2025年中考数学真题知识点分类之锐角三角函数（一）

2025年中考数学真题知识点分类之锐角三角函数（一）一．选择题（共4小题）1．（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（）A．223 B．3 C．24 2．（2025•广西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（）A．710 B．37 C．310 3．（2025•云南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（）A．15 B．112 C．113 4．（2025•自贡）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB=12，A（﹣4，3），则点A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4）二．填空题（共7小题）5．（2025•绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：2（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是．6．（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为m（结果保留根号）．7．（2025•河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为．（参考数据：sin15°=6-24，眼肌运动训练图使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行．8．（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为m．9．（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝．10．（2025•眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）11．（2025•上海）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数）三．解答题（共4小题）12．（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度数；（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）13．（2025•广东）综合与实践【阅读材料】如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有asinA【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．测量过程：步骤1：如图2，在空旷地找一点C；步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m．【问题解决】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．（参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）【评价反思】（2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．14．（2025•吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．项目报告表时间：2025年5月29日项目分析活动目标测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度测量工具测角仪、皮尺灰⁢实施任务一测量数据以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．1．测出测角仪的高CD＝1.4m．2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°．3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m．任务二计算实际高度根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精项到1m）（参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）任务三换算模型高度将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打即模型的高度约为cm．（结果精确到1cm）项目结果为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．15．（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）

