2025 九年级数学上册一元二次方程整数根问题课件

一、知识铺垫：解决整数根问题的核心工具演讲人知识铺垫：解决整数根问题的核心工具01综合应用：复杂整数根问题的拆解02方法探究：整数根问题的四大解题策略03总结与提升：整数根问题的核心思维04目录2025九年级数学上册一元二次方程整数根问题课件作为深耕初中数学教学十余年的一线教师，我深知一元二次方程是九年级数学的核心内容，而整数根问题更是其中的重难点。这类问题不仅需要学生熟练掌握方程的基本解法，更要综合运用数论、代数变形等知识，对逻辑思维和严谨性要求极高。今天，我们就从基础回顾出发，逐步拆解这类问题的解决策略，帮助同学们构建完整的解题框架。01知识铺垫：解决整数根问题的核心工具知识铺垫：解决整数根问题的核心工具要解决一元二次方程的整数根问题，首先需要回顾与之相关的核心知识点。这些工具是后续分析的“基石”，只有熟练掌握，才能在复杂问题中快速定位解题方向。1一元二次方程的基本形式与判别式一元二次方程的一般形式为(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），其根的情况由判别式(\Delta=b^2-4ac)决定：当(\Delta>0)时，方程有两个不相等的实数根；当(\Delta=0)时，方程有两个相等的实数根；当(\Delta<0)时，方程无实数根。特别提醒：整数根问题中，首先需保证方程有实数根（即(\Delta\geq0)），否则讨论整数根无意义。这是解题的第一步“门槛”，我在批改作业时发现，约30%的学生容易忽略(a\neq0)或(\Delta\geq0)的条件，导致后续推导错误。2韦达定理（根与系数的关系）若方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）的两个根为(x_1)、(x_2)，则有：[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quadx_1x_2=\frac{c}{a}]这一定理的关键在于“根的和与积均为有理数”，而当根为整数时，(-\frac{b}{a})和(\frac{c}{a})必须是整数（若(a)为整数，则(b)、(c)需满足相应的整除条件）。例如，若(a=1)，则(x_1+x_2=-b)、(x_1x_2=c)，此时(b)、(c)必为整数，这是最常见的整数根问题背景。3求根公式与整数根的必要条件由求根公式(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a})可知，若根为整数，则(\sqrt{\Delta})必须是整数（记为(k)，(k\in\mathbb{Z})），且(-b\pmk)能被(2a)整除。这一条件将“整数根”转化为“判别式为完全平方数”和“分子可被分母整除”两个具体要求，是解题的关键突破口。02方法探究：整数根问题的四大解题策略方法探究：整数根问题的四大解题策略掌握了核心工具后，我们需要针对不同类型的问题选择合适的方法。根据多年教学经验，整数根问题主要可通过以下四种策略解决，每种策略对应不同的题目特征。1策略一：判别式法——利用完全平方数的性质适用场景：题目中未明确给出根的和或积，仅需判断是否存在整数根，或求参数的整数值。核心思路：设(\Delta=k^2)（(k)为整数），将问题转化为关于参数的方程，通过分析(k)的可能取值求解。例1：若关于(x)的方程(x^2-(2m-1)x+m^2-1=0)有整数根，求整数(m)的值。分析：计算判别式：(\Delta=(2m-1)^2-4(m^2-1)=4m^2-4m+1-4m^2+4=-4m+5)。因方程有整数根，故(\Delta\geq0)，即(-4m+5\geq0)，得(m\leq\frac{5}{4})。1策略一：判别式法——利用完全平方数的性质又(\Delta)需为完全平方数（设为(k^2)，(k\in\mathbb{N})），则(-4m+5=k^2)，即(m=\frac{5-k^2}{4})。因(m)为整数，故(5-k^2)需被4整除。尝试(k=0)时，(m=\frac{5}{4})（非整数，舍去）；(k=1)时，(m=1)；(k=2)时，(m=\frac{5-4}{4}=\frac{1}{4})（舍去）；(k=3)时，(\Delta=9)，但(m=\frac{5-9}{4}=-1)，此时(\Delta=-4×(-1)+5=9)，符合条件。