2025 九年级数学上册位似图形与相似图形的联系与区别课件

一、追根溯源：从相似图形到位似图形的概念奠基演讲人追根溯源：从相似图形到位似图形的概念奠基01实践应用：在解题与生活中深化理解02深入辨析：联系与区别的多维度解读03总结：从联系到区别，构建清晰的知识网络04目录2025九年级数学上册位似图形与相似图形的联系与区别课件各位同学、老师们：今天，我们将共同走进“位似图形与相似图形”的数学世界。作为九年级上册“图形的相似”章节的核心内容之一，这两个概念既是对“全等图形”的延伸，也是后续学习“投影与视图”“坐标系中的位似变换”的基础。在多年的教学实践中，我发现许多同学容易混淆二者的本质特征，甚至将“相似”与“位似”简单等同。因此，今天我们将通过“追根溯源—深入辨析—实践应用”的逻辑链条，系统梳理它们的联系与区别，帮助大家构建清晰的知识网络。01追根溯源：从相似图形到位似图形的概念奠基1相似图形的定义与核心特征要理解位似图形，首先需要明确“相似图形”的本质。根据教材定义：形状相同但大小不一定相同的图形叫做相似图形。这里的“形状相同”是数学上的严格表述，其数学内涵包含两个关键要素：对应角相等：若图形A与图形B相似，则A的每一个内角都能在B中找到一个相等的对应角；对应边成比例：所有对应边的长度之比是一个固定的常数，称为相似比（或相似系数）。例如，我们熟悉的“放大或缩小的照片”“不同尺寸的等边三角形”都是典型的相似图形。以两个相似三角形△ABC与△A'B'C'为例，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k（k≠1），则它们是相似图形，k为相似比。1相似图形的定义与核心特征需要强调的是，相似图形对“位置关系”没有要求——两个相似图形可以平移、旋转、翻转后重合，也可以完全“错位”放置，只要满足“对应角相等、对应边成比例”即可。这一点是后续区分位似图形的关键。2位似图形的定义与特殊属性在相似图形的基础上，数学中进一步定义了“位似图形”：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形。这个交点称为位似中心，对应边的比称为位似比（与相似比相等）。例如，用投影仪将幻灯片投影到屏幕上时，幻灯片上的图形与屏幕上的图形就是位似图形——光线（即对应顶点的连线）相交于投影仪的镜头（位似中心），且对应边平行（因为投影是平行光线）。再如，地图上的比例尺标注（如1:10000）本质上也是位似变换的体现，地图与实际地形是位似图形，位似中心可视为观测点。位似图形的定义中隐含了三个“额外约束”：存在唯一的位似中心：所有对应顶点的连线必须交于同一点；对应边平行或共线：这是位似图形区别于一般相似图形的核心几何特征；2位似图形的定义与特殊属性方向性一致：位似图形的对应点相对于位似中心的位置具有“同向性”或“反向性”（即内位似与外位似）。通过这组定义对比，我们已经能初步感知：位似图形是相似图形的“特殊子集”，但二者并非简单的包含关系，而是需要从性质、条件、应用场景等多维度深入辨析。02深入辨析：联系与区别的多维度解读1联系：位似图形是特殊的相似图形从概念的逻辑层级看，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。这一结论可通过以下三个层面验证：1联系：位似图形是特殊的相似图形1.1性质的继承性位似图形完全满足相似图形的所有性质：对应角相等（由相似性保证）；对应边成比例（位似比即为相似比）；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（相似图形的通用性质）。例如，若两个位似图形的位似比为2:1，则它们的周长比为2:1，面积比为4:1，这与普通相似图形的计算方式完全一致。1联系：位似图形是特殊的相似图形1.2相似关系的必然性根据位似图形的定义，“对应边平行或共线”这一条件本身就可以推导出“对应角相等”。例如，若△ABC与△A'B'C'位似，且AB∥A'B'，BC∥B'C'，则由“两直线平行，同位角相等”可知∠B=∠B'；同理可证其他对应角相等。同时，“对应顶点连线交于一点”的条件结合平行线分线段成比例定理，可推导出对应边的比为定值（即位似比）。因此，位似图形必然满足相似图形的所有条件，是相似图形的“强化版”。