2025 九年级数学上册一元二次方程利润应用题课件

一、教学背景分析：为何要学“一元二次方程利润应用题”？演讲人CONTENTS教学背景分析：为何要学“一元二次方程利润应用题”？教学目标与重难点：明确“教什么”与“怎么教”教学过程设计：从生活到数学的“建模之旅”总结与升华：从“解题”到“用数学”（5分钟）课后作业：分层设计，延伸学习目录2025九年级数学上册一元二次方程利润应用题课件01教学背景分析：为何要学“一元二次方程利润应用题”？教学背景分析：为何要学“一元二次方程利润应用题”？作为一线数学教师，我常思考：数学知识如何真正“落地”？当学生问“学方程有什么用”时，利润应用题就是最好的答案。它是一元二次方程章节的核心应用场景，更是连接数学与经济生活的重要桥梁。1课标与教材定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确要求：“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。”一元二次方程利润应用题正是这一要求的典型载体。从教材编排看，它承接七年级一元一次方程的应用、八年级分式方程的应用，是“方程建模思想”的深化；同时为九年级下册二次函数的最值问题埋下伏笔，具有承前启后的关键作用。2学生学情洞察我带过三届九年级学生，发现他们在解决利润问题时普遍存在“三难”：一是生活经验不足，对“进价”“售价”“销量”等概念理解模糊；二是变量关系梳理困难，难以找到“价格调整”与“销量变化”的联动规律；三是方程构建时容易忽略实际意义，如解出负数售价或超过市场容量的销量。这些痛点正是本节课需要突破的关键。02教学目标与重难点：明确“教什么”与“怎么教”1三维教学目标01知识目标：掌握利润问题的基本公式（利润=单件利润×销量），能准确分析价格调整与销量变化的线性关系，列出符合实际的一元二次方程并求解。02能力目标：通过“实际问题→数学建模→方程求解→检验验证”的全过程训练，提升逻辑分析能力、变量控制能力和数学应用意识。03情感目标：感受数学在商业决策中的工具价值，激发“用数学眼光观察生活”的兴趣，培养严谨的解题习惯（如检验解的合理性）。2教学重难点重点：构建“价格-销量-利润”的数学模型，列出一元二次方程。难点：准确捕捉“价格每涨（降）a元，销量减少（增加）b件”的变量关系，建立正确的等量关系式。03教学过程设计：从生活到数学的“建模之旅”1情境引入：从“水果店的烦恼”说起（5分钟）“上周我去小区水果店买苹果，老板叹气说：‘现在进价3元/斤，我卖5元/斤，每天能卖200斤；可要是涨价，每涨1元，每天就少卖40斤。你说我定价多少才能保证每天利润500元？’同学们，你们能帮老板解决这个问题吗？”用真实生活场景激发兴趣，同时自然引出“利润”相关概念。互动提问：老板的“利润”由哪些部分组成？（单件利润×销量）若定价为x元/斤，单件利润怎么表示？（x-3）涨价后销量如何变化？（原销量200斤，每涨1元少卖40斤，故销量=200-40(x-5)）通过追问，引导学生初步感知变量关系，为建模铺垫。2概念梳理：利润问题的“四要素”（8分钟）利润问题本质是“经济活动中的数量关系”，核心涉及四个要素：成本（进价）：商家购进商品的单价，记为c（固定值）。售价（定价）：商家出售商品的单价，记为x（变量，需设定）。销量（销售量）：一定售价下能卖出的商品数量，记为Q（与售价相关的变量）。利润（总利润）：商家销售商品的总盈利，记为P（目标值或待求量）。公式推导：总利润=单件利润×销量→P=(x-c)×Q关键变式：当售价调整时，销量通常呈线性变化。例如“每涨a元，销量减少b件”，则Q=原销量-b×(x-原售价)/a（注意单位统一）。2概念梳理：利润问题的“四要素”（8分钟）易错提醒：我曾遇到学生将“每涨1元少卖40斤”错误表示为“销量=200-40x”，忘记“x是定价，原售价是5元”，正确应为“销量=200-40(x-5)”。这一步必须强调“变量基准”，即“调整量=现售价-原售价”。3例题精讲：从“单一变量”到“复杂情境”（25分钟）3.1基础例题：涨价情境下的利润方程（难度★★）例1：某文具店销售一种笔记本，进价8元/本，原售价12元/本时，每天可售出100本。经调查，若每本涨价1元，每天销量减少10本。若商家希望每天利润为500元，应将售价定为多少？分析步骤：设定变量：设售价为x元/本（x≥12）。计算单件利润：x-8。计算销量：原销量100本，每涨1元少卖10本，故销量=100-10(x-12)=220-10x（验证：当x=12时，销量=100，正确）。列方程：(x-8)(220-10x)=500。3例题精讲：从“单一变量”到“复杂情境”（25分钟）3.1基础例题：涨价情境下的利润方程（难度★★）解方程：展开得-10x²+300x-1760=500→10x²-300x+2260=0→x²-30x+226=0（判别式Δ=900-904=-4<0？不对，哪里错了？）课堂生成：此时学生发现矛盾，我顺势引导检查步骤。哦，原方程展开应为(x-8)(220-10x)=500→220x-10x²-1760+80x=500→-10x²+300x-1760=500→-10x²+300x-2260=0→两边除以-10得x²-30x+226=0，Δ=900-904=-4<0，无实数解。这说明“希望利润500元”在该定价策略下无法实现，需调整目标或策略。