2025 九年级数学上册一元二次方程根的情况的讨论方法课件

一、教学背景与目标定位演讲人01.02.03.04.05.目录教学背景与目标定位核心知识建构：从求根公式到判别式方法应用：从基础到进阶的分层训练总结与升华：从方法到思想的凝练课后作业与拓展建议2025九年级数学上册一元二次方程根的情况的讨论方法课件01教学背景与目标定位教学背景与目标定位作为初中代数知识体系的核心内容之一，一元二次方程根的情况讨论既是对一元一次方程、分式方程等“方程家族”知识的延伸，也是后续学习二次函数、不等式等内容的重要基础。九年级学生已掌握一元二次方程的定义、解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），但对“为何有的方程有两个不同实根，有的只有一个，有的没有”这一本质问题尚未深入探究。基于此，本节课的核心目标是：1知识目标理解根的判别式（Δ=b²-4ac）的数学本质，明确其与一元二次方程根的个数的对应关系；掌握根据判别式判断根的情况的操作步骤，能解决“已知方程判断根的情况”“已知根的情况求参数范围”两类典型问题；体会判别式在实际问题中的应用价值，如几何图形存在性、实际生活中的数量关系分析。2能力目标通过从求根公式推导判别式的过程，提升逻辑推理能力与代数运算能力；01通过含参数方程的根的情况讨论，培养分类讨论思想与严谨的数学表达能力；02通过实际问题建模，增强用数学工具分析现实问题的能力。033情感目标在探究判别式的过程中，感受数学“从特殊到一般”“从现象到本质”的研究方法，激发对数学规律的探索兴趣；通过解决实际问题，体会数学与生活的紧密联系，增强“用数学”的自信心。02核心知识建构：从求根公式到判别式核心知识建构：从求根公式到判别式要讨论一元二次方程根的情况，首先需要明确“根是否存在”“存在几个”的判断依据。我们不妨从学生最熟悉的公式法解一元二次方程入手，逐步推导。1回顾求根公式，提炼关键要素一元二次方程的一般形式为(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），其求根公式为：[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}]在教学中，我常让学生回忆公式的推导过程（配方法），并提问：“公式中哪一部分决定了根的具体形式？”学生通过观察会发现，根号内的(b^2-4ac)是关键——若其为正数，根号有意义且结果为两个不同的实数；若为零，根号结果为零，两根相等；若为负数，根号无实数意义，方程无实根。2定义判别式，明确对应关系数学中，我们将(\Delta=b^2-4ac)称为一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）的根的判别式。其与根的情况的对应关系可总结为：|判别式Δ的符号|方程根的情况|数学表达式||----------------|-----------------------------|------------------------------||(\Delta>0)|有两个不相等的实数根|(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})，(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a})|2定义判别式，明确对应关系|(\Delta=0)|有两个相等的实数根（重根）|(x_1=x_2=-\frac{b}{2a})||(\Delta<0)|无实数根|无实数解|这里需要强调两点：前提条件：判别式仅适用于一元二次方程，即(a\neq0)。若题目未明确说明是一元二次方程（如“关于x的方程”），需先讨论(a=0)的情况（此时方程退化为一元一次方程）；“实数根”的限定：在初中阶段，我们仅讨论实数范围内的根，因此当(\Delta<0)时，方程无实数根，但在高中阶段会引入虚数根的概念。3典型误区辨析在教学实践中，学生常出现以下错误，需重点强调：忽略(a\neq0)：例如，判断方程(kx^2+2x+1=0)的根的情况时，部分学生直接计算(\Delta=4-4k)，却未考虑(k=0)时方程变为一元一次方程(2x+1=0)，此时有且仅有一个实数根；计算错误：符号错误（如将(-4ac)误写为(+4ac)）、系数代入错误（如将(b)代入为一次项系数的绝对值）；混淆“有实根”与“有两个实根”：当题目要求“方程有实根”时，需考虑(\Delta\geq0)（包括两个相等或不相等的实根），而“有两个实根”则隐含(a\neq0)且(\Delta\geq0)。