2025 九年级数学上册相似三角形判定定理证明过程课件

一、知识回顾：相似三角形的定义与基本性质演讲人知识回顾：相似三角形的定义与基本性质01判定定理的逻辑关联与应用价值02相似三角形判定定理的证明过程03总结与升华04目录2025九年级数学上册相似三角形判定定理证明过程课件各位同学，今天我们要共同探索相似三角形判定定理的证明过程。作为陪伴大家三年的数学老师，我深知相似三角形是初中几何的核心内容之一，它不仅是全等三角形的延伸，更是后续学习三角函数、解直角三角形、圆的性质等知识的重要基础。在正式开始前，我想先问大家一个问题：当我们需要判断两个三角形是否相似时，是否一定要验证所有对应角相等、所有对应边成比例？显然，这样的操作既繁琐又不高效。因此，数学家们通过严谨的推导，总结出了更简便的判定方法——这就是我们今天要重点研究的“相似三角形判定定理”。接下来，我们将从知识回顾出发，逐步展开定理的证明，感受数学推导的逻辑之美。01知识回顾：相似三角形的定义与基本性质知识回顾：相似三角形的定义与基本性质要理解判定定理的证明，首先需要明确相似三角形的定义。根据教材，相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的三角形，记作△ABC∽△A'B'C'，其中对应顶点的字母顺序决定了角与边的对应关系。1定义的核心要素对应角相等：即∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'；对应边成比例：即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=k$（k为相似比）。2定义的局限性虽然定义是判定相似三角形的根本依据，但实际应用中，我们很难直接测量三个角和三条边的长度（尤其是在几何证明题中，往往只有部分已知条件）。因此，我们需要寻找更简洁的判定条件——这正是判定定理存在的意义。3与全等三角形的联系与区别全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，其判定定理（如SAS、ASA、SSS等）为我们提供了“用部分条件推导整体结论”的思路。相似三角形的判定定理可以看作是全等判定的“比例化推广”，例如：全等的ASA对应相似的AA（两角对应相等，第三角必然相等）；全等的SAS对应相似的SAS（两边成比例且夹角相等）；全等的SSS对应相似的SSS（三边成比例）。这种类比关系能帮助我们更快理解相似判定定理的逻辑结构。02相似三角形判定定理的证明过程相似三角形判定定理的证明过程根据人教版九年级数学上册教材，相似三角形的判定定理主要包括以下三个：AA（角角）判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；SAS（边角边）判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；SSS（边边边）判定定理：三边成比例的两个三角形相似。接下来，我们逐一展开证明。03040501021AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似1.1定理表述已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'；求证：△ABC∽△A'B'C'。1AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似1.2证明思路要证明两个三角形相似，需证明对应角相等、对应边成比例。已知两角相等，根据三角形内角和定理，第三个角也必然相等（∠C=180-∠A-∠B=180-∠A'-∠B'=∠C'），因此对应角相等已满足。接下来需要证明对应边成比例。这里我们采用“构造法”：在较大的三角形中构造一个与较小三角形全等的三角形，通过平行线分线段成比例定理推导边的比例关系。1AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似设定条件与辅助线不妨设AB>A'B'（若AB=A'B'，则由ASA可证全等，自然相似），在AB上取一点D，使得AD=A'B'；过D作DE∥BC，交AC于点E（如图1所示）。步骤2：证明△ADE≌△A'B'C'由DE∥BC，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠ADE=∠B=∠B'；已知∠A=∠A'，AD=A'B'（构造），因此△ADE≌△A'B'C'（ASA）。1AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似设定条件与辅助线步骤3：利用平行线分线段成比例定理推导边的比例由DE∥BC，根据“平行线分线段成比例定理”（即“基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”），得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$；由△ADE≌△A'B'C'，得DE=B'C'，AE=A'C'，AD=A'B'；因此$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}$，即三边对应成比例；结合对应角相等，故△ABC∽△A'B'C'。1AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似1.4教学反思在教学中，学生常问：“为什么只需要两个角相等？第三个角是否多余？”通过内角和定理的解释，学生能理解“两角确定则三角确定”的逻辑；而构造平行线的方法，既联系了之前学过的全等三角形和平行线性质，又体现了“化未知为已知”的数学思想，这是需要重点强调的。2SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似2.1定理表述已知：在△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，且∠A=∠A'；求证：△ABC∽△A'B'C'。2SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似2.2证明思路同样采用构造法：在△ABC中构造一个与△A'B'C'相似的三角形，通过边的比例关系和夹角相等，证明构造的三角形与原三角形重合，从而得出相似结论。2SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似构造辅助三角形在AB上取一点D，使得AD=A'B'；在AC上取一点E，使得AE=A'C'（如图2所示）。由已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=k$，即AB=kAD，AC=kAE。步骤2：证明△ADE∽△A'B'C'已知AD=A'B'，AE=A'C'，∠A=∠A'（公共角），因此△ADE≌△A'B'C'（SAS），即△ADE与△A'B'C'全等，自然相似（相似比为1）。2SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似构造辅助三角形步骤3：证明DE∥BC由$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=k$，根据“如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”（平行线分线段成比例定理的逆定理），得DE∥BC；由DE∥BC，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”（相似三角形的预备定理），得△ADE∽△ABC；由于△ADE∽△A'B'C'且△ADE∽△ABC，根据相似的传递性，△ABC∽△A'B'C'。2SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似2.4关键点强调学生容易混淆“两边成比例”中的“夹角”是否必须对应。例如，若两边成比例但角不是夹角（如∠B=∠B'而非∠A=∠A'），则无法保证相似。通过反例（如两边成比例但角为非夹角时，可能存在两种不同的三角形），可以帮助学生理解“夹角”的必要性。3SSS判定定理：三边成比例的两个三角形相似3.1定理表述已知：在△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=k$；求证：△ABC∽△A'B'C'。3SSS判定定理：三边成比例的两个三角形相似3.2证明思路采用“同一法”：构造一个与△A'B'C'相似的三角形，证明其与△ABC重合，从而得出原三角形相似的结论。3SSS判定定理：三边成比例的两个三角形相似构造辅助三角形在△ABC外作△A''B''C''，使得A''B''=A'B'，B''C''=B'C'，C''A''=C'A'（即△A''B''C''≌△A'B'C'）；再在△ABC中作△ADE，使得AD=kA''B''，AE=kA''C''，且∠DAE=∠A''（如图3所示）。步骤2：证明△ADE∽△A''B''C''由$\frac{AD}{A''B''}=\frac{AE}{A''C''}=k$，∠DAE=∠A''，根据SAS判定定理，△ADE∽△A''B''C''，相似比为k；因此DE=kB''C''=kB'C'（因为△A''B''C''≌△A'B'C'）。3SSS判定定理：三边成比例的两个三角形相似构造辅助三角形步骤3：证明△ADE≌△ABC已知$\frac{AB}{A'B'}=k$，而A'B'=A''B''，故AB=kA''B''=AD；同理，AC=kA''C''=AE；又BC=kB'C'=DE（由已知$\frac{BC}{B'C'}=k$），因此△ADE的三边AD=AB，AE=AC，DE=BC，根据SSS全等判定定理，△ADE≌△ABC。步骤4：推导相似结论由△ADE∽△A''B''C''且△ADE≌△ABC，△A''B''C''≌△A'B'C'，可得△ABC∽△A'B'C'（相似比为k）。3SSS判定定理：三边成比例的两个三角形相似3.4学生常见疑问有学生问：“为什么不能直接用三边成比例和平行线定理证明？”实际上，SSS的证明需要更间接的构造，因为三边成比例时无法直接通过平行线构造相似三角形，必须借助全等三角形的桥梁作用。这体现了数学证明中“转化”思想的重要性——将未知的相似关系转化为已知的全等关系。03判定定理的逻辑关联与应用价值1判定定理的递进关系从AA到SAS再到SSS，判定定理的条件逐渐从“角的关系”过渡到“边角组合”，最终到“边的关系”，符合人类认知从简单到复杂的规律。AA判定基于角的“确定性”（两角定形状），SAS和SSS则通过边的比例与角的结合，进一步扩展了判定的适用场景。2实际应用示例为巩固理解，我们看一个简单例题：例：如图4，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，∠A=∠A。求证：△ADE∽△ABC。证明：由$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$且夹角∠A=∠A，根据SAS判定定理，△ADE∽△ABC（相似比为$\frac{1}{3}$）。3数学思想的渗透三个判定定理的证明过程中，始终贯穿以下数学思想：构造法：通过作辅助线构造已知全等或相似的三角形；转化思想：将相似问题转化为全等问题，或通过平行线转化为比例问题；从特殊到一般：从两角相等的特殊情况，到边角组合，再到三边比例的一般情况。04总结与升华总结与升华同学们，今天我们通过严谨的推导，证明了相似三角形的三个判定定理。从定义出发，我们发现直接验证所有角和边的条件过于繁琐；通过构造辅助线、利用全等三角形和平行线分线段成比例定理，我们逐步推导出了更简便的判定方法——AA、SAS、SSS。这些定理不仅是解决几何问题的工具，更是数学逻辑严谨性的体现。回顾整个过程，我们需要记住：AA判定的核心是“两角定形状”，因为三角形内角和固定，两角相等则三角必等；SAS判定的关键是“两边比例夹等角”，非夹角无法保证相似；SSS判定