2025 九年级数学上册相似三角形对应角平分线比课件

一、相似三角形的基础回顾：构建知识的“脚手架”演讲人01相似三角形的基础回顾：构建知识的“脚手架”02角平分线的定义与性质：从单一三角形到相似三角形的过渡03相似三角形对应角平分线比的推导：从特例到一般的严谨证明04应用与拓展：从“知其然”到“知其所以用”05总结与升华：从“知识碎片”到“思维网络”的构建目录2025九年级数学上册相似三角形对应角平分线比课件引言：从“形的相似”到“线的比例”的自然延伸各位同学，当我们在七年级首次接触全等三角形时，就已经感受到了几何中“形状相同、大小相等”的独特美感；到了八年级，我们进一步认识了相似三角形——这是全等三角形的“扩展版”，它们保持形状相同，但大小可以不同，通过“相似比”这一桥梁，将两个三角形的对应元素紧密联系起来。今天，我们要深入探索相似三角形中一个重要的“对应元素”：对应角平分线的比例关系。这一内容不仅是相似三角形性质的深化，更是解决几何综合问题的关键工具。在我多年的教学中，常看到学生从“疑惑角平分线是否有规律”到“通过推导发现比例之美”的转变，这种探索过程本身就是数学思维的一次跃升。接下来，我们将沿着“概念回顾—性质推导—应用拓展—总结提升”的路径，逐步揭开这一问题的面纱。01相似三角形的基础回顾：构建知识的“脚手架”相似三角形的基础回顾：构建知识的“脚手架”要研究相似三角形对应角平分线的比例关系，首先需要夯实相似三角形的基础概念与核心性质。这部分内容是后续推导的“地基”，我们分三个层次展开。1相似三角形的定义与判定相似三角形的定义是：对应角相等，对应边成比例的三角形。用符号表示为△ABC∽△A'B'C'，其中“∽”读作“相似于”。定义中隐含了两个关键条件：角的关系：∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'；边的关系：AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k（k为相似比，k>0）。相似三角形的判定定理是我们判断两个三角形是否相似的“工具包”，主要包括：AA（角角）判定：两角分别相等的两个三角形相似；SAS（边角边）判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；SSS（边边边）判定：三边成比例的两个三角形相似；1相似三角形的定义与判定HL（斜边直角边）判定（仅适用于直角三角形）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。以我在课堂上的一个例子为例：若△ABC中∠A=50，∠B=60；△A'B'C'中∠A'=50，∠C'=70，则根据三角形内角和为180，可推出∠B'=60，因此△ABC∽△A'B'C'（AA判定）。这一步的熟练应用，是后续推导角平分线比例的前提。2相似三角形的基本性质相似三角形的性质是其定义的“延伸”，主要包括：对应角相等：这是相似的“形状保证”；对应边成比例：这是相似的“大小关系”，比例系数为相似比k；周长比等于相似比：即C△ABC/C△A'B'C'=k；面积比等于相似比的平方：即S△ABC/S△A'B'C'=k²；对应高、对应中线的比等于相似比：这一性质我们已通过“利用相似三角形判定证明对应高的比等于相似比”的过程学习过，今天要研究的“对应角平分线的比”与它们是“同一系列”的性质。记得有学生曾问：“为什么面积比是相似比的平方？”这是因为面积是二维量，涉及两条边的乘积，而相似比是一维的，所以平方后符合量纲的一致性。这种“维度与比例”的联系，在后续学习中会反复体现。02角平分线的定义与性质：从单一三角形到相似三角形的过渡角平分线的定义与性质：从单一三角形到相似三角形的过渡在明确相似三角形的基础后，我们需要聚焦“角平分线”这一具体线段，先回顾其在单一三角形中的定义与性质，再过渡到相似三角形的“对应”场景。1角平分线的定义与单一三角形中的性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等角的射线。在三角形中，角平分线是从一个顶点出发，平分该内角并与对边相交的线段。例如，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，则AD是△ABC的角平分线。单一三角形中，角平分线的核心性质是角平分线定理：三角形的角平分线分对边所成的两条线段，与夹这个角的两边成比例。即：AB/AC=BD/DC。