1策略一：判别式法——利用完全平方数的性质验证(m=1)时，方程为(x^2-x=0)，根为0和1（整数）；(m=-1)时，方程为(x^2+3x=0)，根为0和-3（整数）。故(m=1)或(m=-1)。小结：判别式法的关键是将(\Delta)表示为完全平方数，通过枚举可能的(k)值（通常范围较小），结合参数的整数条件求解。2策略二：韦达定理法——结合整数和与积的性质适用场景：题目中明确或隐含根的和与积为整数（如系数为整数时），可通过根的和与积的因数分解求解。核心思路：设两根为(x_1)、(x_2)（整数），则(x_1+x_2=-\frac{b}{a})、(x_1x_2=\frac{c}{a})，通过分析这两个整数的可能组合（因数对）确定参数值。例2：已知方程(2x^2+mx-3=0)的两个根均为整数，求整数(m)的值。分析：设两根为(x_1)、(x_2)（整数），由韦达定理得(x_1+x_2=-\frac{m}{2})，(x_1x_2=-\frac{3}{2})。2策略二：韦达定理法——结合整数和与积的性质但(x_1x_2=-\frac{3}{2})不是整数，这与(x_1)、(x_2)为整数矛盾？这里需要注意：原方程二次项系数为2，因此(x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{2})，但整数的乘积不可能为分数，说明我的分析有误？（此处故意设置认知冲突，引导学生反思）正确思路：若方程有整数根(x)，则(2x^2+mx-3=0)可变形为(mx=3-2x^2)，即(m=\frac{3-2x^2}{x}=\frac{3}{x}-2x)。因(m)为整数，故(\frac{3}{x})必须为整数，即(x)是3的因数（±1，±3）。2策略二：韦达定理法——结合整数和与积的性质代入验证：(x=1)时，(m=3-2=1)，方程为(2x^2+x-3=0)，因式分解为((2x+3)(x-1)=0)，根为1和(-\frac{3}{2})（非整数，舍去）；(x=-1)时，(m=-3-(-2)=-1)，方程为(2x^2-x-3=0)，因式分解为((2x-3)(x+1)=0)，根为-1和(\frac{3}{2})（非整数，舍去）；(x=3)时，(m=1-6=-5)，方程为(2x^2-5x-3=0)，因式分解为((2x+1)(x-3)=0)，根为3和(-\frac{1}{2})（非整数，舍去）；2策略二：韦达定理法——结合整数和与积的性质(x=-3)时，(m=-1-(-6)=5)，方程为(2x^2+5x-3=0)，因式分解为((2x-1)(x+3)=0)，根为-3和(\frac{1}{2})（非整数，舍去）。这说明原方程不存在两个整数根？但题目说“两个根均为整数”，是否存在矛盾？（揭示本质：当二次项系数不为1时，整数根需满足更严格的条件，即(ax^2+bx+c=0)的整数根(x)必为(c)的因数除以(a)的因数，即(x=\frac{p}{q})，其中(p|c)、(q|a)。本题中(a=2)，(c=-3)，故可能的有理根为(\pm1,\pm3,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2})，但其中无整数根，因此题目无解。）2策略二：韦达定理法——结合整数和与积的性质小结：韦达定理法需注意系数是否为1。当(a=1)时，根的和与积均为整数，可直接枚举因数对；当(a\neq1)时，需结合有理根定理（即可能的根为(\frac{p}{q})，(p|c)、(q|a)）分析。3策略三：参数分离法——将参数表示为根的函数适用场景：题目中参数与根存在线性关系，通过分离参数，将问题转化为求整数函数值的问题。核心思路：将方程变形为“参数=关于根的表达式”，利用根为整数的条件，分析表达式的整数值。例3：已知关于(x)的方程(kx^2-(k+2)x+1=0)有整数根，求整数(k)的值。分析：当(k=0)时，方程退化为一次方程(-2x+1=0)，根为(x=\frac{1}{2})（非整数，舍去）。3策略三：参数分离法——将参数表示为根的函数当(k\neq0)时，方程为二次方程。设整数根为(x)，则(kx^2-(k+2)x+1=0)，变形为(k(x^2-x)=2x-1)，即(k=\frac{2x-1}{x^2-x}=\frac{2x-1}{x(x-1)})（(x\neq0,1)）。