2025 九年级数学上册位似图形与原图形位置关系课件

一、位似图形的基础认知：从相似到位似的进阶演讲人位似图形的基础认知：从相似到位似的进阶01位似图形位置关系的应用与实践：从理论到操作02位似图形与原图形的位置关系：多维度深度解析03总结与升华：位似位置关系的核心与价值04目录2025九年级数学上册位似图形与原图形位置关系课件各位同学、同仁，今天我们共同聚焦九年级数学上册的核心内容——位似图形与原图形的位置关系。作为平面几何中相似变换的特殊形式，位似不仅是相似图形的延伸，更是连接“图形相似”与“坐标变换”的重要桥梁。在过去的学习中，我们已经掌握了相似图形的基本性质，而位似图形的特殊性在于其“位”与“似”的双重属性：既保持形状相似，又通过位似中心建立位置关联。接下来，我将以多年教学实践为基础，结合具体案例，带领大家从概念认知到深度探究，逐步揭开位似图形与原图形位置关系的奥秘。01位似图形的基础认知：从相似到位似的进阶1位似图形的定义与核心要素要理解位似图形与原图形的位置关系，首先需明确位似的本质。位似图形是指两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点（即位似中心），对应边互相平行（或共线）的特殊相似图形。这一定义包含三个核心要素：相似性：位似图形是相似图形的子集，因此它们的对应角相等，对应边成比例（位似比）；共点性：所有对应顶点的连线必交于同一点——位似中心，这是位似区别于普通相似的关键特征；平行性：对应边要么平行，要么共线（共线可视为平行的特殊情况），这一性质确保了图形在缩放过程中方向的一致性或反向性。1位似图形的定义与核心要素以课堂常见的“手拉手”三角形为例：若△ABC与△A'B'C'满足∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'=k，且AA'、BB'、CC'交于点O，则△ABC与△A'B'C'是位似图形，O为位似中心，k为位似比。此时，BC与B'C'必定平行（或共线），这一现象可通过平行线分线段成比例定理验证。2位似与相似的关系辨析在教学中，学生常混淆“位似”与“相似”的概念。需强调：所有位似图形都是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。例如，两个全等的三角形是相似图形（相似比为1），但若它们的对应顶点连线不共点，则不是位似图形；再如，将一个矩形水平平移后得到的新矩形，与原矩形相似（相似比为1），但对应顶点连线平行而非共点，因此也不是位似图形。这一辨析的意义在于，帮助学生建立“位似是有位置约束的相似”的认知，为后续分析位置关系奠定基础。3位似相关术语的精确定义为避免后续讨论中的混淆，需明确以下术语：位似中心：对应顶点连线的交点，记为O；位似比：原图形与位似图形对应边的比值，记为k（k>0）；当k>1时，位似图形是原图形的放大；当0<k<1时，是缩小；同向位似与反向位似：若位似中心O在对应顶点连线的延长线上（即对应点在O的同侧），则为同向位似；若O在对应顶点连线之间（对应点在O的异侧），则为反向位似（此时位似比可取负值，k<0）。例如，用投影仪将胶片上的图形投射到屏幕上，胶片与屏幕的图形是同向位似（光源为位似中心，对应点在光源同侧）；而小孔成像中，物体与像的关系是反向位似（小孔为位似中心，对应点在小孔异侧）。02位似图形与原图形的位置关系：多维度深度解析位似图形与原图形的位置关系：多维度深度解析位似图形与原图形的位置关系，本质上是由位似中心的位置、位似比的正负及大小共同决定的空间关联。以下从三个维度展开分析：1位似中心的位置对位置关系的影响位似中心是连接原图形与位似图形的“枢纽”，其位置不同，两图形的相对位置也会发生显著变化。根据位似中心与原图形的位置关系，可分为以下三类：1位似中心的位置对位置关系的影响1.1位似中心在原图形内部当位似中心O位于原图形内部时，位似图形通常会“包裹”或“被包裹”于原图形周围。例如，以平行四边形ABCD的中心O为位似中心，作位似比为2的位似图形A'B'C'D'，则新图形的顶点A'、B'、C'、D'会分布在原平行四边形各边延长线上，且O到A'的距离是O到A距离的2倍，此时位似图形完全包含原图形（因位似比>1）。