第1章 有理数（期末复习知识清单）（原卷版）-沪科版(2024)七上

第1章有理数（5知识&7题型&5易错&4方法清单）.【清单01】有理数的基础概念有理数概念有理数：整数【清单02】有理数的分类有理数的分类按定义分【清单03】有理数的运算法则有理数的运算加法【清单04】有理数的混合运算顺序有理数混合运算顺序1.先算【清单05】科学记数法与近似数科学记数法：把一个数表示成a×【题型一】有理数的概念辨析【例1】（2025秋•新华区期中）在数2，0，﹣3.7，π，4.8中，有理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2025秋•青羊区期中）下列有理数中，是负整数的是（）A．0 B．﹣0.2 C．﹣2025 D．-【变式1-2】（2025秋•商河县期中）在310，15，﹣2.6，0，﹣103，-32A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型二】数轴、相反数与绝对值的应用【例2】（2025秋•北京期中）如图，点A，B在数轴上表示的数分别是a，b．若a，b互为相反数，且AB＝9，则a的值为（）A．4.5 B．﹣4.5 C．9 D．﹣9【变式2-1】（2024秋•漳平市期末）已知，a，b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是（）A． B． C． D．【变式2-2】（2025秋•昌黎县期中）如图，数轴上每相邻两点距离为1个单位长度，若点A，B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【题型三】有理数的大小比较【例3】（2025秋•德城区期中）下列对两个有理数的比较，错误的是（）A．﹣（﹣1）＞﹣（+2） B．-8C．-(-0.3)＜【变式3-1】（2024秋•麻章区期末）有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，﹣a，1的大小关系正确的是（）A．﹣a＜a＜1 B．a＜﹣a＜1 C．1＜﹣a＜a D．a＜1＜﹣a【变式3-2】（2025秋•句容市期中）比较下列各组数的大小，正确的是（）A．+（﹣4）＜﹣（+5） B．﹣（﹣1）＜﹣（+3） C．-827＞-【题型四】有理数的加减乘除运算【例4】（2025秋•衡水期中）在﹣2，﹣3，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是m，最大是n，则m和n的乘积为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【变式4-1】（2025秋•晋江市期中）a、b为任何非零有理数，则a|A．﹣3或1 B．3或1或﹣1 C．1或3 D．﹣1或3【变式4-2】（2025秋•潮南区期中）如图，兰兰有5张写着不同数字的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数字相除，所得到的商最小，则最小的商是（）A．﹣2 B．-19 C．﹣9 D【题型五】有理数的混合运算【例5】（2025秋•金安区期中）计算：-1【变式5-1】（2025秋•中山区月考）计算：﹣12+[（﹣4）2﹣（1﹣33）×2]．【变式5-2】（2025秋•渭滨区期中）计算：-1【题型六】科学记数法与近似数【例6】（2025秋•临颍县期中）天问三号任务是中国行星探测工程的重要组成部分，计划于2028年前后发射．已知地球与火星的最近距离约为55000000千米，则数据“55000000”用科学记数法表示为（）A．5.5×107 B．5.5×108 C．0.55×108 D．0.55×107【变式6-1】（2025秋•吉水县期中）吉水是庐陵文化的发祥地，其特产之一的“吉水井冈蜜柚”外形金黄饱满，味道清甜如蜜．据统计，全县共9.85万亩蜜柚种植基地提供的综合产值突破3.5亿元．请将350000000用科学记数法表示为（）A．3.5×107 B．3.5×108 C．35×107 D．0.35×109【变式6-2】（2025秋•垣曲县期中）我省坚持实施就业优先战略，持续打好减负稳岗扩就业政策“组合拳”，2025年上半年，全省城镇新增就业2.787×105人，用科学记数法表示的数据2.787×105的原数是（）A．2787 B．227870 C．278700 D．2787000【题型七】有理数的实际应用题【例7】（2024秋•芝罘区期末）某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下（单位：km）：﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+1，﹣6．