2025年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（一）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）题号1234答案DBDB一．选择题（共4小题）1．（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（）A．223 B．3 C．24 【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】D【分析】根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米，∴sinA=BC故选：D．【点评】本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键．2．（2025•广西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（）A．710 B．37 C．310 【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；模型思想．【答案】B【分析】直接利用正弦的定义求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∴sinB=AC故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦的定义是解决问题的关键．3．（2025•云南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（）A．15 B．112 C．113 【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．【答案】D【分析】根据正弦的定义即可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，∴sinA=BC故选：D．【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键．4．（2025•自贡）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB=12，A（﹣4，3），则点A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4）【考点】解直角三角形；坐标与图形变化﹣平移．【专题】一次方程（组）及应用；平面直角坐标系．【答案】B【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到AHBK=OHAK=OAAB，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK＝8，AK【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO＝∠BKA＝90°＝∠BAO，∴∠BAK＝∠AOH＝90°﹣∠HAO，∴△AHO∽△BKA，∴AHBK∴∠A＝90°，tan∠ABO=12，A（﹣∴OH＝3，AH＝4，OAAB∴4BK∴BK＝8，AK＝6，∵将△ABO平移，∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6，∴E（6，0），∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E，∴将点O（0，0）先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G，∴G（10，﹣3）；故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换一平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．二．填空题（共7小题）5．（2025•绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：2（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是153m．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】153m．【分析】根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵斜坡AB的斜面坡度i＝1：2，∴BC：AC＝1：2，∵BC＝15m，∴AC＝152m，由勾股定理得：AB=BC2+AC故答案为：153m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．6．（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为1203m（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】1203．【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：EF∥AB，从而可得∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得：EF∥AB，∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，在Rt△ACD中，CD＝90m，∴AD=CDtan60°=903在Rt△BCD中，BD=CDtan30°=903∴AB＝AD+BD＝1203（m），∴湖泊两端A，B的距离为1203m，故答案为：1203．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2025•河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为6+22（参考数据：sin15°=6-24，眼肌运动训练图使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行．【考点】解直角三角形的应用；规律型：图形的变化类．【专题】规律型；解直角三角形及其应用．【答案】6+【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，首先得到线段AB的长与其他的都不相等，然后求出∠BOD＝75°，解直角三角形求出BD=6【解答】解：如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，眼肌运动训练图使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行．由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，∵其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，∴360°÷12＝30°，∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°，∴∠AOB＝30°×5＝150°，∴∠OAB=∵OD⊥AB，∴∠BOD＝75°，∴sin∠即6+∴BD=6∵OA＝OB，OD⊥AB，∴AB=2BD=6∴这条线段的长为6+故答案为：6+【点评】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．8．（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为490m．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】490．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABP中，∵∠B＝90°，AP＝500m，∠A＝α，∴AB＝AP•cosα＝500×0.98＝490（m），答：A处到B处的距离为490m．故答案为：490．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．9．（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝49【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】49【分析】延长AN，交直线BC于点E，设DN＝xcm，则CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得∠DAN＝∠AEF＝α，然后根据正切的定义计算即可得．【解答】解：如图，延长AN，交直线BC于点E，由题意得：AD＝BC＝CD＝9cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG，设DN＝xcm，则CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为（9﹣x）cm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和，∴9×解得x＝4，即DN＝4cm，∵AN∥FG，∴∠AEF＝∠F＝α，∵AD∥BC，∴∠DAN＝∠AEF＝α，∴tanα=tan∠故答案为：49【点评】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．10．（2025•眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是1.8m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】1.8．【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，求出AD即可．【解答】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC•sin65°＝2×0.91≈1.8（m），∴人字梯顶端离地面的高度1.8m．故答案为：1.8．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2025•上海）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为1.2．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数）【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】1.2m．【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E．由题意易知四边形CDBE是矩形，∴CD＝BE＝1.8m，BD＝CE．∴AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9m．在Rt△ACE中，∵tanA=CE∴CE＝tanA•AE≈1.33×0.9＝1.197≈1.2（m）．∴BD＝1.2m．故答案为：1.2m．【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定是解决本题的关键．三．解答题（共4小题）12．（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度数；（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）30°；（2）景点C与景点D之间的距离为（1200-4003【分析】（1）由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，进而可以解决问题；（2）根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图，由题意点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上，∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°，∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°；（2）方法一：∵∠CBE＝60°，∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，由（1）得∠ACB＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵AB＝800m，∴AB＝AC＝800m，在Rt△ACM中，sin∠∴AM=AC⋅sin∠CM=AC⋅cos∠∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴DM＝BM＝1200m，∴DC=DM-∴景点C与景点D之间的距离为(1200-方法二：∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM，∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°．设AM＝xm，∴AC＝2xm，∴CM=3AM=3x（在Rt△BCM中，tan∠即3=解得x＝400，经检验得x＝400是原方程的解，∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴BM＝DM＝1200m，∴DC=DM-∴景点C与景点D之间的距离为（1200-4003【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．13．（2025•广东）综合与实践【阅读材料】如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有asinA【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．测量过程：步骤1：如图2，在空旷地找一点C；步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m．【问题解决】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．（参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）【评价反思】（2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】（1）499m；（2）见解析．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝86°，根据题意可得BCsinA=AB（2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可．【解答】解：（1）∵∠A≈43°，∠B≈51°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B≈180°﹣43°﹣51°＝86°，由题意得，BCsinA又∵BC≈341m，∴AB=BCsinC答：A，B两岛间的距离为499m；（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点C，使得△ABC是锐角三角形；步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数；步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC＝am，AC＝bm．计算过程：过点A作AD⊥BC，则∠ADC＝∠ADB＝90°，∵在Rt△ACD中，sinC=ADAC，∴AD＝bsinC（m），CD＝bcosC（m），∴BD＝BC﹣CD＝（a﹣bcosC）（m），∵在Rt△ACD中，AD2+BD2＝AB2，∴AB=(bsinC答：A，B两岛间的距离为(bsinC【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．14．（2025•吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．项目报告表时间：2025年5月29日项目分析活动目标测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度测量工具测角仪、皮尺灰⁢实施任务一测量数据以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．1．测出测角仪的高CD＝1.4m．2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°．3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m．任务二计算实际高度根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精项到1m）（参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）任务三换算模型高度将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打即模型的高度约为19cm．（结果精确到1cm）项目结果为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】任务一，该城市规划展览馆AB的高度约为77m；任务二，19．【分析】任务一，在Rt△AEC中利用三角函数求出AE长，结合测角仪的高度，得到结果；任务二，利用所给的比例对计算出的结果进行换算即可．【解答】解：任务二，计算实际高度，∵依题意，四边形EBDC为矩形，∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m，∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°，∴AE＝CE•tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m），∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m），答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m；任务三，换算模型高度，设3D打即模型的高度为xm，∵x：77＝1：400，解得x＝0.1925，∴3D打即模型的高度为0.1925m，∵0.1925m＝19.25cm≈19cm，∴3D打即模型的高度约为19cm，故答案为：19．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．15．（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】信号杆的高AB为16m．【分析】理解题意，得出∠DBH＝∠BDE＝72.5°，再在Rt△DBH中，运用HD＝BD×sin72.5°，BH＝BD×cos72.5°，代入数值进行计算，得出HD，BH的值，然后证明四边形EDHI是矩形，故EI＝HD＝20.9m，根据∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，得∠EAI＝45°，AI＝EI＝20.9m，把数值代入AB＝AI+IH﹣BH进行计算，即可作答．【解答】解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：∵AB，DE均与水平线FC垂直，∴DE∥AC，∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°，∵DH⊥AC，∴∠DHI＝90°，在Rt△DBH中，BD=22m，则HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m），在Rt△DBH中，BD＝22m，cos72.5°则BH＝BD×cos72.5°＝22×0.30＝6.6（m），∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC，∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°，∴四边形EDHI是矩形，∴EI＝HD＝20.9m，∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，∴∠EAI＝45°，∴AI＝EI＝20.9m，∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m），信号杆的高AB为16m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

考点卡片1．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x