教学中可通过几何画板动态演示：固定O在△ABC内部，改变位似比k，观察△A'B'C'如何随k增大而向外扩展，或随k减小而向O收缩，帮助学生直观理解“中心位置”与“图形覆盖关系”的联系。1位似中心的位置对位置关系的影响1.2位似中心在原图形外部若位似中心O在原图形外部，位似图形与原图形通常呈“对称分布”或“同向延伸”。例如，以△ABC外一点O为中心，作位似比为1/2的位似图形△A'B'C'，则A'、B'、C'分别位于OA、OB、OC的中点处，此时△A'B'C'与△ABC分居O的两侧（反向位似），且形状相似但方向相反；若位似比为2（同向位似），则△A'B'C'会向远离O的方向延伸，与原图形保持同向。实际案例中，地图的比例尺缩放（如将1:1000的地图放大为1:500）可视为位似中心在地图外的同向位似变换，原地图与放大后的地图通过位似中心（通常为地图原点）建立位置关联。1位似中心的位置对位置关系的影响1.3位似中心在原图形的边上或顶点处当位似中心O位于原图形的边（如AB边）或顶点（如A点）时，位似图形会呈现“单点重合”或“边重合”的特殊位置关系。例如，以△ABC的顶点A为位似中心，作位似比为2的位似图形△AB'C'，则A点与A'点重合，B'在AB的延长线上（AB'=2AB），C'在AC的延长线上（AC'=2AC），此时△AB'C'与△ABC共享顶点A，且边AB'、AC'分别是原边的延长线。这一情形在几何作图中尤为重要，例如作已知三角形的位似图形时，若要求位似中心在顶点，可快速确定对应点的位置。2位似比的正负与大小对位置关系的影响位似比k不仅决定图形的缩放程度，其正负还决定了位似图形与原图形的“方向”关系：2位似比的正负与大小对位置关系的影响2.1位似比k>0（同向位似）当k>0时，位似图形与原图形的对应点位于位似中心的同侧，图形方向一致。例如，k=3时，原图形的每个顶点沿位似中心方向延伸3倍距离到达新顶点，图形整体向外扩展；k=1/2时，顶点向位似中心方向收缩至1/2距离，图形缩小但方向不变。以坐标系中的正方形为例，原正方形顶点为(1,1)、(1,3)、(3,3)、(3,1)，位似中心为原点(0,0)，k=2时，新顶点为(2,2)、(2,6)、(6,6)、(6,2)，与原正方形方向一致，且所有对应点连线过原点。2位似比的正负与大小对位置关系的影响2.2位似比k<0（反向位似）当k<0时，位似图形与原图形的对应点位于位似中心的异侧，图形方向相反（可视为先关于位似中心对称，再缩放）。例如，k=-2时，原顶点(1,1)对应的新顶点为(-2,-2)（原坐标乘以k），此时位似图形与原图形关于位似中心对称，且大小为原图形的2倍。反向位似在物理成像中常见，如针孔相机的成像原理：物体与像关于针孔中心成反向位似，位似比为负（像与物体上下、左右相反）。2.2.3位似比k=1与k=-1的特殊情形当k=1时，位似图形与原图形重合（全等且位置相同），这是位似变换的“恒等变换”；当k=-1时，位似图形与原图形关于位似中心成中心对称，此时位似变换等价于中心对称变换，这体现了位似变换与中心对称的内在联系。2位似比的正负与大小对位置关系的影响2.2位似比k<0（反向位似）这一结论可通过坐标验证：若原图形顶点为(x,y)，位似中心为(a,b)，则位似图形顶点坐标为(a+k(x-a),b+k(y-b))。当k=-1时，坐标变为(2a-x,2b-y)，即关于(a,b)的中心对称点。3坐标系中的位置关系：坐标变换规律在平面直角坐标系中，位似图形与原图形的位置关系可通过坐标公式精确描述，这为定量分析提供了工具。设原图形某顶点坐标为P(x,y)，位似中心为O(h,k)，位似比为k（注意：此处符号与位似中心坐标符号可能冲突，实际教学中建议用k表示位似比，O(a,b)表示位似中心），则位似图形对应顶点P’的坐标满足：[P'(a+k(x-a),b+k(y-b))]这一公式的推导基于向量的缩放：向量OP=(x-a,y-b)，位似变换后向量OP’=kOP，因此P’的坐标为O+OP’=(a+k(x-a),b+k(y-b))。案例分析：3坐标系中的位置关系：坐标变换规律原图形△ABC的顶点为A(2,3)、B(4,1)、C(1,2)，位似中心为O(0,0)，位似比k=2，求位似图形△A’B’C’的坐标。