这一定理可以通过“作平行线构造相似三角形”或“面积法”证明。以面积法为例：△ABD与△ACD的高相同（均为从A到BC的高），因此面积比等于底边BD/DC；同时，∠BAD=∠CAD，且AB、AC为两边，根据三角形面积公式S=1/2absinθ，可得S△ABD/S△ACD=(1/2ABADsin∠BAD)/(1/2ACADsin∠CAD)=AB/AC（因为∠BAD=∠CAD，sin值相等）。因此BD/DC=AB/AC，定理得证。1角平分线的定义与单一三角形中的性质这一定理是连接“角平分线”与“边长比例”的关键，也是后续推导相似三角形对应角平分线比的重要工具。2相似三角形中“对应角平分线”的定义在相似三角形△ABC∽△A'B'C'中，“对应角平分线”指的是：从对应顶点（如A与A'）出发，平分对应角（如∠BAC与∠B'A'C'）的角平分线；这两条角平分线分别在各自三角形中，且平分的角是相似三角形的对应角（必然相等，因为相似三角形对应角相等）。例如，若AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，则AD与A'D'是对应角平分线。由于∠BAC=∠B'A'C'（相似三角形对应角相等），因此∠BAD=∠B'A'D'=1/2∠BAC=1/2∠B'A'C'，这为后续证明它们的比例关系提供了角的条件。03相似三角形对应角平分线比的推导：从特例到一般的严谨证明相似三角形对应角平分线比的推导：从特例到一般的严谨证明现在，我们进入核心环节：证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比。这一结论需要从“特殊到一般”逐步推导，确保逻辑严密。1特例引入：等腰三角形的直观验证为了降低理解难度，我们先以等腰三角形为例，通过具体数值验证结论的正确性。例1：△ABC为等腰三角形，AB=AC=4cm，∠BAC=60（实为等边三角形），则其角平分线AD（也是中线、高）长为AD=√(4²-2²)=√12=2√3cm（因为D为BC中点，BC=4cm）。构造△A'B'C'∽△ABC，相似比k=2，即A'B'=A'C'=8cm，∠B'A'C'=60，则其对应角平分线A'D'（同样是中线、高）长为A'D'=√(8²-4²)=√48=4√3cm。此时AD/A'D'=2√3/(4√3)=1/2=1/k（注意这里k是△A'B'C'与△ABC的相似比，若以△ABC为原三角形，则相似比为k=2，A'D'/AD=2，符合比例关系）。通过这一特例，我们直观看到对应角平分线的比与相似比一致，但需要更一般化的证明。2一般证明：利用相似三角形的判定与角平分线定理已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k（即AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k），AD平分∠BAC交BC于D，A'D'平分∠B'A'C'交B'C'于D'。求证：AD/A'D'=k。证明过程：由相似三角形性质，∠BAC=∠B'A'C'（对应角相等），AB/A'B'=AC/A'C'=k（对应边成比例）。因为AD、A'D'是角平分线，所以∠BAD=∠BAC/2，∠B'A'D'=∠B'A'C'/2，因此∠BAD=∠B'A'D'（等量代换）。2一般证明：利用相似三角形的判定与角平分线定理在△ABD和△A'B'D'中，需要证明它们相似，从而得到AD/A'D'=AB/A'B'=k。由步骤1，AB/A'B'=AC/A'C'=k，但我们需要AB/A'B'=AD/A'D'，因此需找到△ABD与△A'B'D'的相似条件。另一种方法是利用角平分线定理：在△ABC中，BD/DC=AB/AC（角平分线定理）；同理，在△A'B'C'中，B'D'/D'C'=A'B'/A'C'。由于△ABC∽△A'B'C'，AB/AC=A'B'/A'C'（相似三角形对应边成比例），因此BD/DC=B'D'/D'C'，即BD/B'D'=DC/D'C'=BC/B'C'=k（等比性质）。2一般证明：利用相似三角形的判定与角平分线定理设BC=ka，B'C'=a（为简化计算，设相似比为k=BC/B'C'），则BD=kB'D'，DC=kD'C'。在△ABD和△A'B'D'中，∠BAD=∠B'A'D'（已证），AB/A'B'=k，BD/B'D'=k（由BD=kB'D'），因此△ABD∽△A'B'D'（SAS判定，两边成比例且夹角相等）。