2025 九年级数学上册二次函数最大值最小值课件

一、教学背景与目标定位演讲人教学背景与目标定位01核心概念与理论推导02实际应用与建模提升04课堂巩固与分层练习05情况1：顶点横坐标在区间内03课堂小结与课后延伸06目录2025九年级数学上册二次函数最大值最小值课件各位同学，今天我们要共同探索二次函数的“最值密码”——最大值与最小值。作为初中数学函数模块的核心内容，二次函数的最值问题不仅是中考的高频考点，更是后续学习微积分中极值问题的基础。过去两周，我们已经系统学习了二次函数的定义、图像（抛物线）的形状与平移规律，以及顶点坐标、对称轴等核心性质。今天，我们将沿着“从图像观察到代数推导，从理论分析到实际应用”的路径，深入理解二次函数最大值与最小值的本质。01教学背景与目标定位1课标要求与教材地位《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确要求：“通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为顶点式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单的实际问题。”二次函数的最值问题正是这一要求的具体落地——它既是二次函数图像性质的集中体现，也是利用函数模型解决实际问题的关键工具。在九年级上册教材中，本节内容承接“二次函数的图像与性质”，下启“用二次函数解决实际问题”，是知识链条中承上启下的重要环节。2学情分析与目标设定基于课前问卷调研，我发现同学们已掌握：①二次函数的一般式(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）和顶点式(y=a(x-h)^2+k)；②抛物线开口方向由(a)的符号决定（(a>0)开口向上，(a<0)开口向下）；③顶点坐标为((h,k))或(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))。但存在两个典型困惑：一是“顶点处的函数值为何是最值”；二是“当自变量有范围限制时，如何确定最值”。因此，本节课的三维目标设定如下：知识目标：理解二次函数最大值与最小值的定义；掌握用顶点式、配方法及公式法求二次函数最值的方法；能区分“全体实数范围内”与“给定区间内”的最值求解差异。2学情分析与目标设定能力目标：通过图像观察、代数推导、实际问题建模，提升数形结合能力与数学应用能力；通过对比不同形式二次函数的最值求解过程，发展逻辑推理能力。情感目标：感受二次函数“对称美”与“应用美”，体会数学对解决实际问题的价值；在合作探究中增强学习信心，培养严谨的数学思维习惯。02核心概念与理论推导1最大值与最小值的定义我们先从生活实例入手：抛出的篮球运动轨迹是一条抛物线，其最高点就是轨迹的最大值点；某商品定价与利润的关系若用二次函数表示，可能存在一个定价使利润最大。数学中，对于二次函数(y=f(x))，若存在(x_0)，使得对定义域内所有(x)，都有(f(x)\leqf(x_0))，则(f(x_0))是最大值；若都有(f(x)\geqf(x_0))，则(f(x_0))是最小值。关键点：二次函数的最值与抛物线的开口方向直接相关。开口向上（(a>0)）时，抛物线有最低点（最小值）；开口向下（(a<0)）时，有最高点（最大值）。2全体实数范围内的最值求解当自变量(x)取全体实数时，抛物线向两端无限延伸，此时最值一定出现在顶点处。这是因为顶点是抛物线的“转折点”：开口向上时，顶点是最低点，两侧函数值都比它大；开口向下时，顶点是最高点，两侧函数值都比它小。2全体实数范围内的最值求解方法1：顶点式直接观察若二次函数为顶点式(y=a(x-h)^2+k)，则顶点坐标为((h,k))，因此：当(a>0)时，最小值为(k)（无最大值）；当(a<0)时，最大值为(k)（无最小值）。方法2：配方法转化为顶点式对于一般式(y=ax^2+bx+c)，通过配方可化为顶点式：[\begin{align*}y&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)2全体实数范围内的最值求解方法1：顶点式直接观察+c\&=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c\&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{align*}]因此，顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))，最值即为(\frac{4ac-b^2}{4a})（符号由(a)决定）。2全体实数范围内的最值求解方法1：顶点式直接观察方法3：公式法直接计算由上述推导可知，当(x=-\frac{b}{2a})时，函数取得最值(\frac{4ac-b^2}{4a})。这一公式可直接用于计算，无需配方，但需注意(a)的符号对最值类型的影响。案例1：求(y=2x^2-4x+5)的最小值。方法1（配方法）：(y=2(x-1)^2+3)，顶点为((1,3))，(a=2>0)，故最小值为3。方法2（公式法）：(x=-\frac{-4}{2\times2}=1)，(y=\frac{4\times2\times5-(-4)^2}{4\times2}=\frac{40-16}{8}=3)，结果一致。2全体实数范围内的最值求解方法1：顶点式直接观察学生易错题提醒：曾有同学在计算(\frac{4ac-b^2}{4a})时，误将分子写为(b^2-4ac)，导致符号错误。需注意公式中分子是(4ac-b^2)，本质是顶点纵坐标的代数表达。3给定区间内的最值求解实际问题中，自变量(x)往往有范围限制（如商品数量为正整数、时间非负等），此时最值可能出现在顶点处，也可能出现在区间端点处。