2025年《高等数学（一）》极限真题测试卷

2025年《高等数学（一）》极限真题测试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题4分，共20分。请将答案填在答题纸上对应位置）1.下列各式中，正确的是（）。(A)lim(x→0)x²sin(1/x)=0(B)lim(x→0)sin(1/x)=1(C)lim(x→∞)(x+1)/x²=0(D)lim(x→1)(x²-1)/(x-1)=02.“函数f(x)当x→x₀时极限存在”是“函数f(x)在x=x₀处有定义”的（）。(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.如果lim(x→2)(x²-ax-2)/(x²-x-2)=1/2，则实数a的值为（）。(A)2(B)3(C)-3(D)-24.下列极限计算正确的是（）。(A)lim(x→0)(e^x-1)/x=1(B)lim(x→0)x/sin(x)=0(C)lim(x→∞)(3x+2)/(5x-1)=-3/5(D)lim(x→0⁺)xlnx=05.当x→0时，(sinx-x)/x³是（）。(A)无穷小量(B)无穷大量(C)高阶无穷小量(D)低阶无穷小量二、填空题（每小题5分，共20分。请将答案填在答题纸上对应位置）6.若lim(x→∞)(ax²+bx+c)/(x+1)=3，则a=__________，b=__________。7.lim(x→0)(sqrt(1+x)-1)/x=__________。8.设f(x)=(1-cosx)/x²，则lim(x→0)f(x)=__________。9.若f(x)=(ax+b)/x，且lim(x→0⁺)f(x)=2，lim(x→0⁻)f(x)=-1，则a=__________，b=__________。三、计算题（每小题10分，共50分。请写出详细的计算过程）10.计算极限：lim(x→1)((x-1)²/(x²-1))。11.计算极限：lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x²。12.计算极限：lim(x→∞)(x²-1)/(x-1)。13.计算极限：lim(x→0)(x-sinx)/(x³+x)。14.计算极限：lim(x→1)(x³-3x²+2)/(x-1)²。试卷答案一、选择题1.(A)2.(D)3.(B)4.(A)5.(C)二、填空题6.a=3,b=-67.1/28.1/29.a=3,b=0三、计算题10.解：lim(x→1)((x-1)²/(x²-1))=lim(x→1)((x-1)²/((x-1)(x+1)))=lim(x→1)((x-1)/(x+1))=(1-1)/(1+1)=0/2=0。11.解：lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x²令t=2x，则当x→0时，t→0。原式=lim(t→0)(e^t-1-t)/(t²/4)=4*lim(t→0)((e^t-1-t)/t²)利用泰勒公式e^t=1+t+t²/2+o(t²)，得：原式=4*lim(t→0)((1+t+t²/2+o(t²)-1-t)/t²)=4*lim(t→0)((t²/2+o(t²))/t²)=4*lim(t→0)(1/2+o(1)/t²)=4*(1/2)=2。(或使用洛必达法则)原式=lim(x→0)((e^(2x)-1-2x)/x²)=lim(x→0)(2e^(2x)-2)/2x=lim(x→0)(e^(2x)-1)/x=lim(x→0)(2e^(2x))/1=2。12.解：lim(x→∞)(x²-1)/(x-1)=lim(x→∞)((x+1)(x-1))/(x-1)=lim(x→∞)(x+1)=∞。(或分子分母同除以x)原式=lim(x→∞)((x²/x-1/x)/(x/x-1/x))=lim(x→∞)(x-1/x)/(1-1/x)=∞/1=∞。13.解：lim(x→0)(x-sinx)/(x³+x)分子分母同除以x：原式=lim(x→0)((x/x-sinx/x)/(x²+1))=lim(x→0)(1-sinx/x)/(x²+1)因为lim(x→0)sinx/x=1，所以：原式=(1-1)/(0²+1)=0/1=0。14.解：lim(x→1)(x³-3x²+2)/(x-1)²分子分解因式：(x³-3x²+2)=(x-1)(x²-2x-2)原式=lim(x→1)((x-1)(x²-2x-2))/(x-1)²=lim(x→1)(x²-2x-2)/(x-1)分子分母同除以x-1：原式=lim(x→1)((x²/x-2x/x-2/x)/(1-1/x))=lim(x→1)((x-2-2/x)/(1-1/x))令x-1=t，则当x→1时，t→0，且x=1+t。原式=lim(t→0)(((1+t)-2-2/(1+t))/(1-1/(1+t)))=lim(t→0)((t-1-2/(1+t))/(1-1/(1+t)))原式=lim(t→0)((t-1-2(1-t+t²+o(t²)))/(1-1+t+o(t)))=lim(t→0)((t-1-2+2t-2t²-o(t²))/(t+o(t)))原式=lim(t→0)((3t-3-2t²-o(t²))/(t+o(t)))=lim(t→0)((3-2t-o(t)/t)/(1+o(t)