（1）收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？（2）若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程；（3）在A地东侧5km处有一个广告牌，小队在这次的检修中有2次经过这个广告牌．【变式7-1】（2024秋•文登区期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（单位：单）﹣4+3﹣5﹣6+9+10+12（1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？（2）若平均每送一单能获得5元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入．【变式7-2】（2025秋•广东期中）小明坚持跑步锻炼身体，他以30分钟为基准，将连续七天的跑步时间（单位：分钟）记录如下：12，﹣9，11，﹣7，13，15，﹣5（超过30分钟的部分记为“+”，不足30分钟的部分记为“﹣”）（1）跑步时间最长的一天比最短的一天多跑几分钟？（2）若小明跑步的平均速度为每分钟0.15千米，请你计算这七天他共跑了多少千米？【题型一】混淆有理数相关概念致错【例1】（2025秋•通道县期中）下列说法，正确的个数是（）①0既不是正数，也不是负数；②2.2③可以写成分数的数就是有理数；④﹣3.1415不是自然数，也不是有理数．A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（2025秋•保山期中）下列关于有理数的说法正确的是（）A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正数、零、负数【变式1-2】（2025秋•闵行区期中）下列说法中，不正确的是（）A．任何有理数都可以化成分数的形式 B．任何有理数都有相反数 C．任何有理数都可以在数轴上表示 D．任何有理数都有倒数【题型二】有理数运算中符号错误【例2】（2025秋•栖霞市期中）下列计算正确的是（）A．﹣6+（﹣3）+（﹣1）＝﹣2 B．(-C．7+（﹣0.5）+2﹣3＝5.5 D．(【变式2-1】（2025秋•香洲区期中）把算式﹣10+（﹣12）﹣（﹣16）﹣4写成省略括号和加号的形式是（）A．﹣10﹣12﹣16﹣4 B．﹣10﹣12+16﹣4 C．10﹣12+16﹣4 D．﹣10+12+16﹣4【变式2-2】（2025秋•连州市期中）下面算法正确的是（）A．（﹣11）﹣0＝﹣11 B．﹣8+9＝﹣（9﹣8） C．（﹣3）﹣（﹣7）＝﹣（3+7） D．（﹣10）﹣3＝﹣（10﹣3）【题型三】乘方运算中符号混淆致错【例3】（2025秋•三亚期中）下列四组数中，相等的一组是（）A．﹣22和（﹣2）2 B．﹣（﹣2）3和23 C．﹣|﹣2|和|+2| D．﹣（﹣2）和+（﹣2）【变式3-1】（2025秋•昭平县期中）下列各式中，不相等的是（）A．（﹣3）2和32 B．|﹣2|3和|﹣23| C．（﹣2）2和|﹣22| D．（﹣3）2和﹣32【变式3-2】（2025秋•定远县期中）下列各组数中，数值相等的是（）A．﹣（﹣4）2与42 B．﹣53与（﹣5）3 C．﹣3×23与﹣32×2 D．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3【题型四】科学记数法中a的范围或n的确定错误【例4】（2025•石嘴山一模）作为宁夏光伏产业重点区域，石嘴山市2025年计划新增260万千瓦光伏装机容量，推动我市“光伏+储能”示范项目建设．260万用科学记数法表示为（）A．2.6×10﹣6 B．0.26×107 C．26×105 D．2.6×106【变式4-1】（2025秋•榆树市期中）长春神鹿峰是坐落在“中国梅花鹿之乡”双阳区的北国秘境，作为国家4A级景区，神鹿峰在2024年接待游客约211.4万人次，用科学记数法表示这个数为（）A．21.14×105 B．2.114×106 C．0.2114×107 D．2.114×107【变式4-2】（2025秋•淇滨区期中）2025年2月12日，中国载人航天工程办公室宣布，载人月球探测任务的登月服命名为“望宇”．已知月球距离地球约384000km，将384000用科学记数法表示为m×10n，则m，n的值依次为（）A．3.84，5 B．384，3 C．3.84，4 D．38.4，5【题型五】忽略运算顺序致错【例5】（（2025秋•衡山县期中）计算：-23×【变式5-1】（2024秋•杭州期末）计算(-16-【变式5-2】（2025秋•修文县期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或﹣24，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：7×（3+3÷7）＝24．