（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习专项训练第4讲 解三角形（解析版）

第4讲解三角形（12个必刷点）【复习目录】一、余弦定理解三角形二、正弦定理解三角形三、三角形面积公式及其应用四、化角为边判断三角形形状五、化边为角判断三角形形状六、判断三角形解的个数七、正、余弦定理的实际应用八、解三角形综合小题九、边角互化十、利用基本不等式求范围问题十一、利用三角函数值域求范围问题十二、正、余弦定理在几何图形中的计算【精选好题】一、余弦定理解三角形1．在中，角所对的边分别为.若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理进行求解.【详解】由正弦定理得：，即，解得：.故选：A2．在中，，，，则（

）A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】根据三角形内角和先求出角，再根据正弦定理即可求出．【详解】因为，所以．由正弦定理可得，，即，解得．故选：A．3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根据正弦定理，结合三角形的性质进行求解即可.【详解】由题意可得，则或.因为，所以，所以.故选：A4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理求出，再根据同角公式可得结果.【详解】根据正弦定理得，得，所以.故选：C.5．在中，已知，则角为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】直接利用正弦定理即可得出答案.【详解】解：在中，已知，因为，所以，所以或，所以或.故选：C.二、正弦定理解三角形6．在中，角的对边分别为，且，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果.【详解】在中，由余弦定理得：，即，解得：或（舍），.故选：B.7．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理可得，利用余弦定理可求得的值.【详解】因为，令，，，则.故选：A.8．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求【详解】设，故选：C9．在中，,BC=1,AC=5，则AB=（）A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（

）A．45° B．60° C．90° D．135°【答案】A【分析】由利用余弦定理可得，结合的范围，即可得的值．【详解】中，，可得：，由余弦定理可得：，，，故选：A.11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝________.【答案】【分析】由余弦定理计算．【详解】因为b2＝ac，且c＝2a，，所以cosB＝＝＝.故答案为：．三、三角形面积公式及其应用12．在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意已知条件，直接使用三角形面积公式即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以.故选：D.13．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B． C．2 D．1【答案】B【详解】由面积公式得：，解得，所以或，当时，由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.14．在中，角所对的边分别为，，且的面积为，若，则（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】根据三角形面积可推出，利用余弦定理即可求得答案.【详解】由于,，故有，解得，又，则,故选：A．15．在中，，则“”是“的面积为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用三角形面积公式以及余弦定理可判断“”和“的面积为”之间的逻辑推理关系，即得答案.【详解】由已知在中，，若，则为正三角形，故，若的面积为，则，又,即，解得，故，所以“”是“的面积为”的充分必要条件，故选：C16．在中，内角对应的边分别为，已知，，且，则的面积为_________.【答案】【分析】根据题意，利用正弦定理得出，然后根据三角形内角和定理得到，最后利用三角形面积公式即可求解.【详解】因为，，所以由正弦定理得即，得因为，所以，所以，所以面积，故答案为：.四、化角为边判断三角形形状17．若在，则三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】根据余弦定理角化边可得结果.【详解】由以及余弦定理得，化简得，所以三角形的形状一定是等腰三角形.故选：B18．在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】利用三角函数诱导公式和正弦定理余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到△ABC为等腰三角形.【详解】因为，，所以，所以由正弦定理和余弦定理得，化简得，所以，所以△ABC为等腰三角形.故选：B19．在中，（分别为角的对边），则一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据二倍角公式将已知条件变形，然后利用余弦定理进行边角转化进行判断.【详解】∵，∴，即，根据余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，为直角三角形.故选：B20．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，因为，由正弦定理得，则，则，所以为有一个角为的直角三角形.故选：B.21．在中，角A，，的对边分别为，，，若，则角A与角的关系为（

）A． B．C．且 D．或【答案】D【分析】利用正弦定理和余弦定理求得，，之间的关系，进而得到角A与角的关系.【详解】由，可得，则，则，则，则，整理得，则或，则或.故选：D五、化边为角判断三角形形状22．在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】应用正弦定理，结合三角形内角的性质及两角和差公式可得，即可判断的形状.【详解】由题设，结合正弦定理有，而，∴，即，又，∴.故选：A23．在中，若，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到或，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得，即，在中，，则，所以或，故，或，故三角形为等腰或直角三角形，故选：C.24．已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可.【详解】因为，由正弦定理可得：，所以，所以，所以或，即(舍去)或，故为直角三角形，故选：C25．设在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】根据两角和的正弦公式和正弦定理求得，得到，求得，即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，即，即，所以，又因为，所以，所以是直角三角形.故选：A.26．已知分别为三个内角的对边，且，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形【答案】D【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，得到，即可求解.【详解】因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，因为，可得，所以，又因为，所以，所以为钝角三角形.故选：D.六、判断三角形解的个数27．中，.则满足这样的三角形的个数为（

