2026届四川德阳市高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页德阳市高中2023级第一次诊断考试数学试卷说明：1.本试卷分第I卷和第II卷，第I卷1-2页，第II卷2-4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.2.本试卷满分150分，120分钟完卷.第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．若（，且），则（

）A．4 B． C．2 D．2．复数的虚部为（

）A．-3 B． C． D．3．若角的终边过点，则的终边与单位圆交点的横坐标为（

）A． B． C． D．4．若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（

）A． B． C．2 D．35．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．6．记为等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C．7 D．-77．若函数有且只有1个零点，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．28．随着2025年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10月12日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10人（其中男7人，女3人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10人消费的平均数和方差分别是（

）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2）A．2.3，1.91 B．2.3，2.27 C．1.7，1.91 D．1.7，2.27二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列选项正确的是（

）A．； B．若，则；C．若，则； D．若，则.10．下列说法错误的是（

）A．数据0，1，2，3，5的分位数是2B．线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强C．经验回归直线一定过点D．残差散点图所在的带状区域越窄，则两个变量的相关性越弱11．已知函数，下列说法正确的是（

）A．是函数最小正周期为的充要条件；B．的最大值是；C．若在单调递增，则的取值范围是；D．若在单调递增，在单调递减，则的取值范围是.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．的展开式中，常数项为（用数字作答）.13．椭圆的长轴顶点是双曲线的焦点且椭圆的焦点是双曲线的顶点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是.14．点是函数的图象上在轴右侧任意一点，过作直线的垂线，垂足为，过作轴的垂线与的图象交于另一点，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．数列的通项公式，的通项公式，且.(1)求，的值；(2)求的前项和.16．记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且.(1)求；(2)求.17．已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称.(1)求；(2)若的最小值是2，求.18．大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有，，三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则他下一天到，，三个餐厅就餐的概率分别为，，.(1)求小丁同学第2天在餐厅就餐的概率；(2)求小丁同学第天在餐厅就餐的概率；(3)若小丁同学前天到餐厅就餐的天数为，求数学期望.（若小丁第天到餐厅就餐的天数为，则）19．关于在可导的函数，某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：的导数在单调递增在是凹函数；的导数在单调递减在是凸函数.已知在是凸函数，在是凹函数；.(1)求在点处的切线方程；(2)若在是凸函数，求实数的取值范围；(3)若在及是凸函数，在是凹函数；且在单调递增，在上单调递减，求证：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】根据对数的定义，将对数式转化为指数式求解即可.【详解】由题得到，则，因为，且，所以；故选D2．C【分析】由复数除法运算和复数虚部概念即可求解.【详解】由题复数，所以复数的虚部为.故选：C3．D【分析】由三角函数定义和诱导公式依次求出即可得解.【详解】由题可得，所以，所以的终边与单位圆交点在第四象限，横坐标为.故选：D4．A【分析】求出圆锥侧面展开扇形半径和弧长即可由弧度定义公式求解.【详解】由题可得圆锥侧面展开扇形半径为圆锥母线长为，圆锥侧面展开扇形弧长为圆锥底面圆周长为，所以圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是.故选：A5．B【分析】先解分式不等式和绝对值不等式求出集合A、B，再由交集定义即可得解.【详解】解不等式，解得或，所以集合或，解得，即，所以集合，所以.故选：B6．B【分析】根据等差数列通项公式和前项和公式，代入题目等式条件中，求出结果即可.【详解】根据等差数列性质，可知，即，化简得，可知.故选：B.7．C【分析】先求出函数定义域，接着分析函数的奇偶性和单调性以及函数值的情况即可求解.