2025 九年级数学上册相似三角形判定定理选择策略课件

1.1相似三角形的核心地位演讲人2025九年级数学上册相似三角形判定定理选择策略课件各位同学、同仁：大家好！作为一名深耕初中数学教学十余年的教师，我常观察到一个现象：九年级学生在学习“相似三角形”时，能熟练背诵判定定理，却在实际解题中频繁“卡壳”——面对题目给出的条件，不知道该用“AA”还是“SAS”，遇到隐含条件时更是无从下手。今天，我们就围绕“相似三角形判定定理的选择策略”展开探讨，希望通过系统梳理，帮助大家建立清晰的思维路径，让“选择定理”不再是难题。一、为何要重视“判定定理的选择策略”？——从知识逻辑到解题需求011相似三角形的核心地位1相似三角形的核心地位相似三角形是初中几何的“枢纽”内容：它上承全等三角形（特殊的相似）、平行线性质，下启解直角三角形、圆的性质、坐标系中的图形变换；既是解决几何证明（如线段比例、角相等）的工具，也是实际问题（如测量高度、投影计算）的建模基础。2023年中考数据显示，全国各省市试卷中，与相似三角形相关的题目占比达15%-20%，其中80%的题目需要“选择合适的判定定理”作为解题突破口。022学生的常见痛点2学生的常见痛点教学实践中，我收集了学生的典型问题：“题目给了两边成比例，我却用了‘AA’，结果证不出来”；“看到平行线就直接用‘SSS’，忽略了预备定理更直接”；“隐含的公共角、对顶角没注意到，漏掉了角相等的条件”。这些问题的本质，是缺乏对判定定理条件的“敏感度”和“匹配意识”。因此，掌握“选择策略”的关键，是学会“根据已知条件反向检索定理”。先理清“判定定理家族”——基础不牢，策略无依要谈“选择策略”，首先必须精准掌握相似三角形的5个判定定理（含预备定理）。为避免混淆，我们用“条件类型”对其分类梳理：031基于“平行关系”的预备定理1基于“平行关系”的预备定理内容：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所构成的三角形与原三角形相似。符号语言：如图1，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。关键特征：题目中明确出现“平行线”或“线段被平行线截取”的条件（如“DE是△ABC的中位线”）。注意：此定理是“由平行推相似”的直接依据，无需额外证明角或边的关系。01030204042基于“角”的判定（AA）2基于“角”的判定（AA）内容：两角分别相等的两个三角形相似。符号语言：在△ABC与△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC∽△DEF。关键特征：题目中出现“角相等”的条件（如“角平分线”“垂直”“同角的余角”“平行线的同位角/内错角”），或可通过计算推导出两角相等（如“三角形内角和180”）。注意：只需两组角相等（第三组角必然相等），是最常用的判定定理之一。053基于“边与角”的判定（SAS）3基于“边与角”的判定（SAS）内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。符号语言：在△ABC与△DEF中，若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则△ABC∽△DEF。关键特征：题目中同时出现“两组边的长度或比例”和“这两边所夹的角相等”的条件（如“AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D”）。注意：必须是“夹角”相等，若给出的角是其中一边的对角（非夹角），则不能直接用SAS判定。064基于“边”的判定（SSS）4基于“边”的判定（SSS）内容：三边成比例的两个三角形相似。符号语言：在△ABC与△DEF中，若AB/DE=AC/DF=BC/EF，则△ABC∽△DEF。关键特征：题目中明确给出三组边的长度或比例（如“AB:DE=AC:DF=BC:EF=2:1”），或可通过勾股定理、线段和差计算出三组比例。注意：需要三组边都成比例，计算量较大，通常在其他定理不适用时使用。075直角三角形的特殊判定（HL）5直角三角形的特殊判定（HL）3241内容：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。注意：此定理是直角三角形的“专属”，普通三角形不能用“HL”判定相似。符号语言：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=∠F=90，若AB/DE=AC/DF，则Rt△ABC∽Rt△DEF。关键特征：题目中明确说明“两个直角三角形”，且已知斜边与一条直角边的比例（如“斜边AB=2DE，直角边AC=2DF”）。判定定理的选择策略——条件为“钥”，定理为“锁”掌握了判定定理的“条件画像”后，我们需要建立“条件→定理”的匹配逻辑。根据题目中“已知条件的类型”，可将选择策略分为以下5类：081策略一：见“平行”，优先用“预备定理”1策略一：见“平行”，优先用“预备定理”适用场景：题目中出现“一条直线平行于三角形的一边”，或“多条平行线截取线段”（如“铁轨、梯子的横杆”）。操作步骤：①识别平行线：确定哪条直线平行于三角形的一边（如DE∥BC）；②锁定两个三角形：明确被截得的小三角形（△ADE）和原三角形（△ABC）；③直接应用预备定理得出相似。例题1（2022杭州中考改编）：如图2，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD=2，DB=3，求△ADE与△ABC的面积比。分析：由DE∥BC，直接用预备定理得△ADE∽△ABC；由AD:AB=2:(2+3)=2:5，相似比为2:5，面积比为4:25。易错提醒：部分同学会试图用“AA”证明角相等，实则预备定理更直接，避免冗余步骤。092策略二：见“角相等”，优先用“AA”2策略二：见“角相等”，优先用“AA”适用场景：题目中明确给出“两角相等”（如“∠1=∠2”“∠A=∠D”），或可通过几何性质推导两角相等（如同位角、对顶角、角平分线、垂直关系）。