）A．唯一一个 B．两个 C．不存在 D．有无数个【答案】B【分析】根据正弦定理进行求解即可【详解】已知，由正弦定理，，又，则，，或，满足条件的三角形有2个三角形.故选：B.28．中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.【详解】由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．29．（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（

）A．若，，则有两解 B．若，，则无解C．若，，则有一解 D．若，，，则有两解【答案】BD【分析】A选项，推出是边长为2的等边三角形，有1解；B选项，由正弦定理得到，无解；C选项，由大边对大角得到三角形中有2个钝角，无解；D选项，由正弦定理得到或，D正确.【详解】A选项，因为，，所以，故，是边长为2的等边三角形，有1解，A错误；B选项，若，，由正弦定理得，即，解得，无解，B错误；C选项，若，，由大边对大角可知，，此时三角形中有2个钝角，不可能，则无解，C错误；D选项，若，，，由正弦定理得，即，解得，因为，所以或，所以有两解，D正确.故选：BD30．（多选）在中，，角所对的边，下列结论正确的为（

）A．若，有一个解 B．若，无解C．若，有两个解 D．若，有一个解【答案】BCD【分析】根据题意，由正弦定理求得，结合选项中的取值范围，分类讨论，即可求解.【详解】因为且，由正弦定理，即，当时，可得，所以，此时有一个解，故A不正确；当时，可得，不成立（舍去），此时无解，故B正确；当时，即，则，由，此时有两解，即有两解，故C正确；当，即，则，由，此时只有一解，故D正确.故选：BCD.31．（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（

）A． B．3 C．5 D．【答案】BD【分析】由题意，则角A只有一个解，有或且，转化为边的关系即可.【详解】由正弦定理得，，要使此三角形只有唯一解，此三角形时有且只有唯一解，则A只有一个，则或且，所以或，选项BD符合.故选：BD．七、正、余弦定理的实际应用32．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（

）A．60米 B．120米 C．150米 D．300米【答案】C【分析】应用正弦定理有，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.【详解】由题设，，在△中，，即，所以米.故选：C33．如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的、两点，在点测得红豆树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值．【详解】依题意可得如下图形，

在中，，，，由正弦定理得，解得，在中，，所以，所以红豆树的高度为千米．故选：D．34．为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶处的仰角为，从A处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为（

）米A． B． C． D．【答案】A【分析】设铁塔的高度为，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h．【详解】设铁塔的高度为米，由题意可得：，在中，由余弦定理，即，解得.故选：A.35．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】如图，由题意可得海里、，结合正弦定理计算即可求解.【详解】如图，由题意得，海里，得，在中，由正弦定理，得海里.故选：A.36．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（

）A．50 B．30 C．25 D．15【答案】B【分析】计算得到，，在中利用余弦定理计算得到答案.【详解】设塔高的高度为，在中，因为，所以；在中，因为，所以；在中，，，，根据余弦定理可得，，即，解得或（舍去）.故选：B.八、解三角形综合小题37．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.38．在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（

）A．钝角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在中，由正弦定理得，而，∴，即，又∵、为的内角，∴，又∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴为等边三角形.故选：B.39．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（

）A．6 B．8 C．4 D．2【答案】A【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到，再由余弦定理得，代入已知条件可得到最终结果.【详解】因为，根据正弦定理得到：故得到再由余弦定理得到：代入，，得到.故选：A.40．在中，内角所对的边分别为.若，，且，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形面积公式和余弦定理可求得，接着利用正弦定理求得外接圆半径后，根据圆的面积公式可得结果.【详解】，解得：；，解得：；由正弦定理得：，解得：，的外接圆面积.故选：A.41．如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】中由正弦定理求得后可得，从而得，角，得，用余弦定理可得．【详解】在中，根据正弦定理得，由，所以，所以，所以，则，所以，在中，由余弦定理得，所以．故选：D．42．（多选）对于，有如下判断，其中正确的判断是（

）A．若，则B．若，则为等腰三角形C．若，，，则符合条件的有两个D．若，则是锐角三角形【答案】AC【分析】根据三角函数的单调性可判断A选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B选项，利用正弦定理可判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项.【详解】对于A：由，则当时，，当时，由可知，所以，故A选项正确；对于B：由，，，得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；对于C：由，，，根据正弦定理得：，，且，所以满足条件的三角形有两个，C选项正确；对于D：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，D选项错误.故选：AC.43．（多选）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（

