（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习专项训练第1讲 三角函数（解析版）

第1讲三角函数【复习目录】一、确定nα及eq\f(α,n)所在的象限二、三角函数值符号的运用三、与扇形的弧长、面积有关的计算四、诱导公式五、已知一个三角函数值求另两个三角函数值六、sinθ±cosθ型求值问题七、化切求值八、给角求值九、给值求值十、给值求角十一、辅助角公式【精选好题】一、确定nα及eq\f(α,n)所在的象限1．已知α是第二象限角，求角eq\f(α,2)所在的象限．【详解】方法一∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴eq\f(k,2)·360°＋45°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋90°(k∈Z)．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<eq\f(α,2)<n·360°＋90°，这表明eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<eq\f(α,2)<n·360°＋270°，这表明eq\f(α,2)是第三象限角．∴eq\f(α,2)为第一或第三象限角．方法二如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为eq\f(α,2)的终边所在的区域，故eq\f(α,2)为第一或第三象限角．2．已知α是第二象限角，求角2α的终边的位置．【详解】∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．3．已知角α变为第三象限角，求角eq\f(α,2)是第几象限角．【详解】如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角eq\f(α,2)的终边所在的区域，故角eq\f(α,2)为第二或第四象限角．二、三角函数值符号的运用4．“且”是“为第三象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】求出且时所在象限，再根据充分必要条件的概念判断．【详解】因为且，由任意角的三角函数可知，为第四象限角，所以“且”是“为第三象限角”的既不充分也不必要条件，故选：D.5．已知是第二象限角，则点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由是第二象限角，可得，即可得答案.【详解】解：因为是第二象限角，所以，所以在第三象限.故选：C.6．已知，且有意义．(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值．【答案】(1)第四象限；(2)，【分析】（1）由条件可分别判断的正负，即可判断所在的象限；（2）由可得，再由是第四象限角可判断，即可求出，根据定义可求出．【详解】（1）∵，∴，①由有意义，∴，②，由①②得，角在第四象限；（2）∵点在单位圆上，∴，解得，又是第四象限角，即，∴，由三角函数定义知．三、与扇形的弧长、面积有关的计算7．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作，垂足为，求得，，分别求得扇形的面积和的面积，结合，即可求解.【详解】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，如图所示，过点作，垂足为，可得，可得扇形的面积为，的面积为，所以此弧田的面积为.故选：A.8．（多选）已知某时钟的分针长4cm，将快了5分钟的该时钟校准后，则（

）A．时针转过的角为B．分针转过的角为C．分针扫过的扇形的弧长为D．分针扫过的扇形的面积为【答案】BC【分析】根据分针转一圈为60分，时针转一圈为12小时，分别求得其圆周角，再利用弧长公式和面积公式求解.【详解】由题意，得时针转过的角为，分针转过的角为，分针扫过的扇形的弧长为，面积为.故选：BC.9．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．(1)若，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由扇形弧长公式计算；（2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可.【详解】（1）设扇形的弧长为l．因为，即，所以．（2）由题设条件，知，则，所以扇形的面积．当时，S有最大值36，此时，所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．四、诱导公式10．已知，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】因为，所以，，因此，.故选：C.11．已知角终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定，化简得到原式为，计算得到答案.【详解】角终边经过点，故，，故选：B12．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据任意角三角函数的定义运算求解；（2）根据诱导公式化简求值.【详解】（1）由题知角终边经过点，则，∴，，故.（2）由（1）知，则，故.五、已知一个三角函数值求另两个三角函数值13．若角为第四象限角，且，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用同角公式计算作答.【详解】角为第四象限角，且，则，所以.故选：C14．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，代入，即可得出，根据三角函数的符号，即可得出答案.【详解】由已知可得，，，所以，.又，所以，所以，由可解得，.故选：C.15．已知，，则_________.【答案】【分析】利用诱导公式与平方和关系求解即可.【详解】因为，所以，所以故答案为：六、sinθ±cosθ型求值问题16．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数基本关系式，以及三角函数在各个象限内的正负，可得，从而求出的值.【详解】因为，所以，即，所以.因为，所以，所以.因为，所以.故选：B.17．（多选）已知，则下列选项正确的是(

)A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由已知条件，两边平方求出，即可判断A；再根据，得出和，由即可判断B；再根据即可判断C和D，进而得出答案．【详解】两边平方，得，即，则，选项A正确；因为，所以，又因为，所以，因为，所以，选项B正确，因为，故D正确，C错误，故选：ABD．18．已知.(1)若，则的值；(2)若x为三角形的内角，则的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先对两边平方，求出，再求出，根据角所在象限，即可求解.（2）根据平方关系，即可求得，根据角的象限，即可判断，继而求出.【详解】（1）因为,即所以,所以，又，故所以，所以.（2）联立,消去得，即，又，所以，解得:或(舍去).所以，所以.七、化切求值19．已知为锐角，满足，则________．【答案】2【分析】根据齐次式法运算求解即可.【详解】因为，整理得，解得或，又因为为锐角，则，所以.故答案为：2.20．已知tanα=2，则的值为_____.【答案】【分析】根据齐次式问题运算求解.【详解】原式.故答案为：.21．已知，且满足.求：(1)的值；(2)；(3).【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据之间的关系，即可联立方程求解正余弦以及正切的值，（2）（3）根据弦切互化，转化成齐次式即可求解.【详解】（1）已知，且满足,平方得,所以，∴，，.联立，解得，，；（2）；（3）.八、给角求值22．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式即可求解．【详解】．故选：A．23．的值为（

）A．2B．C．D．0【答案】C【分析】结合两角和的正切公式化简求值即可.【详解】所以，所以，所以，原式．故选：C.24．求值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用余弦两角和公式求解即可；（2）利用正切两角和公式求解即可；（3）利用正弦两角和公式求解即可.【详解】(1).(2).(3)原式.九、给值求值25．若为锐角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，然后找出已知角与要求角之间的关系，从而直接利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】因为为锐角，所以，所以，又因为，所以，所以.故选：D.26．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：C27．已知都是锐角，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的余弦公式，得解；（2）由，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．【详解】（1）解：因为与都是锐角，所以，，又，所以，，所以，，所以；（2）因为，，，所以，解得：(负值舍去).十、给值求角28．已知，，且，则_________；_______.【答案】【分析】由，利用两角和差正切公式可求得，，结合的范围可确定的值.【详解】，，；，，，，，，，.故答案为：；.29．已知，.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由两角差公式可得，根据齐次式问题运算求解；（2）根据题意可得，根据两角和差公式分析运算即可.【详解】（1）因为，解得，所以.（2）因为，则，则，可得，所以，则，又因为，则，所以.30．已知，．(1)求；(2)若，且，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解.【详解】（1）由，得．，

．（2）由，得，由，得，

．又十一、辅助角公式31．将下列各式化成的形式，其中，，.=1\*GB3①________________；=2\*GB3②________________；=3\*GB3③________________；=4\*GB3④________________；=5\*GB3⑤________________；=6\*GB3⑥________________；=7\*GB3⑦________________；=8\*GB3⑧________________；=9\*GB3⑨________________．【详解】=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；