2025 九年级数学上册一元二次方程追及问题课件

一、教学背景分析：追及问题为何是一元二次方程的“关键场景”？演讲人目录教学反思与作业设计：让学习从课堂延伸到生活教学过程设计：从“生活情境”到“数学模型”的渐进式探究教学目标设定：从“解题”到“建模”的能力进阶教学背景分析：追及问题为何是一元二次方程的“关键场景”？结语：追及问题中的“数学人生”543212025九年级数学上册一元二次方程追及问题课件作为一名深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终认为，数学知识的生命力在于与生活场景的联结。一元二次方程作为九年级数学的核心内容之一，其应用问题中最能体现“数学建模”思想的，莫过于追及问题——它既是对“速度、时间、路程”基本关系的深化，也是对“变量分析”“方程思想”的综合运用。今天，我将以“一元二次方程追及问题”为主题，从教学背景、目标设定、过程设计、总结升华四个维度展开，与各位同仁共同探讨如何让这一知识点在课堂上“活起来”。01教学背景分析：追及问题为何是一元二次方程的“关键场景”？1课标的要求与教材的定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域明确指出：“学生应经历从具体情境中抽象出数学符号的过程，掌握用方程表示数量关系的方法，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。”九年级上册“一元二次方程”章节中，追及问题作为“实际问题与一元二次方程”的典型载体，既是对七年级“一元一次方程追及问题”的延伸，也是高中“匀变速直线运动”“相对运动”等物理问题的数学基础。教材通过此类问题，重点培养学生“用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析现实世界”的核心素养。2学生的认知基础与潜在难点从知识储备看，学生已掌握：①速度、时间、路程的基本关系（(s=vt)）；②一元一次方程解决简单追及问题（如“同时不同地”“同地不同时”的一次方程模型）；③一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）。但从认知发展看，学生的难点集中在三点：动态关系的抽象：追及问题涉及两个运动主体，其时间、路程的“差量”需要用变量表示，部分学生易混淆“同时出发”与“先后出发”的时间关系；二次项的生成逻辑：为何追及问题会出现一元二次方程？学生常疑惑“速度差×时间=路程差”为何会升级为二次方程，需通过具体情境解释“速度变化”“多次追及”等因素；解的合理性检验：一元二次方程可能有两个解，但追及问题中需结合实际情境（如时间不能为负、路程不能超过限制）筛选有效解，这对学生的“数学应用意识”提出更高要求。02教学目标设定：从“解题”到“建模”的能力进阶教学目标设定：从“解题”到“建模”的能力进阶基于课程标准与学情分析，我将本节课的教学目标设定为“三维一体”：1知识与技能目标能准确识别追及问题中的“运动主体”“出发时间”“出发地点”“速度关系”等关键要素；01掌握用一元二次方程表示追及问题中“路程差=速度差×时间”的数学模型，能正确列出方程并求解；02理解一元二次方程解的合理性检验方法，能根据实际情境舍去不符合题意的解。032过程与方法目标通过“问题情境→抽象变量→建立方程→求解验证”的探究过程，体会“数学建模”的一般步骤；通过对比“一元一次方程追及问题”与“一元二次方程追及问题”的差异，理解“二次项”产生的根本原因（如速度变化、时间平方项等）；通过小组合作分析复杂追及问题（如环形跑道、变速追及），提升“分类讨论”“变量控制”的思维能力。3情感态度与价值观目标通过“校园追及”“交通出行”等贴近生活的情境，感受数学与现实的紧密联系，激发“用数学解决实际问题”的兴趣；在“解的合理性检验”中体会数学的严谨性，培养“具体问题具体分析”的科学态度；通过合作探究，增强团队协作意识，体会“思维碰撞”带来的学习乐趣。03教学过程设计：从“生活情境”到“数学模型”的渐进式探究教学过程设计：从“生活情境”到“数学模型”的渐进式探究为实现上述目标，我将教学过程设计为“情境导入→基础建模→变式拓展→总结提升”四个环节，层层递进，引导学生从“感知问题”到“自主建模”。