）A．，，则的外接圆半径是4B．若，则C．若，则一定是钝角三角形D．若，则【答案】BC【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.【详解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；若，显然，故D错误.故选：BC44．（多选）以下关于正弦定理或其变形正确的有（）A．在ABC中，a：b：c＝sinA：sinB：sinCB．在ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝bC．在ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，若A＞B，则sinA＞sinB都成立D．在ABC中，【答案】ACD【分析】对于A，由正弦定理得a：b：c＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；对于B，由题得A＝B或2A+2B＝π，即得a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C，在ABC中，由正弦定理可得A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；对于D，由正弦定理可得右边＝＝左边，故该选项正确.【详解】对于A，由正弦定理，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，∴a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C，在ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；对于D，由正弦定理，可得右边＝＝左边，故该选项正确.故选：ACD.九、边角互化45．在中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)求角A．(2)若，，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1），由正弦定理知，，即．又，且．所以，由于．所以；（2）由余弦定理得：，．又，所以所以.46．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面积为，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.【详解】（1）由题意及正弦定理知，，，，.（2），又，由①，②可得，所以的周长为.47．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．(1)求角B的大小；(2)设，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求的值．【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可.（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解.【详解】（1）由，根据正弦定理得，,可得，因为，故，则，又，所以.（2）由（1）知，，且，，（ⅰ）则，即，解得（舍），.故.（ⅱ）由，得，解得，则，则，，则.48．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若的面积为，，点D为边BC的中点，求AD的长．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到，由余弦定理求出答案.【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，即．由余弦定理可得，又，所以．（2）因为，所以，即，又，则，所以．所以，．所以，所以．在△ACD中，由余弦定理可得，即．十、利用基本不等式求范围问题49．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系得，根据余弦定理求的余弦值，进而确定其大小；（2）由已知和余弦定理得，再由求面积最大值，注意取值条件.【详解】（1）由已知，即，由正弦边角关系得，所以，又，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，故的面积的最大值为.50．在中，，.(1)当时，求和；(2)求面积的最大值.【答案】(1)，；(2)27【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理即可求解；（2）由余弦定理可得，结合可得，进而根据面积公式即可求解.【详解】（1）因为且，所以.由正弦定理得，即.所以.所以或.因为，，所以.所以.由，即，解得.（2）因为，

因为，所以.

所以，当且仅当为时，等号成立.所以.所以面积的最大值为.51．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小．(2)若，求的周长的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合基本不等式、三角形两边之和大于第三边进行求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，因为因为，所以，所以因此有．又因为，所以．（2）由，及余弦定理，得，所以，当且仅当时取等号．又因为，所以，故的周长的取值范围为．52．的内角的对边分别为，已知.(1)若，求的值；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理求得，进而求得的大小；（2）由余弦定理化简得到，结合基本不等式，求得的最大值，进而求得周长的最大值.【详解】（1）解：由正弦定理知，所以，解得，因为为钝角，所以.（2）解：由余弦定理得，又由，则，所以，所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，所以周长的最大值为.53．在中，角所对的边分别，且(1)求角A的值；(2)已知在边上，且，求的面积的最大值【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理边角互化结合和差角关系可得，即可得，进而可求，（2）根据向量的线性表示以及模长公式可得，结合不等式即可求解最值成立的条件,由面积公式即可求解.【详解】（1）在中因为．由正弦定理得，所以，因为，所以．故又是的内角，所以．从而．而A为的内角，所以；（2）因为所以,所以，从而，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.十一、利用三角函数值域求范围问题54．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角A的大小；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理分析运算；（2）利用正弦定理进行边化角，在结合三角恒等变换及余弦函数分析运算.【详解】（1）因为，由正弦定理得，整理得，所以，且，故.（2）因为，可得，则，因为，所以，则所以，即．55．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.(1)求角A；(2)若，求△ABC周长的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得，进而由三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，（2）因为，，所以，故由正弦定理得：所以，所以周长因为，则，所以故求周长的取值范围为.56．已知分别为锐角内角的对边，．(1)证明：；(2)求的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角恒等变换解决即可；（2）由正弦定理，三角恒等变换得即可解决.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得,因为在三角形中,所以，所以，所以，或（舍去），所以；（2）由（1）得所以由正弦定理得,因为锐角三角形，所以，所以，所以,所以，所以的取值范围为57．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．(1)求A；(2)若，且，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理得，结合，求出；（2）由正弦定理得到，从而得到，结合，求出，得到的取值范围.【详解】（1）由，得：由正弦定理得：又，所以，故，即，则；（2）由正弦定理得：所以又因为，所以，又，故，故，则，所以故的取值范围为．58．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求角C；(2)若，求a＋b的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意，利用正、余弦定理将角转化为边得出，再利用余弦定理求得，从而