2025 九年级数学上册圆的折叠问题处理课件

课程导入：从生活到数学的折叠之美演讲人2025九年级数学上册圆的折叠问题处理课件目录01课程导入：从生活到数学的折叠之美02知识储备：圆与折叠的基础联结03核心方法：折叠问题的处理逻辑链核心方法：折叠问题的处理逻辑链典型例题：从单一到综合的实战演练04总结提升：折叠问题的本质与思维进阶05课程导入：从生活到数学的折叠之美课程导入：从生活到数学的折叠之美各位同学，当我们将一张圆形纸片轻轻对折，观察折痕与圆的交点时，是否注意到这一简单动作背后隐藏着丰富的几何关系？去年秋季的一次手工课上，有位同学将圆形窗花折叠后剪出对称图案，兴奋地问我：“老师，为什么折痕总能把圆分成两半？折痕和圆心有什么关系？”这个问题，正是我们今天要探讨的“圆的折叠问题”的起点。折叠，本质是轴对称变换；圆，是最完美的轴对称图形。当两者相遇，折痕（对称轴）与圆的半径、弦、弧、圆心角等元素之间会产生怎样的联系？这节课，我们将从基础出发，逐步揭开这类问题的解决密码。06知识储备：圆与折叠的基础联结知识储备：圆与折叠的基础联结要解决圆的折叠问题，必须先明确两个核心模块的知识关联：圆的基本性质与折叠（轴对称）的特征。1圆的核心性质回顾圆是平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合，其核心性质可归纳为“三线两角一关系”：三线：半径（r）、直径（d=2r）、弦（连接圆上两点的线段）；两角：圆心角（顶点在圆心的角）、圆周角（顶点在圆上的角，且两边与圆相交）；一关系：垂径定理——垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（逆定理也成立）。例如，若圆O中，直径CD垂直于弦AB于点E，则AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。这一定理是解决折叠问题中“折痕与弦的位置关系”的关键工具。2折叠（轴对称）的特征折叠操作中，原图形与折叠后的图形关于折痕成轴对称，因此满足以下特征：对应点对称：原图形上的点P与折叠后的点P'关于折痕l对称，即l是PP'的垂直平分线；线段等长：OP=OP'（若O是定点，如圆心），PP'⊥l，且l上任意一点到P和P'的距离相等；角度相等：原图形中的角与折叠后的对应角相等，对应弧的度数相等。例如，将圆上一点A沿折痕l折叠到点A'，则l是AA'的垂直平分线，OA=OA'（因OA和OA'均为半径），且弧AB与弧A'B'（若B对应B'）的度数相等。3圆与折叠的联结纽带两者的核心联结在于：折痕既是对称轴，又是圆的某些特殊线（如弦的垂直平分线、直径等）。例如，当折叠后圆心的对应点落在圆上时，折痕必是该对应点与原圆心连线的垂直平分线，且这条垂直平分线本身可能是圆的弦或直径。07核心方法：折叠问题的处理逻辑链核心方法：折叠问题的处理逻辑链解决圆的折叠问题，需遵循“定对象—找对称—联性质—建方程”的四步逻辑链，每一步都需细致分析。1第一步：确定折叠的“对象”与“目标”折叠问题中，通常有两类研究对象：弧的折叠：一段弧沿折痕l折叠后与另一段弧重合或相交，可能涉及圆心角的变化。点的折叠：圆上某点（如A）沿折痕l折叠后落在另一点（如A'），可能在圆上、圆内或圆外；例如，题目中若说“将⊙O沿折痕AB折叠，点C落在⊙O上的点C'”，则对象是点C，目标是找到折痕AB与圆的关系。2第二步：利用轴对称性质，标记“对应量”根据轴对称特征，需明确以下对应关系：点的对应：原点点P↔折叠点P'，折痕l是PP'的垂直平分线；线段的对应：OP=OP'（若O是定点），PP'的中点M在l上，且l⊥PP'；角度的对应：∠AOB=∠A'OB'（若A、B对应A'、B'），弧AB的度数=弧A'B'的度数。