1情境导入：用“身边的故事”激活探究兴趣“上周三课间操，小宇和小轩在操场发生了一件有趣的事：小宇提前2分钟从教室出发去操场，速度是60米/分钟；小轩发现小宇没带跳绳，1分钟后从教室出发追赶，速度是80米/分钟。结果小轩在操场门口追上了小宇——大家想不想知道教室到操场有多远？”通过学生熟悉的校园场景引入，既能唤醒生活经验，又能自然引出“追及问题”的核心要素：两个运动主体（小宇、小轩）、出发时间差（小宇提前2分钟，小轩延迟1分钟，实际时间差为1分钟）、速度差（80-60=20米/分钟）、路程差（两人最终路程相等）。设计意图：用“身边的故事”降低认知门槛，同时隐含“时间差”的复杂性（非简单的“提前X分钟”），为后续分析“变量关系”埋下伏笔。2基础建模：从“一元一次”到“一元二次”的逻辑延伸2.1回顾“一元一次方程追及问题”的模型首先，引导学生用一元一次方程解决上述情境中的问题：设小轩追赶时间为(t)分钟，则小宇的运动时间为(t+1)分钟（因小宇比小轩早出发1分钟）；两人路程相等：(80t=60(t+1))；解得(t=3)，教室到操场距离为(80×3=240)米。通过回顾，强化“路程相等”这一追及问题的核心等量关系（(s_追=s_被追)），并明确“时间差”的表示方法（被追者时间=追及者时间+时间差）。2基础建模：从“一元一次”到“一元二次”的逻辑延伸2.1回顾“一元一次方程追及问题”的模型3.2.2引入“一元二次方程”的必要性——当运动条件复杂化时“如果小轩出发时，发现自己的速度不是恒定的，而是因为着急，速度每分钟增加5米（即第1分钟80米/分钟，第2分钟85米/分钟，依此类推），那么该如何计算追赶时间？”此问题打破“匀速运动”的假设，引入“变速追及”，引导学生分析：设小轩追赶时间为(t)分钟，则其平均速度为(80+\frac{5(t-1)}{2})（等差数列求和公式），总路程为(\left[80+(80+5(t-1))\right]×\frac{t}{2}=\left(155+5t\right)×\frac{t}{2})；小宇的运动时间仍为(t+1)分钟，路程为(60(t+1))；2基础建模：从“一元一次”到“一元二次”的逻辑延伸2.1回顾“一元一次方程追及问题”的模型等量关系：(\left(155+5t\right)×\frac{t}{2}=60(t+1))；化简得：(5t^2+35t-120=0)（即(t^2+7t-24=0)），解得(t=\frac{-7±\sqrt{49+96}}{2}=\frac{-7±\sqrt{145}}{2})，取正根(t≈2.54)分钟。关键追问：“为什么这里会出现一元二次方程？”通过对比匀速与变速追及，学生逐步理解：当速度随时间变化（如匀加速、匀减速）时，路程与时间的关系不再是一次函数，而是二次函数，从而需要用一元二次方程建模。2基础建模：从“一元一次”到“一元二次”的逻辑延伸2.3归纳“一元二次方程追及问题”的建模步骤01通过上述案例，引导学生总结建模流程：02明确变量：设关键量（如追及时间(t)）为未知数；03分析运动过程：列出两个运动主体的速度、时间、路程表达式（注意时间差、速度变化等条件）；04建立等量关系：追及问题的核心是“路程相等”（同地出发）或“路程差等于初始距离”（异地出发）；05列方程并求解：将等量关系转化为一元二次方程，用因式分解、公式法等求解；06检验解的合理性：舍去负解或不符合实际情境的解（如时间过长导致已到达终点）。3变式拓展：在“复杂情境”中深化模型应用为巩固建模能力，设计以下三类变式问题，由易到难，覆盖不同追及场景：3变式拓展：在“复杂情境”中深化模型应用3.1类型一：同地不同时，速度恒定但涉及“往返追及”例题：小明从家出发以5米/秒的速度跑步去学校，10秒后，妈妈发现他忘带书包，以7米/秒的速度追赶。小明到达学校后立即以3米/秒的速度返回，最终在离家42米处被妈妈追上。求家到学校的距离。