1联系：位似图形是特殊的相似图形1.3变换的包容性在几何变换中，相似变换包含平移、旋转、翻转、位似等操作的组合，而位似变换是其中一种“纯缩放”变换（不改变形状，仅改变大小，且所有点的缩放中心相同）。因此，位似变换是相似变换的特殊形式，其对应的图形自然属于相似图形的范畴。2区别：从“宽松”到“严格”的条件升级尽管位似图形是相似图形的子集，但其定义中增加的约束条件使得二者在几何特征、位置关系、应用场景等方面存在显著差异。以下从四个维度展开对比：2区别：从“宽松”到“严格”的条件升级2.1中心的存在性：位似图形的“灵魂标记”相似图形没有“中心”的要求——两个相似图形可以任意放置，它们的对应顶点连线可能相交，也可能平行或异面（在三维空间中）。例如，将一个三角形向右平移5cm得到的新三角形与原三角形相似（平移不改变形状大小，属于相似比为1的特殊情况），但它们的对应顶点连线都是平行且相等的线段，没有交点，因此不是位似图形。而位似图形必须存在一个唯一的位似中心，所有对应顶点的连线都经过这一点。例如，以坐标原点O为位似中心，将点A(1,2)放大2倍得到点A'(2,4)，则直线OA与OA'重合，交点即为O；若再取点B(3,1)放大2倍得到B'(6,2)，则直线OB与OB'也交于O，因此△OAB与△OA'B'是位似图形（位似中心为O）。2区别：从“宽松”到“严格”的条件升级2.2对应边的位置关系：平行或共线的“强制约束”相似图形的对应边可以任意倾斜，只要满足“对应边成比例”即可。例如，将一个三角形绕某点旋转30后得到的新三角形与原三角形相似（旋转不改变形状大小），但它们的对应边既不平行也不共线，因此不是位似图形。位似图形的对应边则必须满足“平行或共线”。这一特性可通过位似变换的坐标规律来验证：若位似中心在坐标原点，位似比为k，则点(x,y)的对应点为(kx,ky)，此时原图形与新图形的对应边斜率相同（因为坐标成比例），故对应边平行；若位似中心不在原点，通过坐标平移变换可证明对应边仍保持平行或共线关系。例如，以点(1,0)为位似中心，将点A(0,0)放大2倍得到A'(2,-0)（即(2,0)），点B(0,1)放大2倍得到B'(0,2)，则原边AB的斜率为(1-0)/(0-0)（垂直x轴），2区别：从“宽松”到“严格”的条件升级2.2对应边的位置关系：平行或共线的“强制约束”新边A'B'的斜率为(2-0)/(0-2)=-1？不，这里需要重新计算：原边AB是从(0,0)到(0,1)，即垂直线段x=0；新边A'B'是从(2,0)到(0,2)，斜率为(2-0)/(0-2)=-1，这似乎矛盾？其实我的举例有误——正确的位似变换中，若位似中心为C(h,k)，位似比为k，则点P(x,y)的对应点P'满足向量CP'=k向量CP，即P'(h+k(x-h),k+k(y-k))。以C(1,0)，k=2，P(0,0)为例，向量CP=(0-1,0-0)=(-1,0)，则向量CP'=2*(-1,0)=(-2,0)，故P'=C+向量CP'=(1-2,0+0)=(-1,0)；P(0,1)的向量CP=(0-1,1-0)=(-1,1)，向量CP'=2*(-1,1)=(-2,2)，故P'=(1-2,0+2)=(-1,2)。2区别：从“宽松”到“严格”的条件升级2.2对应边的位置关系：平行或共线的“强制约束”此时原边AB是从(0,0)到(0,1)（x=0），新边A'B'是从(-1,0)到(-1,2)（x=-1），显然平行（都是垂直线段），符合“对应边平行”的条件。这说明位似图形的对应边平行是由变换的本质决定的。2区别：从“宽松”到“严格”的条件升级2.3位置约束：从“自由”到“定向”的转变相似图形的位置关系是“自由”的——它们可以通过平移、旋转、翻转等任意组合得到，因此两个相似图形可能“面对面”“背靠背”或“斜向放置”。例如，两个相似的平行四边形可以通过旋转45后放置，此时它们仍然相似，但对应顶点连线不会交于同一点，故不是位似图形。位似图形的位置关系则具有“定向性”——所有对应点要么在位似中心的同侧（外位似），要么在异侧（内位似）。例如，以原点为位似中心，位似比为2的外位似中，点(1,1)的对应点是(2,2)（同侧）；若位似比为-2（内位似），则对应点是(-2,-2)（异侧）。这种“同向或反向”的位置约束，使得位似图形在坐标系中具有明确的缩放方向，而普通相似图形不具备这一特性。