根据公式，A’(2×2,2×3)=(4,6)，B’(2×4,2×1)=(8,2)，C’(2×1,2×2)=(2,4)。观察可知，A’A、B’B、C’C均过原点，且BC的斜率为(2-1)/(1-4)=-1/3，B’C’的斜率为(4-2)/(2-8)=-2/6=-1/3，故BC∥B’C’，符合位似图形的平行性。若位似中心改为O(1,1)，位似比k=-1，则A’的坐标为(1+(-1)(2-1),1+(-1)(3-1))=(1-1,1-2)=(0,-1)，此时A’A的中点为((2+0)/2,(3+(-1))/2)=(1,1)=O，说明反向位似时，位似中心是对应点连线的中点，这与中心对称的性质一致。03位似图形位置关系的应用与实践：从理论到操作1位似图形的作图：根据位置关系确定步骤掌握位似图形与原图形的位置关系后，即可进行位似图形的作图。基本步骤如下：确定位似中心：根据题目要求或实际需求选择位似中心（可在图形内、外或边上）；确定位似比：明确放大或缩小的比例（k>0或k<0）；绘制对应顶点：从位似中心出发，沿原图形各顶点方向（或反方向，k<0时）截取线段，使长度为原距离的|k|倍；连接对应顶点：按原图形的顺序连接新顶点，得到位似图形。易错点提醒：学生常因“方向判断错误”导致作图失败，例如k<0时，对应点应在位似中心的另一侧，需强调“反向截取”的操作；此外，位似中心的选择会影响图形的位置，需根据题目要求（如“在指定位置作位似图形”）灵活调整。1位似图形的作图：根据位置关系确定步骤3.2位似中心与位似比的确定：从图形到参数的逆推已知两个位似图形，如何确定它们的位似中心和位似比？这是位置关系的逆向应用，关键步骤如下：找对应顶点：确定两图形中对应的顶点（如A与A’，B与B’）；作对应顶点连线：连接AA’、BB’，两线的交点即为位似中心O；计算位似比：测量OA与OA’的长度（或用坐标计算距离），位似比k=OA’/OA（注意符号：若A’与A在O同侧，k>0；异侧则k<0）。案例示范：1位似图形的作图：根据位置关系确定步骤如图（此处可想象或绘制两个位似三角形△ABC与△A’B’C’），A(1,2)对应A’(3,6)，B(2,1)对应B’(6,3)，连接AA’的直线方程为y=2x，BB’的直线方程为y=0.5x，两线交点O(0,0)即为位似中心。计算OA=√(1²+2²)=√5，OA’=√(3²+6²)=3√5，故k=3√5/√5=3>0，为同向位似。3位似位置关系在实际问题中的应用01位似图形的位置关系不仅是几何理论的核心，更广泛应用于生活与科技领域：02地图与比例尺：地图是实际地理区域的位似图形，比例尺即位似比，地图的中心点（如坐标原点）即位似中心；03摄影与投影：相机成像、投影仪投影均基于位似原理，镜头（或光源）为位似中心，成像与原物为位似图形；04建筑设计：建筑模型与实际建筑是位似关系，设计师通过调整位似比（模型比例）控制模型大小，位似中心通常为模型的基准点。05例如，某建筑模型的比例尺为1:100，模型高50cm，则实际建筑高50×100=5000cm=50m，这正是位似比的直接应用。04总结与升华：位似位置关系的核心与价值1核心要点回顾213经过以上分析，位似图形与原图形的位置关系可总结为“三要素驱动”：位似中心：决定两图形的“交汇点”，其位置（内、外、边上）直接影响图形的相对分布；位似比：决定图形的“缩放程度”与“方向”（k>0同向，k<0反向）；4平行性：对应边平行（或共线）是位似的几何特征，确保形状相似的同时保持方向关联。2数学思想的渗透位似图形的学习不仅是知识的积累，更蕴含重要的数学思想：01变换思想：位似是一种相似变换，通过变换视角理解图形的位置与形状关联；02坐标思想：坐标系中的位似坐标公式，体现了代数与几何的融合（解析几何思想）；03模型思想：将实际问题（如地图、投影）抽象为位似模型，培养数学建模能力。043学习建议与展望对于同学们而言，掌握位似图形的位置关系需注意：动手作图：通过尺规作图或几何软件（如GeoGebra）动态操作，直观感受位似中心与位似比的影响；逆向思考：从“已知位似图形求中心和比”到“已知中心和比作位似图形