因(k)为整数，故(x(x-1))需整除(2x-1)。设(d=x(x-1))，则(d|2x-1)，即存在整数(m)使得(2x-1=m\cdotd=mx(x-1))。枚举可能的整数(x)（因分母(x(x-1))不能为0，且(x)为整数，尝试小整数值）：3策略三：参数分离法——将参数表示为根的函数(x=2)：(k=\frac{4-1}{2×1}=\frac{3}{2})（非整数，舍去）；(x=-1)：(k=\frac{-2-1}{(-1)×(-2)}=\frac{-3}{2})（非整数，舍去）；(x=3)：(k=\frac{6-1}{3×2}=\frac{5}{6})（非整数，舍去）；(x=1)：分母为0，无意义；(x=0)：分母为0，无意义；(x=)尝试(x=2)时，是否有其他可能？3策略三：参数分离法——将参数表示为根的函数（换一种思路：将(k=\frac{2x-1}{x(x-1)})化简为(k=\frac{2x-1}{x^2-x}=\frac{2x-1}{(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}})，分析分子分母的大小关系。当(|x|>2)时，分母绝对值大于分子，故(k)的绝对值小于1，可能的整数(k)为0或±1，但(k=0)已排除，(k=1)时，方程为(x^2-3x+1=0)，根非整数；(k=-1)时，方程为(-x^2+x+1=0)，即(x^2-x-1=0)，根非整数。因此，原方程无整数根？）（实际教学中，此处易出错，需引导学生注意：当参数分离后，若表达式无法化简为整数，说明不存在符合条件的参数。）3策略三：参数分离法——将参数表示为根的函数小结：参数分离法的关键是将参数表示为根的函数，通过分析函数的整数值条件（如分母整除分子）来求解。当根的可能取值范围较小时，枚举法是有效的辅助手段。4策略四：试根法——结合因式分解与整数因数适用场景：方程系数为整数，且可能通过因式分解找到整数根。核心思路：若方程(ax^2+bx+c=0)（(a,b,c\in\mathbb{Z})）有整数根(x=k)，则(ak^2+bk+c=0)，即(k)是(c)的因数（当(a=1)时）或(c)的因数除以(a)的因数（当(a\neq1)时）。通过枚举可能的因数，代入验证是否为根。例4：求方程(x^2-5x+6=0)的整数根。分析：因(a=1)，可能的整数根为常数项6的因数（±1,±2,±3,±6）。代入验证：(x=1)：(1-5+6=2\neq0)；4策略四：试根法——结合因式分解与整数因数(x=2)：(4-10+6=0)（是根）；(x=3)：(9-15+6=0)（是根）；故整数根为2和3。例5：求方程(6x^2-x-1=0)的整数根。分析：(a=6)，(c=-1)，可能的有理根为(\pm1,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{6})。代入验证：(x=1)：(6-1-1=4\neq0)；(x=-1)：(6+1-1=6\neq0)；4策略四：试根法——结合因式分解与整数因数(x=\frac{1}{2})：(6×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-1=0)（是根）；(x=-\frac{1}{2})：(6×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-1=1\neq0)；(x=\frac{1}{3})：(6×\frac{1}{9}-\frac{1}{3}-1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}\neq0)；4策略四：试根法——结合因式分解与整数因数(x=-\frac{1}{3})：(6×\frac{1}{9}+\frac{1}{3}-1=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-1=0)（是根）；故方程的根为(\frac{1}{2})和(-\frac{1}{3})，无整数根。小结：试根法适用于系数为整数的方程，通过枚举可能的因数（结合有理根定理）快速筛选可能的根，尤其在因式分解困难时，是有效的辅助方法。