2025 九年级数学上册圆的内公切线与外公切线课件

一、从生活现象到数学问题：公切线的引入演讲人01从生活现象到数学问题：公切线的引入02定义与图形辨析：内公切线与外公切线的本质区别03性质推导与公式建立：公切线的长度计算04从理论到实践：公切线的典型例题解析05作图与拓展：公切线的尺规作图与深层联系06总结与升华：公切线的核心价值与学习启示目录2025九年级数学上册圆的内公切线与外公切线课件01从生活现象到数学问题：公切线的引入从生活现象到数学问题：公切线的引入作为一线数学教师，我常在课堂上观察到学生对抽象几何概念的困惑——直到他们发现这些概念就藏在生活的细节里。比如，当我们骑自行车时，链条与前后齿轮的接触线；当两盏路灯的光线恰好“擦过”两个球形灯罩时，那束光线的轨迹；甚至孩子们玩的“弹珠碰撞”游戏中，两颗弹珠相切时的接触方向……这些看似无关的场景，都指向同一个数学概念：圆的公切线。今天，我们要深入探究的“内公切线”与“外公切线”，正是公切线家族中最核心的两类。它们不仅是圆的重要性质延伸，更是解决几何综合问题的关键工具。接下来，我们将从定义出发，逐步揭开它们的“真面目”。02定义与图形辨析：内公切线与外公切线的本质区别1公切线的基本定义要理解内、外公切线，首先需明确“公切线”的共性：同时与两个圆相切的直线，叫做这两个圆的公切线。这条直线与每个圆仅有一个公共点（切点），且在该点处与对应圆的半径垂直（根据圆的切线性质：切线垂直于过切点的半径）。2内公切线与外公切线的区分标准内公切线与外公切线的核心区别在于：两个圆相对于公切线的位置关系。1外公切线：两个圆位于公切线的同一侧（如图1-1）。此时，连接两圆圆心的线段（圆心距）与公切线形成的两个切点，可看作“站在公切线同侧的两个点”。2内公切线：两个圆分别位于公切线的两侧（如图1-2）。此时，圆心距与公切线的关系更像“跨过公切线的桥梁”，两圆被公切线“分隔”开。3（此处可配合黑板画图或PPT动态演示：用不同颜色标记两圆，外公切线绘制时两圆在切线同侧，内公切线绘制时两圆在切线异侧。）43学生易混淆点提醒教学中我发现，学生最初常因“内”“外”二字产生误解，比如认为“内公切线是两圆内部的切线”。实际上，“内”“外”并非指圆的内部或外部，而是两圆相对于切线的位置关系。通过以下对比表可辅助理解：|类型|两圆与切线的位置关系|切点连线与圆心距的位置关系|直观记忆技巧||------------|----------------------------|----------------------------------|------------------------||外公切线|两圆在切线同侧|切点连线与圆心距方向一致|“并肩站”在切线旁边|3学生易混淆点提醒|内公切线|两圆在切线异侧|切点连线与圆心距方向交叉|“隔着切线”相望|03性质推导与公式建立：公切线的长度计算性质推导与公式建立：公切线的长度计算明确了定义后，我们需要解决一个关键问题：如何计算公切线的长度？这是后续解题的核心工具，也是理解公切线与圆位置关系的基础。1公切线长度的通用推导思路无论内公切线还是外公切线，计算其长度的关键都是构造直角三角形，利用勾股定理求解。具体步骤如下（以两圆半径分别为(r_1)、(r_2)，圆心距为(d)为例）：连接圆心与切点：设公切线与圆(O_1)切于点(A)，与圆(O_2)切于点(B)，则(O_1A\perpAB)，(O_2B\perpAB)（切线性质）。构造平行线段：过(O_2)作(O_2C\parallelAB)，交(O_1A)于点(C)。此时，(O_2C=AB)（公切线长度），且(O_1C=|O_1A-O_2B|)（若为外公切线）或(O_1C=O_1A+O_2B)（若为内公切线）。1公切线长度的通用推导思路应用勾股定理：在(\triangleO_1O_2C)中，(O_1O_2=d)，(O_1C)为两半径的和或差，(O_2C)为公切线长度，因此：(O_2C^2+O_1C^2=O_1O_2^2)，即公切线长度(L=\sqrt{d^2-(r_1\pmr_2)^2})（“+”对应内公切线，“-”对应外公切线）。2内公切线与外公切线的长度公式通过上述推导，可总结出：外公切线长度：(L_{\text{外}}=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2})（当(d>|r_1-r_2|)时有效）内公切线长度：(L_{\text{内}}=\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2})（当(d>r_1+r_2)时有效）3公式的限制条件与几何意义公式中的根号需保证被开方数非负，这对应着两圆的位置关系：外公切线存在的条件是两圆外离、外切或相交（(d\geq|r_1-r_2|)），但仅当(d>|r_1-r_2|)时，外公切线为两条；当(d=|r_1-r_2|)（内切）时，外公切线仅有一条（两圆相切于一点，公切线即该切点处的切线）。