2区别：从“宽松”到“严格”的条件升级2.4应用场景：从“普遍”到“特殊”的聚焦相似图形是更普遍的几何关系，广泛存在于自然与生活中——从雪花的对称结构到建筑的比例设计，从生物的形态相似到地图的轮廓描绘，都涉及相似图形。例如，达芬奇的“维特鲁威人”利用人体各部分的相似比例展现黄金分割，这里的“比例”本质是相似比。位似图形则更多应用于需要“中心缩放”的场景，如：投影技术（如电影放映机、投影仪）：光线从光源（位似中心）出发，将胶片上的图形投射到屏幕上，形成位似图形；坐标系中的图形变换：通过位似变换快速生成相似图形的坐标，简化计算（如已知位似中心和位似比，可直接计算对应点坐标）；工程制图中的比例缩放：如机械图纸中，通过位似变换将实际零件缩小绘制，位似中心可视为观测点。2区别：从“宽松”到“严格”的条件升级2.4应用场景：从“普遍”到“特殊”的聚焦例如，在绘制学校平面图时，若以校门为位似中心，按1:1000的位似比缩小，那么所有建筑的位置都可以通过从校门出发的射线确定，这比普通相似图形的“任意放置”更便于定位和测量。03实践应用：在解题与生活中深化理解1解题中的常见考点与易错点在九年级数学中，位似图形与相似图形的辨析常结合坐标系、三角形或四边形综合考查。以下通过典型例题说明二者的应用：3.1.1考点1：判断图形是否为位似图形例题：如图，△ABC与△A'B'C'中，AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'，且AA'、BB'、CC'交于点O。判断△ABC与△A'B'C'是否为位似图形？分析：根据位似图形的定义，需满足两点：（1）相似；（2）对应顶点连线交于一点，对应边平行。题目中已给出对应边平行，且AA'、BB'、CC'交于O，因此只需验证相似性。由于对应边平行，可通过“平行线分线段成比例”证明对应边成比例（如AB/A'B'=AO/A'O），对应角相等（同位角相等），故△ABC∽△A'B'C'，因此是位似图形（位似中心为O）。1解题中的常见考点与易错点易错点：部分同学可能忽略“对应顶点连线交于一点”的条件，仅通过“对应边平行”就判定为位似图形。实际上，若对应边平行但顶点连线不共点，则不是位似图形（如两个平移后的相似三角形）。1解题中的常见考点与易错点1.2考点2：利用位似比求坐标例题：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，以原点O为位似中心，位似比为2，求△A'B'C'的顶点坐标。分析：位似中心在原点时，对应点坐标为原坐标乘以位似比。因此：A'(1×2,2×2)=(2,4)，B'(3×2,4×2)=(6,8)，C'(5×2,1×2)=(10,2)。若位似比为-2（内位似），则对应点坐标为原坐标乘以-2，即A'(-2,-4)、B'(-6,-8)、C'(-10,-2)。易错点：学生易混淆“位似比”与“相似比”的方向，或忘记内位似时坐标符号的变化。需强调位似比的正负表示对应点在中心的同侧（正）或异侧（负）。2生活中的数学：从位似到相似的应用延伸理解二者的联系与区别，能帮助我们更理性地观察生活中的几何现象：地图与卫星图像：地图是实际地形的位似图形（位似中心为地心或观测点），而不同分辨率的卫星图像可能只是相似图形（因拍摄角度不同，对应边不平行）；摄影与缩放：相机的变焦功能本质是位似变换（镜头为位似中心），而通过软件对照片进行“自由缩放”（非中心缩放）得到的图形仅是相似图形；艺术中的透视：文艺复兴时期的绘画采用“单点透视法”，画面中的物体与真实物体构成位似图形（位似中心为观察者的眼睛），而现代抽象画中的相似图形可能不满足位似条件。这些实例说明，位似图形是“有中心的相似”，而相似图形是“更自由的位似”，二者共同构成了“形状相同”这一几何特性的丰富表达。04总结：从联系到区别，构建清晰的知识网络总结：从联系到区别，构建清晰的知识网络通过今天的学习，我们可以用一句话概括二者的关系：位似图形是具有位似中心、对应边平行（或共线）的特殊相似图形；相似图形是位似图形的一般形式，包含位似图形但不限于位似图形。具体来说：联系：位似图形一定是相似图形，具备相似图形的所有性质（对应角相等、对应边成比例、周长比与面积比的规律）；区别：位似图形额外要求存在位似中心、对应边平行（或共