ABC的内角A､B､C的对边分别为A．若A>B，则sinB．若A=30∘,b=4,a=3C．若△ABC为钝角三角形，则aD．若三角形ABC为斜三角形，则tan【解题思路】由大角对大边及正弦定理判断A；由bsinA<a<b，可得【解答过程】对于A选项，若A>B，则a>b，由正弦定理可得2Rsin所以，sinA>对于B选项，bsinA=4sin所以△ABC有两解，B选项正确；对于C选项，若△ABC为钝角三角形且C为钝角，则cosC=a2对于D，因为tan(B+C)=tan因为tan(B+C)=所以tanB+所以tanA+故选：C.8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D、E分别是AC、AB上的两点，且AE=EB，AD=2DC，BD与CE交于点A．ABB．OEC．OAD．ED在BC方向上的投影向量的模为1【解题思路】分析可知CE⊥AB，可判断A选项；利用平面几何知识可判断B选项；建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可判断CD选项.【解答过程】取AD的中点F，连接EF，对于A选项，因为△ABC是边长为2的等边三角形，E为AB的中点，则CE⊥AB，所以，AB⋅对于B选项，∵E、F分别为AB,AD的中点，则EF//BD且EF=12BD，因为AD=2DC，则AF=FD=DC，故D为CF对于CD选项，取AC的中点M，连接BM，则BM⊥AC，以点M为坐标原点，AC、MB所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系xMy，则A−1,0、C1,0、B0,3、E−OA=−54,−34，OB=−14,334，OC故选：D.二、多选题9．已知平面向量a=1,0，b=A．a+b=4C．向量a+b与a的夹角为30° D．向量a+b【解题思路】根据向量加法的坐标运算，以及向量模的计算，可判断A;根据数量积的坐标运算可判断B;利用向量的夹角公式可判断C;根据投影向量的概念，可求得向量a+b在【解答过程】由题意得a+b=a+cosa,a+b=向量a+b在a上的投影向量为a⋅10．下列说法中正确的有（

）A．已知a在b上的投影向量为12b且b=5B．已知a=1,2,b=1,1，且a与C．若非零向量a,b满足|a|=|b|=|aD．在△ABC中，若AB⋅BC>0【解题思路】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D选项.【解答过程】设a与b的夹角为α，又因为a在b上的投影向量为12b，所以a⋅cosα⋅因为a=1,2,b=1,1，则所以a⋅a+λb>0，且a与a+λb不共线，即1+λ+2因为a=a−b，两边同时平方得a2=a−=32a23因为AB⋅BC>0因为AB>0,BC>0，故cosB<0，又因为B∈0,π故选：AC.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cacosA．A=B．A=C．当a=4时，△ABC的面积最大值为2D．当b−c=3a3【解题思路】根据正弦定理边角互化，结合两角和的正弦和正切公式可判断A错误，B正确，结合均值不等式可判断C，根据余弦定理的边的关系，代入可得三边关系满足勾股定理，可判断D.【解答过程】由3cacos3sin即3tanA+tan故tanA=3,由A∈0,若a=4，由b2+c2−a2=bc得16=b2+由b−c=3a3得b=c+3a3将其代入b2+c2−a2=bc中得：三、填空题12．在△ABC中，A=π3，AC=4，AB=6，D在CB边上，若CD=λCB，AD⋅BC=−4【解题思路】根据向量数量积定义可求得AB⋅AC=12，利用AB,AC【解答过程】∵AB∴AD⋅BC=AC解得：λ=27.故答案为：13．在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且AD=15AC，BE=13BC，AE与BD交于O点，若【解题思路】因D，O，又A，O，E三点共线，则CO=y【解答过程】因D，O⇒CO=xCB+1−xCD.又又因A，O⇒CO=yCA+1−yCE.又故x=231−yy=4514．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是②③④．①若A＝30°，b＝5，a＝2，则△ABC有2解

②若A>B，则cosA<③若cosAcosBcos④若a−b=ccosB−ccos【解题思路】①由正弦定理解出sinB，进而判断△ABC②先由正弦定理得到sinA>③由三角形中最多只有一个内角为锐角即可判断；④由余弦定理角化边化简即可.【解答过程】①由正弦定理可得：asinA=bsinB，

∴sinB=②∵A>B，∴sinA>sinB，根据同角三角函数基本关系式可知③∵cosAcosBcosC>0，且角A，B，C为△ABC的内角

∴cosA>0cosB>0cosC>0，

④∵a−b=ccosB−ccosA，由余弦定理可得：a−b=c⋅a2+c2−b22ac∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故④正确．

故答案为：②③④．四、解答题15．已知a=3，(1)求a⋅(2)求a−3【解题思路】（1）利用数量积的运算性质将a,（2）利用数量积的运算性质即可得出答案.【解答过程】(1)a=3，所以2a2−5a⋅(2)a−316．已知向量a=3,2(1)当2a-b(2)当c=-8,-1，a∥b+c【解题思路】（1）根据向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解，（2）根据向量平行的坐标关系可求x=5【解答过程】（1）因为向量a=3  ,  2，b=由2a-b⊥b得2整理得x2-6x+5=0，解得x=1或x（2）因为c=(-8,-1),b=(x,-1)由a//(b+c)所以|a|=9+4=13又α∈0,π，所以17．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，H为DE上一点，且EH=λED（0≤λ≤1），BE，FH交于点(1)当λ=12时，试用AD，AF表示(2)试用AD，AF表示AG．【解题思路】（1）根据正六边形的性质和平面向量的线性运算结合图形可得；（2）过点H作HM//OD交OE于点M，根据三角形相似及正六边形的性质得到【解答过程】（1）解：由正六边形性质可知，AF=因为λ=12，所以所以AH=（2）解：如图过点H作HM//OD交OE于点M，则△EMH∽△EOD，所以由△GMH∽△GEF，所以MHEF=GMGE，又不妨令ED=1，则EH=EM=λ，所以GE=λ1+λ，所以OG=1−λ所以AG=18．小军在校园内测对岸广电大厦楼顶无线塔AB的高度，他在校园水平面上选取两点C,D，测得CD=l，测得∠ACB=θ，∠ACD=α1，∠BCD=α2，(1)求AC；(2)求无线塔AB的高度.【解题思路】（1）在△ACD中，利用正弦定理可求得AC；（2）在△BCD中，利用正弦定理可求得BC；在△ACB中，利用余弦定理可求得AB.【解答过程】（1）∵∠ACD=α1，∠ADC=β在△ACD中，由正弦定理得：AC=CD⋅（2）∵∠BCD=α2，∠BDC=β在△BCD中，由正弦定理得：BC=CD⋅在△ACB中，由余弦定理得：AB2=AC219．在△AB