03方法应用：从基础到进阶的分层训练方法应用：从基础到进阶的分层训练掌握判别式的定义后，需通过不同难度的问题，帮助学生实现“理解—应用—迁移”的能力提升。以下按“基础巩固—能力提升—实际应用”三个层次展开。1基础巩固：已知方程，判断根的情况目标：熟练计算判别式，准确对应根的情况。01（1）(x^2-5x+6=0)；02（2）(2x^2+3x+4=0)；03（3）(4x^2-4x+1=0)。04分析步骤：05确定(a,b,c)的值（注意符号）；06计算(\Delta=b^2-4ac)；07根据(\Delta)的符号判断根的情况。08解答示范（以第2题为例）：09例1：判断下列方程的根的情况：101基础巩固：已知方程，判断根的情况(a=2)，(b=3)，(c=4)，(\Delta=3^2-4\times2\times4=9-32=-23)，因为(\Delta<0)，所以方程无实数根。学生易错点：第（1）题中(c=6)为正数，但(\Delta=25-24=1>0)，部分学生可能因“常数项为正”误判无实根，需强调判别式的计算是关键。2能力提升：已知根的情况，求参数范围目标：通过逆向思维，利用判别式建立不等式（或等式），求解参数的取值范围，渗透分类讨论思想。例2：已知关于(x)的方程((k-1)x^2+2kx+k+3=0)有两个实数根，求(k)的取值范围。分析步骤：明确“有两个实数根”的隐含条件：方程是一元二次方程（(k-1\neq0)）且(\Delta\geq0)；计算(\Delta)并解不等式；综合所有条件，确定(k)的范围。解答过程：2能力提升：已知根的情况，求参数范围由题意得(k-1\neq0)，即(k\neq1)；(\Delta=(2k)^2-4(k-1)(k+3)=4k^2-4(k^2+2k-3)=4k^2-4k^2-8k+12=-8k+12)；因为方程有两个实数根，所以(\Delta\geq0)，即(-8k+12\geq0)，解得(k\leq\frac{3}{2})；综上，(k)的取值范围是(k\leq\frac{3}{2})且(k\neq1)。拓展变式：若题目改为“有实数根”，则需分两种情况讨论：2能力提升：已知根的情况，求参数范围当(k-1=0)（即(k=1)）时，方程变为(2x+4=0)，有一个实数根；当(k-1\neq0)时，需(\Delta\geq0)（即(k\leq\frac{3}{2})且(k\neq1)）；因此，“有实数根”时(k\leq\frac{3}{2})。3实际应用：判别式与现实问题的结合目标：通过实际问题建模，体会判别式的应用价值，培养“用数学”的意识。例3：某小区计划在一块长30米、宽20米的矩形空地上修建两条宽度相同的十字形小路（如图所示），剩余部分种植草坪，要求草坪面积为504平方米，求小路的宽度(x)。分析步骤：建立数学模型：根据图形，草坪的长为(30-x)，宽为(20-x)（注意十字形小路重叠部分为(x^2)，需避免重复计算）；列出方程：((30-x)(20-x)=504)；整理为标准一元二次方程形式：(x^2-50x+96=0)；3实际应用：判别式与现实问题的结合1计算判别式(\Delta=2500-384=2116=46^2>0)，说明方程有两个不相等的实数根；2求解并验证合理性：(x=\frac{50\pm46}{2})，即(x=48)（舍去，因宽度超过空地尺寸）或(x=2)，故小路宽度为2米。3教学反思：实际问题中，除了判断根的存在性，还需结合实际意义检验根的合理性（如长度、数量为正数），这体现了数学与生活的紧密联系。04总结与升华：从方法到思想的凝练总结与升华：从方法到思想的凝练本节课围绕“一元二次方程根的情况讨论”展开，核心线索是“判别式(\Delta=b^2-4ac)的推导与应用”。通过学习，我们不仅掌握了判断根的情况的具体方法，更重要的是体会了以下数学思想：1从“数”到“式”的抽象思想通过求根公式推导判别式，我们将“根的存在性”这一具体问题抽象为“判别式符号”的代数问题，体现了数学“用符号表示规律”的本质特征。2分类讨论思想在含参数方程的根的情况分析中，我们需要根据(a)是否为0、(\Delta)的符号等条件进行分类，这是解决复杂数学问题的重要策略。3数学建模思想实际问题的解决过程中，我们将现实情境转化为数学方程，再通过判别式判断根的存在性，最后回归实际验证，这是“数学来源于生活，服务于生活”的生动体现。05课后作业与拓展建议1基础作业（必做）判断下列方程的根的情况：（1）(3x^2-2x-1=0)；（2）(x^2+4x+5=0)；（3）(9x^2-6x+1=0)。已知关于(x)的方程(mx^2