【详解】由题可得，所以函数定义域为关于原点对称，又，所以函数为偶函数，又为增函数，和均为上的增函数，所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，所以有最大值为，又时，，所以若函数有且只有1个零点，则.故选：C8．A【分析】由分层随机抽样的总体平均数和方差公式直接计算即可得解.【详解】由题可得总体10人消费的平均数为，总体10人消费的方差为.故选：A9．AC【分析】由即可分析求解判断A；举反例即可判断BD；由不等式性质即可分析判断C；【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，故A正确；当，满足，但，故B错误；若，则，则即，故C正确；当时，，故D错误.故选：AC10．ABD【分析】利用百分位数的定义可判断A，利用线性相关系数的性质可判断B，利用线性回归方程的性质可判断C，利用残差的散点图的性质可判断D.【详解】对于A，因为，所以数据0，1，2，3，5的分位数为第3个数和第4个数的平均数，即，故A错误；对于B，线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，故B错误；对于C，由线性回归方程的性质知，经验回归直线一定过样本中心点，故C正确；对于D，在残差的散点图中，残差散点图所在的带状区域越窄，拟合精度越高，则两个变量的相关性越强，故D错误；故选：ABD.11．BCD【分析】由三角函数周期公式依次分析充分性和必要性即可判断A；利用诱导公式、平方和公式和二次函数性质直接计算即可求解判断B；由变量范围和正弦函数单调性列不等式计算即可求解判断C；由函数单调性结合正弦函数的单调性和周期列方程和不等式即可求出范围判断D.【详解】时，，函数最小正周期为，充分性成立，当函数最小正周期为时，，必要性不成立，所以是函数最小正周期为的充分不必要条件，A错误；，所以的最大值是，B正确；若，则时，，因为在单调递增，所以，解得，，又，所以，，解得，，所以，则，故的取值范围是，C正确；若，因为，在单调递增，在单调递减，所以，且，所以，即的取值范围是，故D正确.故选：BCD12．【分析】由二项式展开式通项公式即可计算求解.【详解】由题可得二项式展开式通项公式为，所以当时得展开式常数项为.故答案为：13．【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式可得与，进而可得最值.【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，可知，，则椭圆离心率，双曲线的离心率，且所以，当且仅当，即时，等号成立，综上所述的最小值为.14．4【分析】先求出函数的解析式，判断函数奇偶性，根据题意设，利用已知条件求出的坐标，写出向量的坐标，利用向量数量积运算即可.【详解】由，当时，，则时，，所以，所以，由函数定义域为关于原点对称，且当时，，当时，，所以函数为偶函数，图象关于对称，因为点是函数的图象上在轴右侧任意一点，所以设，又过作直线的垂线，则垂线的斜率为1，所以垂线方程为：，即，联立，解得：，即，又过作轴的垂线与的图象交于另一点，且函数为偶函数，所以，即，又，，所以，故答案为：4.15．(1)，(2)，.【分析】（1）根据求出关于的表达式，再与已知对比系数求解；（2）利用巧妙结合.【详解】（1）由题意得，，又，即，，.（2）依题意：由（1）可得，，，.16．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、倍角公式化简得出即可；（2）根据以及，以及在中利用余弦定理，即可得出关于的方程组，求解即可.【详解】（1）因为结合正弦定理可得，，因为，所以，所以，则，因为，所以，则，得，则；（2）因为是的角平分线，且，，，所以，得，在中利用余弦定理得，在中利用余弦定理得，因为，，所以，则在中利用余弦定理得，得，因为，所以，所以，解得，解得或，又，解得，于是.17．(1)(2)【分析】（1）由指数函数和对数函数的关系即可直接得解；（2）先由题设分析得到，再利用导数工具研究函数的单调性和最值，结合即可求解.【详解】（1）依题意得；（2）由题对恒成立，当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且，则函数无最小值，不符合，所以，所以为增函数，令，所以时，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以.综上所述，.18．(1)(2)，；(3)，.【分析】（1）由题可得第一天在任意餐厅就餐的概率均为，利用全概率公式可得第二天在B餐厅就餐的概率；（2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为，第天在餐厅就餐的概率为，利用全概率公式可得，由此可得数列的递推公式，构造等比数列，可得的表达式.（3）利用分组求和法求即可.【详解】（1）（1）依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为，设第二天在B餐厅就餐的概率为于是：；（2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为,，第天在餐厅就餐的概率为则：当时，即，即，所以是以为公比，为首项的等比数列；所以，于是，；（3）依题意：，.19．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由题意和导数几何意义依次求出切点和切线斜率即可求解；（2）令，由求出参数m，令，将题设问题等价转化为在上恒成立，再化简消参得到在上恒成立，设，求出即可得解；（3）先将题设问题等价转化为的有两个变号零点为，接着利用导数工具研究函数的单调性，分析得到和，接着分析时恒成立得到即可分析求证.【详解】（1）依题意，，所以切点为，切线斜率为，所以在处的切线方程为；（2）令，则，所以依题意，所以，.则，若在是凸函数，则在R上单调递减，令，则在