因此，AD/A'D'=AB/A'B'=k（相似三角形对应边成比例）。结论：相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比。这一证明过程中，关键是通过角平分线定理建立边的比例关系，再结合相似三角形的判定（SAS）证明包含角平分线的子三角形相似，从而推导出角平分线的比例。在教学中，我常引导学生注意“从整体到局部”的思维：将原三角形的相似性转化为包含角平分线的子三角形的相似性，这是解决几何比例问题的常用策略。04应用与拓展：从“知其然”到“知其所以用”应用与拓展：从“知其然”到“知其所以用”掌握理论后，需要通过具体问题检验理解程度，并拓展应用场景。以下通过三类例题展开。1基础应用：已知相似比求角平分线长度例2：△ABC∽△DEF，相似比为3:2，△ABC中∠A的角平分线长为9cm，求△DEF中对应角平分线的长度。分析：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，因此AD/A'D'=3/2（设AD为△ABC的角平分线，A'D'为△DEF的对应角平分线）。已知AD=9cm，代入得9/A'D'=3/2，解得A'D'=6cm。答案：6cm。这类题目直接应用结论，关键是明确“对应”关系，避免相似比的方向混淆（如题目中相似比是△ABC:△DEF=3:2，因此AD:A'D'=3:2，而非2:3）。2逆向应用：已知角平分线比求相似比或其他量例3：两个相似三角形的对应角平分线分别为5cm和15cm，其中一个三角形的周长为20cm，求另一个三角形的周长。分析：对应角平分线的比为5:15=1:3，因此相似比k=1:3或3:1（需考虑哪个三角形是原三角形）。若原三角形周长为20cm（对应角平分线5cm），则另一个三角形周长为20×3=60cm；若原三角形周长为20cm（对应角平分线15cm），则另一个三角形周长为20×(1/3)=20/3≈6.67cm（但通常题目默认相似比为大于1的情况，需根据题意判断）。答案：60cm或20/3cm（需根据相似方向确定）。2逆向应用：已知角平分线比求相似比或其他量此题体现了相似三角形“对应线段比=相似比”“周长比=相似比”的综合应用，需要学生建立不同性质之间的联系。3综合应用：结合角平分线定理与相似三角形例4：如图（可自行想象：△ABC∽△A'B'C'，相似比为2，AD平分∠BAC交BC于D，A'D'平分∠B'A'C'交B'C'于D'，已知BC=8cm，求B'D'的长度。）分析：由相似比k=2，BC/B'C'=2，B'C'=BC/2=4cm；在△ABC中，由角平分线定理，BD/DC=AB/AC；由于△ABC∽△A'B'C'，AB/A'B'=AC/A'C'=2，因此AB/AC=A'B'/A'C'（比例的等比性），即BD/DC=B'D'/D'C'（角平分线定理在相似三角形中的对应性）；3综合应用：结合角平分线定理与相似三角形设B'D'=x，D'C'=4-x，则BD=2x（因为BD/B'D'=k=2），DC=2(4-x)=8-2x；又BD+DC=BC=8cm，因此2x+(8-2x)=8，恒成立，说明x可为任意值？这显然矛盾，问题出在哪里？修正思路：实际上，在相似三角形中，角平分线分对边的比例与原三角形相同（因为AB/AC=A'B'/A'C'），因此BD/DC=B'D'/D'C'=AB/AC=A'B'/A'C'。但具体长度需结合相似比计算。例如，若△ABC中AB=AC（等腰三角形），则BD/DC=1，即D为BC中点，BD=4cm；此时△A'B'C'中B'D'=BD/k=4/2=2cm（因为BD/B'D'=k=2）。这一例题提醒我们：角平分线分对边的比例由原三角形的边长比例决定，而具体长度则需结合相似比计算，不能脱离原三角形的具体边长关系。05总结与升华：从“知识碎片”到“思维网络”的构建1核心结论回顾通过本节课的学习，我们得出以下关键结论：相似三角形的对应角平分线的比等于它们的相似比；这一结论的证明基于相似三角形的判定（SAS）和角平分线定理；该结论可与相似三角形的周长比、面积比、对应高/中线比等性质结合，解决复杂几何问题。2思维方法提炼在探索过程中，我们运用了以下重要数学思想：从特殊到一般：通过等腰三角形特例直观感知，再推广到任意三角形证明，符合认知规律；整体与局部的转化：将原三角形的相似性转化为包含角平分线的子三角形的相似性，体现“分解问题”的策略；比例与相似的联动：利用相似比建立不同线段（角平分线、边、周长等）之间的联系，培养“结构化”思维。3学习展望相似