例如，若⊙O的半径为5，点A折叠后到点A'，且OA'=5（因A'在圆上），则AA'的中点M到O的距离可通过勾股定理计算（若已知AA'的长度）。3第三步：结合圆的性质，建立“几何关系”这一步是关键，需将折叠的对称性质与圆的垂径定理、圆心角定理等结合，常见关系包括：折痕与半径的关系：若折痕l是弦AB的垂直平分线，则l过圆心O（垂径定理逆定理）；折叠后点的位置与半径的关系：若折叠后点P'在圆上，则OP'=r（半径），结合OP=r（原半径），可得△OPP'为等腰三角形；弧的折叠与圆心角的关系：若弧AB折叠后与弧A'B'重合，则圆心角∠AOB=∠A'OB'，且折痕l是这两个角的角平分线。4第四步：通过代数或几何方法，求解未知量最终需将几何关系转化为方程或直接计算，常见方法有：勾股定理：在涉及直角三角形（如折痕与半径构成的直角三角形）时使用；方程思想：设未知量（如折痕到圆心的距离、弦长等），利用线段相等列方程；角度计算：通过圆心角与圆周角的关系（如圆周角是圆心角的一半）求解角度。例如，若已知⊙O半径为5，弦AB长6，将⊙O沿AB折叠后，求圆心O到折痕AB的距离。此时，折痕AB是弦，根据垂径定理，圆心到AB的距离d满足d²+(AB/2)²=r²，即d²+3²=5²，解得d=4。08典型例题：从单一到综合的实战演练典型例题：从单一到综合的实战演练为帮助同学们深入理解，我们选取三类典型问题，逐步提升难度。1基础型：点折叠后落在圆上例1：已知⊙O的半径为6，点A在⊙O上，将⊙O沿折痕l折叠，使点A落在⊙O上的点A'处，且AA'=6√3。求折痕l到圆心O的距离。分析步骤：确定对称关系：折痕l是AA'的垂直平分线，设AA'的中点为M，则l⊥AA'，且M在l上；利用垂径定理：OA=OA'=6（半径），△OAA'为等腰三角形，OM为底边AA'的高；计算OM长度：在△OMA中，AM=AA'/2=3√3，OA=6，由勾股定理得OM=√(OA²-AM²)=√(36-27)=3；1基础型：点折叠后落在圆上折痕l到O的距离：因M在l上，且l⊥AA'，所以O到l的距离即为OM=3（或考虑l是AA'的中垂线，O到l的距离等于OM，因M在l上）。答案：3。易错点提醒：部分同学易混淆“折痕到圆心的距离”与“中点到圆心的距离”，需明确折痕是AA'的中垂线，中点M在折痕上，因此O到折痕的距离即为OM的长度。2提升型：弧折叠后与直径重合例2：如图，⊙O的直径AB=10，将⊙O沿弦CD折叠，使弧AC折叠后恰好经过点O。求弦CD的长度。分析步骤：标记折叠后的对应点：设弧AC折叠后对应弧A'C，A'为A的对应点，因弧AC折叠后过O，故A'=O；确定对称关系：折痕CD是AA'（即AO）的垂直平分线，设AO的中点为M，则M在CD上，且CD⊥AO；计算相关线段长度：AO=AB/2=5（因AB是直径，半径为5），所以OM=AO/2=2.5（M是AO中点）；2提升型：弧折叠后与直径重合利用垂径定理求CD：CD是⊙O的弦，圆心O到CD的距离为OM=2.5，半径r=5，由垂径定理得CD=2√(r²-OM²)=2√(25-6.25)=2√18.75=2×(5√3)/2=5√3。答案：5√3。关键思路：弧折叠后过圆心，说明原弧上的点A折叠后对应圆心O，因此折痕是AO的垂直平分线，结合垂径定理即可求解。3综合型：多次折叠与角度结合例3：如图，⊙O中，∠AOB=120，将⊙O沿弦AC折叠，使点B落在弧AB上的点B'处，求∠B'AC的度数。