教育价值：让学生意识到“数学解”可能不符合实际，需检验是否有解、解是否合理，培养严谨性。3例题精讲：从“单一变量”到“复杂情境”（25分钟）3.2提升例题：降价情境下的利润方程（难度★★★）例2：某手机店销售一款手机，进价2000元/部，原售价3000元/部时，每月可售出100部。为促销，商家决定降价：每降50元，每月销量增加10部。若希望每月利润为120000元，应将售价定为多少？分析关键点：降价情境中，“每降50元，销量增加10部”，需统一单位（以“元”为单位）。设降价50k元（k为整数），则售价=3000-50k，销量=100+10k。或直接设售价为x元（x≤3000），则降价=3000-x元，销量增加量=(3000-x)/50×10=2(3000-x)，故销量=100+2(3000-x)=6100-2x。列方程：(x-2000)(6100-2x)=1200003例题精讲：从“单一变量”到“复杂情境”（25分钟）3.2提升例题：降价情境下的利润方程（难度★★★）01020304展开得：-2x²+10100x-12200000=120000→2x²-10100x+12320000=0→x²-5050x+6160000=0验证合理性：售价需低于3000元，且高于进价2000元（否则亏本），故两个解均合理。可建议商家选择2989.5元（接近原售价，减少降价幅度）或2060.5元（大幅降价薄利多销）。求解：Δ=5050²-4×1×6160000=25502500-24640000=862500=929²（近似值），x=(5050±929)/2→x≈2989.5或x≈2060.5学生常见错误：部分学生直接设降价x元，导致销量表达式错误（如销量=100+10x），未注意“每降50元”对应“x元”时的倍数关系。需强调“变量设定要明确基准”。3例题精讲：从“单一变量”到“复杂情境”（25分钟）3.3综合例题：含固定成本的利润问题（难度★★★★）例3：某服装厂生产T恤，每件成本（材料费+加工费）30元，每月固定成本（租金、工资）5000元。原售价50元/件时，每月可售800件。经市场调查，售价每涨1元，月销量减少20件。若希望月利润（总利润=销售利润-固定成本）为15000元，应将售价定为多少？分析升级点：引入“固定成本”，总利润=（单件利润×销量）-固定成本。设售价为x元，则：销售利润=(x-30)[800-20(x-50)]=(x-30)(1800-20x)总利润=(x-30)(1800-20x)-5000=150003例题精讲：从“单一变量”到“复杂情境”（25分钟）3.3综合例题：含固定成本的利润问题（难度★★★★）整理方程：-20x²+2400x-54000-5000=15000→-20x²+2400x-74000=0→x²-120x+3700=0求解：Δ=14400-14800=-400<0，无实数解。深度讨论：这说明在当前成本和市场条件下，无法达到月利润15000元。商家需考虑降低固定成本（如换租金更低的厂房）或提高销量（如优化营销）。数学不仅是计算工具，更是决策依据。4课堂练习：分层巩固，螺旋提升（15分钟）基础题（面向全体）：某超市销售牛奶，进价4元/盒，原售价6元/盒时，每天卖300盒。若每盒涨价0.5元，每天少卖30盒。若希望每天利润为630元，应定价多少？提升题（面向中等生）：某书店销售小说，进价20元/本，原售价35元/本时，每周卖200本。为清库存，决定降价：每降1元，每周多卖10本。若希望每周利润比原来增加20%（原利润=(35-20)×200=3000元，目标利润3600元），应降价多少？拓展题（面向学优生）：4课堂练习：分层巩固，螺旋提升（15分钟）某玩具厂生产两种玩具：A成本10元/个，售价20元/个，每天卖100个；B成本15元/个，售价30元/个，每天卖80个。现计划调整价格：A每涨1元少卖5个，B每降1元多卖4个。若希望两种玩具每天总利润增加10%（原总利润=10×100+15×80=2200元，目标2420元），如何调整价格？练习反馈：巡视时发现，基础题学生能正确列出方程，但部分人忘记检验解是否使销量为正（如定价过高导致销量负数）；提升题中“利润增加20%”的表述需明确是“原利润的120%”；拓展题的“总利润”需分别计算两种玩具的利润再相加，考查变量控制能力。04总结与升华：从“解题”到“用数学”（5分钟）1知识网络回顾利润应用题的核心流程可概括为“四步建模法”：明确变量：设定售价（或降价、涨价幅度）为x；表达相关量：单件利润=售价-成本，销量=原销量±变化量（根据涨/降价调整）；列方程：总利润=单件利润×销量（注意固定成本需扣除）；检验解：是否符合实际意义（售价>成本，销量>0）。2数学思想提炼本节课贯穿“数学建模思想”——将生活问题转化为数学问题，用方程工具求解，再回归实际验证。这正是数学“源于生活、用于生活”的体现。3情感共鸣“同学们，今天我们不仅学会了列方程解利润问题，更重要的是拥有了‘用数学决策’的能力。未来你们可能成为店主、经理，甚至创业者，那时你会发现：今天解的每一个方程，都是商业决策中最理性的‘计算器’。”05课后作业：分层设计，延伸学习课后作业：分层设计，延伸学习必做题（巩固基础）：教材P45第3、4题（简单利润问题）。选做题（能力提升）：调查本地一家小店（如奶茶店、文具店）的成本、售价、销量数据，尝试提出一个“调整价格以达到目标利润”的问题