分析：设家到学校距离为(s)米，妈妈追赶时间为(t)秒；小明的运动分为两阶段：去学校时间(\frac{s}{5})秒，返回时间(t-10-\frac{s}{5})秒（需保证(t>10+\frac{s}{5})）；小明总路程：(s-3\left(t-10-\frac{s}{5}\right)=42)（离家42米处被追上，即返回后剩余路程为42米）；3变式拓展：在“复杂情境”中深化模型应用3.1类型一：同地不同时，速度恒定但涉及“往返追及”妈妈的路程：(7t=42)，解得(t=6)秒（但(t=6<10+\frac{s}{5})，矛盾，说明小明未到达学校即被追上）；修正模型：小明未到达学校，运动时间为(t+10)秒，路程(5(t+10)=7t)，解得(t=25)秒，路程(7×25=175)米，故家到学校距离大于175米（因小明未到达）。设计意图：通过“往返追及”打破“单向运动”的思维定式，强调“运动阶段”的划分，培养学生“分类讨论”的严谨性。3变式拓展：在“复杂情境”中深化模型应用3.2类型二：同时不同地，环形跑道上的“多次追及”例题：甲、乙两人在400米环形跑道上同时从A点出发，甲顺时针跑，速度6米/秒；乙逆时针跑，速度4米/秒。第一次相遇后，甲提速1米/秒，乙减速1米/秒，问第二次相遇时，甲总共跑了多少米？分析：第一次相遇：两人相向而行，路程和为400米，时间(t_1=\frac{400}{6+4}=40)秒，甲跑了(6×40=240)米；第一次相遇后，甲速度7米/秒，乙速度3米/秒，此时两人同向而行（因甲顺时针、乙逆时针，相遇后方向相反，实际变为同向）；第二次相遇时，甲需比乙多跑400米（环形跑道追及的核心：路程差为跑道周长），设时间为(t_2)，则(7t_2-3t_2=400)，解得(t_23变式拓展：在“复杂情境”中深化模型应用3.2类型二：同时不同地，环形跑道上的“多次追及”=100)秒；甲总共跑了(240+7×100=940)米。关键追问：“环形跑道追及与直线追及的区别是什么？”引导学生理解：直线追及的路程差是初始距离（或0），环形追及的路程差是跑道周长的整数倍（(n×400)，(n)为相遇次数）。3.3.3类型三：实际生活中的“变速追及”（联系物理匀变速运动）例题：一辆汽车以20米/秒的速度匀速行驶，司机发现前方100米处有一辆自行车以5米/秒的速度同向行驶，立即刹车（匀减速，加速度大小为2米/秒²）。问汽车是否会追上自行车？若会，何时追上？分析：3变式拓展：在“复杂情境”中深化模型应用3.2类型二：同时不同地，环形跑道上的“多次追及”设计意图：通过联系物理匀变速运动，体现数学与其他学科的交叉性，同时强化“判别式”在实际问题中的应用（判别式小于0表示无追及可能）。05等量关系：(20t-t^2=5t+100)，即(t^2-15t+100=0)；03设刹车后时间(t)秒追上，汽车的位移(s_汽=20t-\frac{1}{2}×2×t^2=20t-t^2)；01判别式(Δ=225-400=-175<0)，无实数解，说明汽车不会追上自行车。04自行车的位移(s_自=5t+100)（初始距离100米）；024总结提升：从“解题技巧”到“数学思想”的升华在学生完成变式练习后，引导其以小组为单位总结本课核心：知识层面：追及问题的关键是“路程相等”或“路程差=初始距离”，一元二次方程的出现源于速度与时间的二次关系（如变速运动、环形多次追及）；方法层面：建模步骤为“明确变量→分析过程→建立方程→求解检验”，需特别注意时间差、速度变化的表示；思想层面：数学建模是“用符号语言描述现实问题”的过程，体现了“抽象”“转化”“方程”等核心数学思想。04教学反思与作业设计：让学习从课堂延伸到生活1教学反思（融入个人教学情感）“每次讲解追及问题，我最欣慰的是看到学生从‘困惑于变量关系’到‘兴奋地列出方程’的转变。今年带的九（3）班学生，在分析环形跑道问题时，有位同学提出‘如果两人都顺时针跑，第二次相遇的路程差是不是800米？’这让我深刻意识到，学生的思维潜力远超预设——只要情境贴近生活、问题开放有度，他们完全能自主发现规律。当然，也有部分学生在‘时间差’的表示上反复出错，这提醒我在后续练习中需增加‘时间轴’画图训练，用直观图示辅助抽象思维。”2分层作业设计基础题：课本P25例3（同地不同时，匀速追及），要求画出“时间-路程”示意图；提高题：某快递车以40千米/小时的速度从甲地出发，1小时后，另一辆货车以60千米/小时的速度从甲地出发追赶，因路况原因，货车行驶半小时后需减速至50千米/小时，问货车能否在快递车到达乙地（距甲地200千米）前追上？拓展题：查阅资料，了解“交通法规中