操作步骤：①寻找已知相等的角：标记题目中直接给出的角相等条件；②推导第二组相等的角：利用“平行线的性质”“三角形内角和”“同角的余角/补角”等推导另一组角相等；③应用“AA”判定相似。例题2（2023武汉模拟）：如图3，在△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，求证：△ACD∽△ABC。2策略二：见“角相等”，优先用“AA”分析：已知∠ACB=∠ADC=90（第一组角相等）；∠A是公共角（第二组角相等），因此由“AA”得△ACD∽△ABC。技巧延伸：若题目中只有一组角相等，可尝试计算第三组角（如“∠B=180-∠A-∠ACB”），看是否能找到第二组角相等。103策略三：见“两边比例+夹角”，用“SAS”3策略三：见“两边比例+夹角”，用“SAS”适用场景：题目中给出“两组边的长度或比例”，且这两组边的“夹角”相等（需注意“夹角”是两边所夹的角，而非其中一边的对角）。操作步骤：①计算两组边的比例：验证是否存在AB/DE=AC/DF（或其他对应边比例）；②确认夹角相等：检查这两组边的夹角是否相等（如∠A=∠D）；③应用“SAS”判定相似。例题3（2023南京中考）：如图4，在△ABC和△DEF中，AB=4，AC=6，∠A=50；DE=2，DF=3，∠D=50，求证：△ABC∽△DEF。分析：AB/DE=4/2=2，AC/DF=6/3=2，比例相等；∠A=∠D=50（夹角相等），因此由“SAS”得相似。3策略三：见“两边比例+夹角”，用“SAS”易错提醒：若题目中给出的角是AB的对角（如∠B=∠E），则不能用SAS，需改用其他定理。114策略四：见“三边比例”，用“SSS”4策略四：见“三边比例”，用“SSS”适用场景：题目中明确给出三组边的长度（或可通过计算得到三组边的比例），且无角相等或平行条件。操作步骤：①列出所有对应边：确定两个三角形的三边对应关系（如AB对应DE，BC对应EF，AC对应DF）；②计算三组比例：验证AB/DE=BC/EF=AC/DF是否成立；③应用“SSS”判定相似。例题4（2022成都期末）：△ABC的三边长为6、8、10，△DEF的三边长为3、4、5，求证：△ABC∽△DEF。分析：6/3=8/4=10/5=2，三组边成比例，由“SSS”得相似。4策略四：见“三边比例”，用“SSS”注意：若题目中三边比例不明显，需先通过勾股定理计算边长（如涉及坐标系中的点坐标）。125策略五：见“直角三角形+边比例”，用“HL”5策略五：见“直角三角形+边比例”，用“HL”适用场景：题目中明确说明是“直角三角形”，且已知斜边与一条直角边的比例（或长度）。操作步骤：①确认直角：标注两个三角形的直角（如∠C=∠F=90）；②计算斜边与直角边的比例：验证AB/DE=AC/DF（或BC/EF）是否成立；③应用“HL”判定相似。例题5（2023广州月考）：Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4；Rt△DEF中，∠F=90，DF=6，EF=8，求证：△ABC∽△DEF。分析：Rt△ABC中，AB=5（勾股定理）；Rt△DEF中，DE=10（勾股定理）。AB/DE=5/10=1/2，AC/DF=3/6=1/2，比例相等，由“HL”得相似。5策略五：见“直角三角形+边比例”，用“HL”补充说明：若直角三角形中已知两组锐角相等，仍可用“AA”判定，此时“HL”是备选策略。综合应用：从“单一条件”到“复杂情境”的策略升级实际解题中，题目条件往往“复合”呈现——既有平行线，又有边的比例；或需要结合多个定理推导隐含条件。此时，需遵循“先易后难、先直接后间接”的原则，逐步筛选合适的定理。131隐含条件的挖掘——策略的“隐形钥匙”1隐含条件的挖掘——策略的“隐形钥匙”常见隐含条件：公共角/对顶角：如两个三角形共顶点（∠A是公共角）；平行线带来的同位角/内错角：如DE∥BC，则∠ADE=∠B；角平分线：如AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD；垂直关系：如CD⊥AB，则∠CDA=∠CDB=90。例题6（2023全国联赛改编）：如图5，在△ABC中，D是BC上一点，∠BAD=∠C，求证：△ABD∽△CBA。分析：题目中无直接平行或三边比例，但∠BAD=∠C（已知角相等），且∠B是△ABD和△CBA的公共角（隐含角相等），因此由“AA”得相似。关键思维：看到“角相等”条件时，主动寻找公共角或对顶角，往往能快速找到第二组相等的角。142多定理结合的解题路径2多定理结合的解题路径例题7（2023深圳中考）：如图6，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE交AC于F，求证：△AFE∽△CFB。分析：①由平行四边形性质，AD∥BC，且AD=BC（隐含平行条件）；②E是AD中点，故AE=AD/2=BC/2，即AE/BC=1/2（边的比例）；③由AD∥BC，得∠EAF=∠BCF（内错角相等），∠AEF=∠CBF（内错角相等）（角相等条件）；④策略选择：既可用“AA”（两组角相等），也可用“SAS”（AE/BC=1/2，AF/CF=1/2？需验证）。但更直接的是“AA”，因为两组角相等更易证明。151策略的核心逻辑1策略的核心逻辑相似三角形判定定理的选择，本质是“条件与定理的匹配游戏”：已知条件类型→快速检索对应定理→验证条件是否满足→得出结论。162提升策略的3个训练方法2提升策略的3个训练方法231条件标注法：读题时用符号（如“∥”标平行，“∠1=∠2”标角相等）标注关键条件，直观呈现“已知信息”；错题归类法：整理因“定理选择错误”导致的错题，分析错误原因（如“误将非夹角当夹角”），针对性强化；一题多解法：对同一题目尝试用不同定理证明（如既用“AA”又用“SSS”），体会不同定理的适用场景。173致同学们的话3致同学们的话相似三角形的判定，是几何思维的“