2026届湖南省汨罗第二中学高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2026届湖南省汨罗第二中学高一数学第一学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若两直线与平行，则它们之间的距离为A. B.C. D.2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.3．下列表示正确的是A.0∈N B.∈NC.–3∈N D.π∈Q4．函数的部分图象如图所示，则A.B.C.D.5．△ABC的内角、、的对边分别为、、,若,,,则（）A. B.C. D.6．设，满足约束条件，且目标函数仅在点处取得最大值，则原点到直线的距离的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数取值范围为A. B.C. D.8．已知是角的终边上的点，则（）A. B.C. D.9．对于空间两不同的直线，两不同的平面，有下列推理：（1），（2），（3）（4），（5）其中推理正确的序号为A.（1）（3）（4） B.（2）（3）（5）C.（4）（5） D.（2）（3）（4）（5）10．已知函数的图像如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，已知，则______.12．已知，则的值是________，的值是________.13．如图，扇形的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角的弧度数为______14．不等式的解集为___________.15．若函数在区间内有最值，则的取值范围为_______16．已知函数同时满足以下条件：①定义域为；②值域为；③.试写出一个函数解析式___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知定义域为的奇函数.（1）求的值；（2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数.18．（1）设函数.若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.19．已知函数，.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.20．如图，在正方体中，、分别为、的中点，与交于点.求证：（1）；（2）平面平面.21．已知函数.（1）若，求的定义域（2）若为奇函数，求a值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】根据两直线平行求得值，利用平行线间距离公式求解即可【详解】与平行,,即直线为,即故选D【点睛】本题考查求平行线间距离.当直线与直线平行时,；平行线间距离公式为，因此两平行直线需满足,2、A【解析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得；【详解】解：对于A：定义域为，且，即为偶函数，且在上单调递增，故A正确；对于B：定义域为，且，即为偶函数，在上单调递减，故B错误；对于C：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故C错误；对于D：定义域为，但是，故为非奇非偶函数，故D错误；故选：A3、A【解析】根据自然数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.【详解】N表示自然数集，在A中，0∈N，故A正确；在B中，，故B错误；在C中，–3∉N，故C错误；Q表示有理数集，在D中，π∉Q，故D错误故选A【点睛】本题考查自然数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.4、A【解析】由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.【考点】三角函数的图象与性质【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值5、C【解析】由已知利用余弦定理可求的值,利用等腰三角形的性质可求的值.【详解】解：∵,,,∴由余弦定理可得,求得：c＝1.∴∴.故选：C.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中应用,属于基础题.6、B【解析】作出可行域，由目标函数仅在点取最大值，分，，三种情况分类讨论，能求出实数的取值范围．然后求解到直线的距离的表达式，求解最值即可详解】解：由约束条件作出可行域，如右图可行域，目标函数仅在点取最大值，当时，仅在上取最大值，不成立；当时，目标函数的斜率，目标函数在取不到最大值当时，目标函数的斜率，小于直线的斜率，综上，原点到直线的距离则原点到直线的距离的取值范围是：故选B【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意线性规划知识的合理运用.7、B【解析】分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.【详解】对于函数，当时，，由，可得，当时，，由，可得，对任意，，对于函数，，，，对于，使得，对任意，总存在，使得成立，，解得，实数的取值范围为，故选B【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.8、A【解析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】因为为角终边上的一点，所以，，，所以故选：A9、C【解析】因为时，可以在平面内，所以（1）不正确；因为时，可以在平面内，所以（2）不正确；因为时可以在平面内，所以（3）不正确；根据线面垂直的性质定理可得，（4）正确；根据线面平行的性质及线面垂直的性质可得（5）正确，推理正确的序号为（4）（5），故选C.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.10、B【解析】由函数的图象可得，函数的图象过点，分别代入函数式，，解得，函数与都是增函数，只有选项符合题意，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、11【解析】由.12、①.②.【解析】将化为可得值，通过两角和的正切公式可得的值.【详解】因为，所以；，故答案为：，.13、【解析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，因为扇形的面积是1，它的弧长是2，由扇形的面积公式和弧长公式，可得，解得，.故答案为2.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解析】根据对数函数的单调性解不等式即可.【详解】由题设，可得：，则，∴不等式解集为.故答案：.15、【解析】当函数取得最值时有，由此求得的值，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围（含有），对赋值求得的具体范围.【详解】由于函数取最值时，，，即，又因为在区间内有最值.所以时，有解，所以，即，由得，当时，，当时，又，，所以的范围为.【点睛】本小题主要考查三角函数最值的求法，考查不等式的解法，考查赋值法，属于中档题.16、或（答案不唯一）【解析】由条件知，函数是定义在R上的偶函数且值域为，可以写出若干符合条件的函数.【详解】函数定义域为R，值域为且为偶函数，满足题意的函数解析式可以为：或【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域、奇偶性以，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）见解析【解析】：（1）利用奇函数定义f（-x）=-f（x）中特殊值求a的值；（2）按按取点，作差，变形，判断的过程来即可试题解析：（1）∵是定义域为的奇函数，∴，即，∴，即解得：.（2）由（1）知，，任取，且，则由，可知：∴，，，∴，即.∴函数在上是增函数.点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.18、（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）由题设知对一切实数恒成立，根据二次函数的性质列不等式组求参数范围.（2）分类讨论法求一元二次不等式的解集.【详解】（1）由题设，对一切实数恒成立，当时，在上不能恒成立；∴，解得.（2）由，∴当时，解集为；当时，无解；当时，解集为；19、(1)[0,2]；(2)(－∞，)；(3)答案见解析.【解析】（1）由h(x)＝－2(log3x－1)2＋2，根据log3x∈[0,2]，即可得值域；（2）由，令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，得(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，利用二次函数求函数的最小值即可；（3）由，假设最大值为0，因为,则有，求解即可.试题解析：（1）h(x)＝(4－2log3x)·log3x＝－2(log3x－1)2＋2，因为x∈[1,9]，所以log3x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2].（2）由，得(3－4log3x)(3－log3x)>k，令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，令，其对称轴为，所以当时，的最小值为，综上，实数k的取值范围为(－∞，)．.（3）假设存在实数，使得函数的最大值为0，由.因为,则有，解得，所以不存在实数，使得函数的最大值为0.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.20、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）证明出四边形为平行四边形，可证得结论成立；（2）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.【