吉林省长春市汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷（含解析）

吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷一、单选题1．已知等比数列，则（

）A．14 B．32 C．16 D．542．若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（

）A． B． C．2 D．不存在3．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（

）.A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和为（

）A． B．C． D．5．若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（

）A．2 B．3 C． D．36．双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．7．已知数列中，且，则（

）A． B． C． D．8．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设a为实数，直线，，则（

）A．当时，不经过第一象限 B．的充要条件是C．若，则或 D．恒过点10．圆和圆的交点为，，则有（）A．公共弦所在直线的方程为B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为11．设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（

）A．为递减数列 B．C．当时，最小 D．当时，的最小值为4047三、填空题12．设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为.13．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．“果圆”与轴的交点分别为、，若在“果圆”轴右侧半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为．14．将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是.四、解答题15．已知点，圆.(1)若过点的直线与圆相切，求直线的方程：(2)若直线与圆相交于两点，弦的长为2，求的值.16．已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：.17．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程；(3)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．18．已知数列满足.(1)求；(2)求数列的通项公式；(3)若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值.19．已知椭圆C：的离心率为，长轴长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，求弦长，为坐标原点，求的面积；(3)直线（为左顶点）与椭圆C交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.参考答案1．B【详解】由题意可知.故选：B2．A【详解】由题意知，所以，所以，解得.故选：A.3．B【详解】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，则，解得，所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：B4．B【详解】因为，所以.故选：B.5．C【详解】由抛物线，可得，则焦点，准线方程为，因为点到其焦点的距离为，根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，即，解得，所以，因为，所以.故选：C.6．A【详解】由题意知，解得，故双曲线的标准方程为．故选：A．7．D【详解】由得：，又，数列是以1为首项，为公差的等差数列，，，，，故选：D．8．C【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，因为，所以，在中，，由余弦定理得，即所以所以的离心率.故选：C9．AB【详解】对于A，若过第一象限的点，则，且，但故，矛盾，故不过第一象限，故A正确；对于B，若，则，故或，由直线可得，而当时，两条直线的方程分别为：，，此时两条直线平行，符合，反之，也成立，故的充要条件为，故B正确；对于C，若，，故或，但不为零，故C错误；对于D，直线可化为：，由可得，即直线过定点，故D错误；故选：AB10．ABD【详解】对于A，因为圆，即，则圆心为，半径，圆，即，则圆心为，半径；又，则，所以两圆相交，将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确；对于B，圆的圆心为，又，则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，整理可得，故B正确；对于C，圆心到的距离为，又圆的半径，所以，故C错误；对于D，为圆上一动点，圆心到的距离为，又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D正确.故选：ABD.11．BC【详解】A.由条件可知，，与同号，所以，则，而，则公比，若，数列单调递减，则，那么，与已知矛盾，若，则，则那么，与已知矛盾，只有当，才存在，使，所以等比数列单调递增，故A错误；B.因为，单调递增，所以，则，即，故B正确；C.因为，且，所以当时，最小，故C正确；D.根据等比数列的性质可知，，，所以当时，的最小值为4046，故D错误.故选：BC12．【详解】因为，变形得，所以，解得.故答案为：.13．【详解】因为轴右侧半椭圆方程为，则所对应的离心率为；轴左侧半椭圆方程为，则所对应的椭圆的离心率为，所以两个半椭圆离心率的乘积为.故答案为：14．1275【详解】设数列，，，，……，故，利用叠加法：，，故.故答案为：1275.15．(1)；(2).【详解】（1）由于，即在圆上，而圆心，则，所以过点的切线斜率为，故直线的方程为.（2）由，圆心，半径为，则到的距离，又弦的长为2，所以，可得.16．(1)(2)证明见解析【详解】（1）在等差数列中，，则.又，所以该等差数列公差.故.所以，故数列的通项公式为.（2）因为，所以，则化简得.因为，所以，故.17．(1)(2)x＝2或(3)【详解】（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点，所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为，将点代入可得，所以，所以抛物线的标准方程为，（2）当直线斜率不存在时，过点的直线与抛物线有一个交点；当直线斜率存在时，设直线斜率为，直线方程为由得，直线与抛物线只有一个交点，所以，解得，所以直线方程为综上，过点与抛物线有且只有一个交点的直线方程为和；（3）设点，直线斜率为点在抛物线上，所以所以，即，所以直线方程为经检验，直线符合题意.18．(1)(2)(3)8【详解】（1）当时，，得，当时，，得.（2）因为，所以当时，，两式作差得，.所以当时，.又当时，，得，符合上式.所以数列的通项公式为.（3）由（2）知，.所以，，两式相减得，所以.所以，所以单调递增.当时，，当时，，所以使的最小的正整数的值为8.19．(1)(2)，(3).【详解