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或﹣24的其中一种方法：．【题型一】有理数概念辨析解题技巧核心技巧：紧扣定义，排除特例。对于易混淆概念（如正数与整数、绝对值与相反数），通过举反例验证（如0是整数但不是正数，绝对值相等的数可能互为相反数）；牢记特殊数的性质（0的相反数、倒数、绝对值特征）。【例1】（2025秋•遂宁期中）下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣[+（﹣4.9）]与4.9 B．﹣2.3与2.31 C．﹣（﹣3.2）与﹣3.2 D．﹣（+1）与+（﹣1）【变式1-1】（2025秋•呼和浩特期中）下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣2与+（+2） B．﹣2与-(C．+（﹣2）与-12 D．﹣（﹣2）与|【变式1-2】（2025秋•兴宁区期中）下列各对数中，互为倒数的一对是（）A．53和35 B．﹣4和4 C．﹣3和13 D．【题型二】有理数程序框运算解题技巧核心技巧：将程序框运算进行转化；灵活运用运算律简化计算（加法交换律、结合律凑整，乘法分配律去括号）；遇到分数、小数混合运算，统一化为分数或小数再计算；注意乘方运算的符号规则（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）。【例2】（2024秋•吉林期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则输出的结果是．【变式2-1】（2025秋•青羊区期中）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为﹣2，则输出的值为．【变式2-2】（2025秋•渭滨区期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当输入x＝﹣2时，输出的结果是．【题型三】数轴与绝对值综合解题技巧核心技巧：利用数轴的几何意义（数轴上两点间距离=右边数-左边数）；绝对值问题分类讨论（根据绝对值内代数式的正负性去绝对值符号）；记住结论：|a-b|表示数轴上a、b两点间的距离。【例3】（2025秋•慈溪市期中）我们知道，在数轴上|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．例如，点A表示的数是2，点B表示的数为﹣3，A，B两点之间的距离为：AB＝|2﹣（﹣3）|＝|2+3|＝5．利用此结论，回答以下问题：（1）A所表示的数是﹣1，B所表示的数是6，A，B两点之间的距离是；（2）若|a+6|＝1，则a＝；（3）结合数轴，求得|a﹣6|+|a+6|的最小值为．【变式3-1】（2025秋•哈尔滨期中）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示﹣4和7的两点之间的距离是；（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A和点B，则A、B两点间的最大距离是；最小距离是．【变式3-2】（2025秋•上蔡县期中）在数轴上，点A，B所表示的数分别是a，b，回答下列问题：（1）若a＝﹣2，b＝1，则A，B两点间的距离是；（2）试用含a，b的式子表示A，B两点间的距离为，并用文字说明|a+3|在数轴上表示的几何意义：；（3）若x可以取任意有理数，则代数式|x+1|+|x﹣3|有最值（填：“大”或“小”），该值等于．【题型四】实际应用题解题技巧核心技巧：明确正负数的实际意义（如收入为正、支出为负，向东为正、向西为负）；根据题意列出算式，注意运算顺序；结果需结合实际意义解释（如距离为正，耗油量为正）。【例4】（2025秋•江阳区期中）某陶瓷厂计划一周生产陶瓷工艺品350个，平均每天生产50个，但实际每天生产量与计划相比有出入，下表是某周的生产情况（以50个为标准，超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减（单位：个）+5﹣6﹣5+15﹣11+16﹣8（1）根据记录的数据，该厂本周产量最多的一天比最少的一天多生产个工艺品；（2）该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为多少个？（3）已知该厂实行每周计件工资制，每周结算一次，每生产一个工艺品可得8元，若超额完成任务（以350个为标准），则超过部分每个另奖6元，少生产每个扣5元，试求该工艺厂在这一周应付出的工