具体分三种情况讨论：03情况1：顶点横坐标在区间内情况1：顶点横坐标在区间内若区间为([m,n])，且(m\leq-\frac{b}{2a}\leqn)，则需比较顶点处函数值与区间端点处函数值，取最大（或最小）者。情况2：顶点横坐标小于区间左端点若(-\frac{b}{2a}<m)，则函数在区间([m,n])上单调（因抛物线在顶点左侧，开口向上时单调递减，开口向下时单调递增），最值出现在端点(m)或(n)处。情况3：顶点横坐标大于区间右端点若(-\frac{b}{2a}>n)，则函数在区间([m,n])上单调（顶点右侧，开口向上时单调递增，开口向下时单调递减），最值同样出现在端点处。情况1：顶点横坐标在区间内案例2：求(y=-x^2+2x+3)在区间([0,3])上的最大值和最小值。分析：(a=-1<0)，抛物线开口向下，顶点横坐标(x=-\frac{2}{2\times(-1)}=1)，在区间([0,3])内。计算：顶点处(y=-(1)^2+2\times1+3=4)；端点(x=0)时(y=3)，(x=3)时(y=-9+6+3=0)。结论：最大值为4（顶点处），最小值为0（右端点处）。案例3：求(y=2x^2-4x+1)在区间([2,4])上的最值。情况1：顶点横坐标在区间内分析：(a=2>0)，开口向上，顶点横坐标(x=1)，小于区间左端点2，故函数在([2,4])上单调递增。结论：最小值1（左端点），最大值17（右端点）。计算：(x=2)时(y=8-8+1=1)；(x=4)时(y=32-16+1=17)。关键总结：给定区间内的最值求解步骤为①确定开口方向；②求顶点横坐标；③判断顶点是否在区间内；④比较顶点与端点函数值，确定最值。04实际应用与建模提升1经济利润问题这类问题通常涉及“售价-销量-利润”的关系，利润=（售价-成本）×销量，而销量常与售价成一次函数关系，因此利润函数是二次函数，需用最值求解最优售价。案例4：某商店销售一种成本为20元/件的商品，经市场调查发现，售价为30元/件时，每天可售出100件；售价每上涨1元，销量减少5件。设售价为(x)元（(x\geq30)），每天利润为(y)元。求(y)关于(x)的函数关系式，并求最大利润。分析步骤：确定变量关系：销量=原销量-减少量=(100-5(x-30)=250-5x)；1经济利润问题利润函数：(y=(x-20)(250-5x)=-5x^2+350x-5000)；求最值：(a=-5<0)，开口向下，顶点横坐标(x=-\frac{350}{2\times(-5)}=35)；验证范围：(x\geq30)，35在此范围内，故最大利润(y=-5\times35^2+350\times35-5000=1125)元。学生常见错误：部分同学在构建销量表达式时，误将“售价每上涨1元”对应“销量减少5件”写成(100-5x)，忽略了“上涨量”是(x-30)，需强调变量的实际意义。2几何面积问题在矩形、三角形等几何图形中，固定周长或其他条件下求最大面积，常需用二次函数建模。案例5：用20米长的篱笆围一个矩形菜地，一面靠墙（墙足够长），求菜地的最大面积。分析步骤：设垂直于墙的边长为(x)米，则平行于墙的边长为(20-2x)米（因篱笆围三边）；面积(S=x(20-2x)=-2x^2+20x)；求最值：(a=-2<0)，开口向下，顶点横坐标(x=-\frac{20}{2\times(-2)}=5)；最大面积(S=-2\times5^2+20\times5=50)平方米。2几何面积问题拓展思考：若墙长仅15米，如何调整？此时平行于墙的边长(20-2x\leq15)，解得(x\geq2.5)。顶点横坐标(x=5)在此范围内（(2.5\leq5)），故最大面积仍为50平方米；若墙长仅8米，则(20-2x\leq8)，(x\geq6)，此时顶点(x=5<6)，函数在(x\geq6)时单调递减，最大面积在(x=6)时取得，(S=6\times(20-12)=48)平方米。这体现了实际限制对最值的影响。3运动轨迹问题抛体运动（如投篮、抛球）的轨迹是抛物线，其最高点即为最大高度，可通过二次函数最值求解。案例6：小明将篮球从离地面1.5米处抛出，抛出后轨迹的函数表达式为(y=-0.2x^2+2x+1.5)（(x)为水平距离，(y)为高度，单位：米）。求篮球能达到的最大高度。解答：(a=-0.2<0)，开口向下，顶点纵坐标即为最大高度。顶点横坐标(x=-\frac{2}{2\times(-0.2)}=5)，代入得(y=-0.2\times25+2\times5+1.5=-5+10+1.5=6.5)米。关联物理：这与物理中“竖直上抛运动的最大高度”本质一致，数学中的二次函数顶点纵坐标对应物理中的最大高度，体现了学科间的融合。05课堂巩固与分层练习1基础演练（全体学生必做）求下列二次函数的最值（全体实数范围）：在右侧编辑区输入内容①(y=3x^2-6x+2)（最小值-1）在右侧编辑区输入内容②(y=-x^2+4x-3)（最大值1）求(y=2x^2-8x+5)在区间([1,3])上的最值（最小值-3，最大值1）。2能力提升（中等学生选做）某水果商销售苹果，成本价为5元/千克，售价为8元/千克时，每天可售出200千克。调查发现，售价每降低0.1元/千克，销量增加10千克。设售价降低(x)元（(0\leqx\leq3)），每天利润为(y)元。（1）求(y)与(x)的函数关系式；（2）求最大利润及此时的售价。（答案：(y=-100x^2+100x+600)；最大利润625元，售价7.5元/千克）3拓展探究（学有余力学生选做）已知二次函数(y=ax^2+bx+c)（(a>0)）的图像过点((1,0))和((3,0))，与(y)轴交于((0,3))。（1）求函数解析式；（2）若(x\in[t,t