第3章 一次方程与方程组（高效培优单元测试·强化卷）教师版-沪科版(2024)七上

第3章一次方程与方程组（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列方程的解是的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：将代入各方程：A．左边，右边，即左边右边，故成立，符合题意；B．左边，右边，即左边右边，故不成立，不符合题意；C．左边，右边，左边≠右边，不成立，不符合题意；D．左边，右边，即左边右边，故不成立，不符合题意．故选A．2．如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是（

）A．1 B．3 C．1或3 D．或【答案】C【详解】解：由一元一次方程的特点得，即，或，解得：或．故选：C．3．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【详解】解：A：若，则或，但不成立；B：若，两边同乘6，得，而非；C：若，当时成立，但a可能为0，故不一定成立，D：若，则两边同乘，得，成立．故选D．4．《九章算术》中阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买牛，人出九，盈六；人出七，不足八．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买牛肉，每人出9元，还盈余6元；每人出7元，则还差8元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是元，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：设这个物品的价格是元，由题意得，故选：A．5．把方程的分母化为整数可得方程（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：，故选：B．6．文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（）A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清【答案】B【详解】解：设盈利的一台的进价为x元，亏本的一台的进价为y元，根据题意得，，解得，，∴（元），∴这次出售中文具店赔了5元，故选：B．7．关于的方程与方程的解相同，则的值为（

）A． B．8 C．4 D．0【答案】C【详解】解：∵，∴，∴，∴；关于的方程与方程的解相同，将代入，得，∴，解得，故选：C．8．如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，这7个数的和不可能是（

）A．70 B．91 C．126 D．154【答案】C【详解】解：设“工”字圈中最中间的数为，则另外几个数为，根据题意得：这7个数的和为．A，当时，解得：，最中间的数为10的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为70，故不符合题意；A，当时，解得：，最中间的数为13的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为91，故不符合题意；A，当时，解得：，最中间的数为18的“工”型图案右边没有数字，故和不能为126，故符合题意；A，当时，解得：，最中间的数为22的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为154，故不符合题意；故选：C．9．在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵小佳看错后的方程为，且解得，∴代入得，即，∴，∴，∴，∴．故选：C．10．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设，则方程，可化为，的解为，，解得，关于的一元一次方程的解为．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位．问有多少间宿舍？若设有x间宿舍，则可列方程．【答案】【详解】解：设有x间宿舍，根据题意得：，故答案为：．12．已知方程组的解也是关于x，y的方程的一个解，则a的值为．【答案】【详解】解：方程组，把②代入①得：，解得：，代入①中得，，解得：，把，代入方程得，，解得：．故答案为：．13．两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶“它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．【答案】【详解】解：方程组可化为：，∵方程组的解是，∴，解得：；∴方程组的解为．故答案为：．14．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．（）若与是“差解方程”，则，（）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则．【答案】或【详解】解：（）解方程，得；解方程，得，∵与是“差解方程”，∴，∴，故答案为：；（）解方程，得；解方程，得，∵方程与方程是“差解方程”，∴，即，解得或，故答案为：或．三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．解方程：(1)；(2)．【详解】（1）解：，去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：；（2）解：方程组整理，得，②①，得，解得，把代入②，得，解得，故原方程组的解为．16．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的程序解决问题：(1)若输入x的值为5，求输出的值．(2)若输出的值为5，求输入x的值．【详解】（1）解：．（2）解：由题意得，即，解得．17．小聪在解方程时，步骤如下：①去分母，得．②去括号，得．③移项，得．④合并同类项，得．⑤系数化为1，得．(1)小聪的解答过程有错误，从第______步开始出现错误（填序号）；(2)请写出正确的解答过程．【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，第①步开始出错；故答案为：①；（2）去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．18．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则(1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？(2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因．【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有：整理方程，得解得答：学生人数是人时，收费一样多，（2）旅行社收费：元，旅行社收费：元，因为，所以选旅行社便宜；原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显．答：当学生人数是人时，选旅行社划算．19．小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖．(1)求的值；(2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？【详解】（1）解：如图所示：长方形的宽相等，则，解得；（2）解：铺设木地板面积为；铺设地砖面积为；答：铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米．20．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为．(1)求正确的，，的值；(2)求原方程组的解．【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解，∴，解得，∵乙看错了方程组中的，求得的解为，∴是方程的解，∴，解得：，∴正确的，，的值为：，，；（2）解：当，，时，原方程组变为：，①＋②，得：，解得：，把代入①得：，解得，∴原方程组的解为．21．如图，这是用棋子摆成的“T”字图案．从图案中可以看出，第1个“T”字图案需要5枚棋子，第2个“T”字图案需要8枚棋子，第3个“T”字图案需要11枚棋子．(1)照此规律，摆成第5个“T”字图案需要枚棋子；(2)摆成第n个“T”字图案需要枚棋子；(3)若有6077枚棋子能摆成“T”字图案吗？若能请求出是第几个“T”字图案，若不能请说明理由．【详解】（1）解：∵第1个“”字图案需要枚棋子，第2个“”字图案需要枚棋子，第3个“”字图案需要枚棋子，第4个“”字图案需要枚棋子，∴第5个“”字图案需要枚棋子，故答案为：17；（2）解：∵第个“”字图案需要枚棋子，第个“”字图案需要枚棋子，第个“”字图案需要枚棋子，，∴第个“”字图案需要棋子的数量为，故答案为：；（3）解：由得，n为正整数，∴能摆成“T”字图案，是第2025个“T”字图案．22．为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元）月用电量（单位：度）单价（元/度）不超过200度的部分0.5超过200度不超过300度的部分0.6超过300度的部分0.8已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：一月份二月份三月份四月份五月份六月份+15根据上述数据，解答下列问题：(1)小明家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度；(2)若小明家某月用电量为x度（），请用含x的代数式表示小明家该月的电费．(3)若小明家12月份的电费为148元，请求出小明家12月份的用电量．【详解】（1）解：，小明家用电量最多的是六月份，实际用电量为（度）；（2）当时，小明家该月的电费为：元；当时，小明家该月的电费为：元；（3）（元），（元），小明家12月份的用电量超过200度，不足300度，设小明家12月份的用电量为y度，根据题意得：，解得，小明家12月份的用电量为280度．23．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴发现：在数轴上，为原点，点A,B表示的数分别是和，点在点的右边（即），则A,B两点之间的距离（即线段AB的长）可表示为．【问题情境】如图1，数轴上点表示的数，点表示的数，线段的中点表示的数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒．【综合运用】根据“背景知识”和“问题情境”解答下列问题．(1)填空：①A，B两点之间的距离________________，线段的中点表示的数____________．②秒后，点表示的数为________________，点表示的数为____________．（用含的代数式表示）(2)求当为何值时，点运动到点，并求出此时点所表示的数．(3)若点向左运动到达点后，再立即以同样的速度返回点，点向右运动到达终点后，M，N两点都停止运动．在