分析步骤：折叠性质应用：折叠后，∠BAC=∠B'AC（对称轴AC平分∠BAB'），且AB=AB'（轴对称对应线段相等）；圆心角与圆周角关系：∠AOB=120，则弧AB的度数为120，圆周角∠ACB=60（圆周角是圆心角的一半）；构造等腰三角形：OA=OB=OA=OB'=r（半径），△OAB中，OA=OB，∠AOB=120，故∠OAB=∠OBA=30；3综合型：多次折叠与角度结合求∠B'AC：设∠BAC=α，则∠BAB'=2α，弧BB'的度数=2α×2=4α（圆心角是圆周角的2倍）；原弧AB度数为120，折叠后弧AB'=弧AB-弧BB'=120-4α；同时，弧AB'的度数也等于2∠ACB'（圆周角定理），而∠ACB'=∠ACB=60（折叠后角度不变），故弧AB'=120；因此120-4α=120，解得α=0？这显然矛盾，说明分析有误。修正思路：正确方法应为——折叠后，点B关于AC的对称点B'在弧AB上，故AC是BB'的垂直平分线，OB=OB'=r，△OBB'为等腰三角形；∠AOB=120，设∠B'AC=θ，则∠BAC=θ，∠BAB'=2θ，弧BB'的度数=2×2θ=4θ（圆心角为2×圆周角）；原弧AB度数为120，故弧AB'=弧AB-弧BB'=120-4θ；另一方面，OB'=OB=r，△OBB'中，3综合型：多次折叠与角度结合∠BOB'=弧BB'的度数=4θ，由等腰三角形性质，∠OBB'=(180-4θ)/2=90-2θ；又∠OBA=30（△OAB中），故∠ABB'=∠OBA+∠OBB'=30+90-2θ=120-2θ；而折叠后，∠AB'C=∠ABC（对应角相等），∠ABC=∠OBA=30（因OB=OC？不，C是弦AC上的点，需重新考虑）。正确解答：连接OB'，因折叠，AC是BB'的中垂线，故AB=AB'，∠BAC=∠B'AC=θ；OA=OB=OB'=r，△OAB和△OAB'均为等腰三角形；∠AOB=120，∠AOB'=∠AOB-∠BOB'=120-∠BOB'；又AB=AB'，故△ABO≌△AB'O（SSS），∠OAB=∠OAB'=30；因此∠BAB'=∠OAB'-∠OAB=0？显然错误，说明需换用另一种方法：3综合型：多次折叠与角度结合设圆心为O，连接OC，因AC是折痕，故OC⊥BB'（垂径定理），且OB=OB'=r；∠AOB=120，设∠B'AC=θ，则∠BAC=θ，∠OAC=∠OAB-θ=30-θ（因∠OAB=30）；在△AOC中，OA=OC=r，∠AOC=2∠ABC=2×(180-120)/2=60（圆周角定理），故△AOC为等边三角形，AC=r；折叠后，AB'=AB=2r×sin60=√3r（△OAB中，AB=2r×sin(120/2)=√3r）；在△AB'C中，AC=r，AB'=√3r，∠B'AC=θ，由余弦定理：B'C²=AB'²+AC²-2AB'×AC×cosθ=3r²+r²-2×√3r×r×cosθ=4r²-2√3r²cosθ；另一方面，B'C=BC（折叠对应线段相等），BC在△OBC中，∠BOC=∠AOB-∠AOC=120-60=60，故BC=r（等边三角形），因此4r²-2√3r²cosθ=r²，解得cosθ=√3/2，θ=30。3综合型：多次折叠与角度结合答案：30。总结：综合题需结合折叠的对称性、圆周角定理、余弦定理等，关键是找到对应线段和角度的等量关系，必要时通过辅助线（如连接圆心与对应点）构造特殊三角形。09总结提升：折叠问题的本质与思维进阶1核心本质圆的折叠问题，本质是轴对称变换与圆的几何性质的综合应用。折痕作为对称轴，既是对应点连线的垂直平分线，又可能是圆的直径、弦或其他特殊线；而圆的半径相等、垂径定理、圆心角与圆周角的关系，则为建立几何方程提供了关键依据。2思维进阶建议画图标记：遇到折叠问题，先画出原图形和折叠后的图形，用不同颜色标记对应点（如A→A'）、折痕l，明确已知量（半径、弦长、角度）和未知量；逆向推导：若直接求解困难，可从目标出发，思考需要哪些条件（如求弦长需圆心到弦的距离，求角度需找对应圆心角）；积累模型：常见模型包括“点折叠后落圆心”“弧折叠后过直径端点”“多次折叠角度叠加”，熟悉这些模型可快速找到解题突破口。3