内公切线存在的条件是两圆外离（(d>r_1+r_2)），此时有两条内公切线；当(d=r_1+r_2)（外切）时，内公切线仅有一条（两圆外切于一点，公切线即该切点处的切线）；若(d<r_1+r_2)，内公切线不存在。（此处可插入表格，对比不同位置关系下的公切线条数，帮助学生系统记忆。）04从理论到实践：公切线的典型例题解析从理论到实践：公切线的典型例题解析数学知识的价值在于应用。接下来，我们通过具体例题，巩固对公切线定义、性质及公式的理解。1基础计算：已知半径与圆心距，求公切线长度例1：已知两圆半径分别为3cm和5cm，圆心距为12cm。求它们的外公切线和内公切线长度。分析：首先判断公切线是否存在。外公切线要求(d>|r_1-r_2|=2cm)，内公切线要求(d>r_1+r_2=8cm)。题目中(d=12cm)均满足，因此两类公切线均存在。解答：外公切线长度：(L_{\text{外}}=\sqrt{12^2-(5-3)^2}=\sqrt{144-4}=\sqrt{140}=2\sqrt{35},\text{cm})1基础计算：已知半径与圆心距，求公切线长度内公切线长度：(L_{\text{内}}=\sqrt{12^2-(5+3)^2}=\sqrt{144-64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5},\text{cm})2综合应用：公切线与圆的位置关系结合例2：两圆外切于点(P)，外公切线(AB)分别切两圆于(A)、(B)，求证：(\angleAPB=90^\circ)。分析：需利用切线性质（半径垂直于切线）、外切圆的圆心距等于半径之和，以及三角形内角和等知识。证明：设两圆圆心为(O_1)、(O_2)，则(O_1O_2=r_1+r_2)（外切性质）。连接(O_1A)、(O_2B)，则(O_1A\perpAB)，(O_2B\perpAB)（切线性质），故(O_1A\parallelO_2B)。2综合应用：公切线与圆的位置关系结合过(P)作两圆的公切线(l)，则(l)垂直于(O_1O_2)（外切点处的公切线与圆心连线垂直）。由弦切角定理，(\anglePAB=\angleAPl)，(\anglePBA=\angleBPl)。由于(\angleAPl+\angleBPl=\angleAPB)，且(AB\parallell)（均垂直于(O_1O_2)），故(\anglePAB+\anglePBA=\angleAPB)。2综合应用：公切线与圆的位置关系结合在(\triangleAPB)中，(\anglePAB+\anglePBA+\angleAPB=180^\circ)，代入得(2\angleAPB=180^\circ)，故(\angleAPB=90^\circ)。3实际问题：公切线在工程测量中的应用例3：某工厂需在两个圆柱形储油罐之间铺设一条输油管道，要求管道与两个油罐的外沿相切（即管道为两圆的外公切线）。已知油罐半径分别为2米和3米，两油罐中心距离为10米，求管道的最短长度（即外公切线长度）。解答：直接应用外公切线长度公式，(L=\sqrt{10^2-(3-2)^2}=\sqrt{100-1}=\sqrt{99}\approx9.95,\text{米})。（此例题联系实际，能帮助学生体会数学的应用价值，增强学习兴趣。）05作图与拓展：公切线的尺规作图与深层联系1尺规作两圆的外公切线掌握公切线的作图方法，既能深化对定义的理解，也是解决几何作图题的基础。以两圆(O_1)（半径(r_1)）、(O_2)（半径(r_2)，(r_1>r_2)）为例，作外公切线的步骤如下：连接(O_1O_2)，并延长(O_1O_2)。以(O_1)为圆心，(r_1-r_2)为半径作圆，记为圆(C)。过(O_2)作圆(C)的切线，切点为(P)（可通过作(O_2P\perpO_1P)实现）。延长(O_1P)交圆(O_1)于点(A)，过(A)作(O_2B\parallelO_1A)（(B)在圆(O_2)上），则直线(AB)即为外公切线。2内公切线与外公切线的联系与区别通过对比可发现，内公切线与外公切线的作图原理相似，仅需将“半径差”改为“半径和”。这种“和”与“差”的变化，本质上反映了两圆相对于切线的位置差异，也对应着圆心距与半径和（差）的数量关系。06总结与升华：公切线的核心价值与学习启示总结与升华：公切线的核心价值与学习启示回顾本节课，我们从生活现象出发，逐步拆解了内公切线与外公切线的定义、性质、公式及应用。它们的核心价值体现在：几何关系的桥梁：公切线连接了两圆的位置关系（圆心距、半径）与几何图形的度量（长度、角度）。解决问题的工具：无论是计算长度、证明角度关系，还是解决实际工程问题，公切线都是关键突破口。作为教师，我想提醒同学们：学习几何的关键在于“数形结合”——看到文字定义时，脑海中要浮现图形；计算公式时，要明白每个符号对应的几