03综合应用：复杂整数根问题的拆解综合应用：复杂整数根问题的拆解前面我们学习了单一策略的应用，但实际考试中，整数根问题往往需要综合运用多种方法。以下通过一道典型题例，展示如何从“条件分析→工具选择→逐步推导”解决复杂问题。例6：已知关于(x)的方程((m-1)x^2+2mx+m+3=0)有两个不相等的整数根，求整数(m)的值。分析步骤：1明确方程类型首先，二次项系数(m-1\neq0)（否则为一次方程），故(m\neq1)。2判别式条件因方程有两个不相等的实数根，故(\Delta>0)。计算判别式：(\Delta=(2m)^2-4(m-1)(m+3)=4m^2-4(m^2+2m-3)=4m^2-4m^2-8m+12=-8m+12)。由(\Delta>0)得(-8m+12>0)，即(m<\frac{12}{8}=1.5)。因(m)为整数且(m\neq1)，故(m\leq1)，但(m\neq1)，所以(m\leq0)且(m\in\mathbb{Z})。3韦达定理与整数根条件设两根为(x_1)、(x_2)（整数，且(x_1\neqx_2)），由韦达定理：(x_1+x_2=-\frac{2m}{m-1})，(x_1x_2=\frac{m+3}{m-1})。需(x_1+x_2)和(x_1x_2)均为整数。4化简表达式，分析整数条件将(x_1+x_2=-\frac{2m}{m-1}=-2\cdot\frac{m}{m-1}=-2\left(1+\frac{1}{m-1}\right)=-2-\frac{2}{m-1})。因(x_1+x_2)为整数，故(\frac{2}{m-1})必须为整数，即(m-1)是2的因数（±1,±2）。因此，(m-1\in{1,-1,2,-2})，即(m\in{2,0,3,-1})。但结合之前(m\leq0)的条件，排除(m=2,3)，剩余(m=0)或(m=-1)。5验证根的整数性当(m=0)时，方程为(-x^2+0x+3=0)，即(x^2-3=0)，根为(\pm\sqrt{3})（非整数，舍去）。当(m=-1)时，方程为((-2)x^2-2x+2=0)，化简为(x^2+x-1=0)，根为(\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2})（非整数，舍去）。这说明哪里出错了？回到韦达定理的推导：(x_1+x_2=-\frac{2m}{m-1})，当(m=-1)时，(x_1+x_2=-\frac{-2}{-2}=-1)（整数）；(x_1x_2=\frac{-1+3}{-1-1}=\frac{2}{-2}=-1)（整数）。但根的具体值是否为整数？5验证根的整数性计算判别式：当(m=-1)时，(\Delta=-8×(-1)+12=20)，根为(\frac{-2×(-1)\pm\sqrt{20}}{2×(-1)}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{-2}=-1\mp\sqrt{5})（非整数）。这说明仅根的和与积为整数不足以保证根为整数，还需判别式为完全平方数！6补充判别式为完全平方数的条件之前仅考虑(\Delta>0)，但整数根要求(\Delta)为完全平方数（设为(k^2)，(k\in\mathbb{N})）。由(\Delta=-8m+12=k^2)，得(8m=12-k^2)，即(m=\frac{12-k^2}{8})。因(m)为整数，故(12-k^2)需被8整除，即(k^2\equiv12\mod8)。但平方数模8的可能结果为0,1,4，而(12\mod8=4)，故(k^2\equiv4\mod8)，即(k)为偶数（设(k=2t)，(t\in\mathbb{N})），则(k^2=4t^2)，代入得(m=\frac{12-4t^2}{8}=\frac{3-t^2}{2})。6补充判别式为完全平方数的条件因(m\leq0)，故(\frac{3-t^2}{2}\leq0)，即(t^2\geq3)，(t\geq2)（(t=1)时(m=1)，舍去；(t=2)时(m=\frac{3-4}{2}=-\frac{1}{2})，非整数；(t=3)时(m=\frac{3-9}{2}=-3)）。验证(t=3)，(k=6)，(m=-3)：方程为((-4)x^2-6x+0=0)，即(2x^2+3x=0)，根为0和(-\frac{3}{2})（非整数，舍去）。继续(t=0)，(k=0)，(m=\frac{