期末考前满分冲刺之质压轴题（教师版）-沪科版(2024)七上

期末考前满分冲刺之优质压轴题【专题过关】类型一、几何正确结论判断1．如图，平面内，，平分，则以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．0个【答案】B【分析】先根据余角的性质证明，再根据，即可判断①正确；根据，即可判断②正确；根据，且，可判断③错误；根据平分线的定义得出，根据得出，根据，即可判断④正确．【详解】解：，，∵，，故①正确；，故②正确；，而，故③不正确；平分，，∵，，即点、、共线，，，故④正确；综上分析可知，正确结论的个数有3个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握各角度之间的关系．2．如图所示，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的有（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案．【详解】解：是的三等分点，，，，，，，，故①正确；，，，，是线段的中点，，，，故②正确；，，，，，故③正确；，，，，，故④正确；综上，正确的有①②③④，故选：D．【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．3．如图，C为直线上一点，平分，平分，平分．有下列结论：①；②；③；④与互余，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查的是角平分线的定义，互余互补的含义，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键；由角平分线的定义可判断①符合题意；由，结合，，可判断②符合题意；由，，可判断③符合题意；求解，可判断④符合题意；【详解】解：∵平分，∴，故①符合题意；∵，∴，∵平分，平分．∴，，∴，故②符合题意；∵，，∴，∵，∴，故③符合题意；∵，∴，∴与互余，故④符合题意；故选D4．如图，点O在直线上，平分，平分．给出下面四个结论：①与互余：②与互补；③；④．上述结论中，正确结论的序号有．【答案】①②④【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线得和，利用平角即可判定①，结合余角和补角得定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角度和差关系即可判断④．【详解】解：∵平分，平分∴，，∵A，O，B三点在同一直线上，，∴，即与互余，故①正确；∵A，O，B三点在同一直线上，∴，∵平分，∴，∴，即与互补，故②正确；∵，∴，则，不能得到即，故③错误；∵，，∴，故④正确；故答案为：①②④．5．如图，点O为线段外一点，M，C，B，N为上任意四点，连接，下列结论：①以O为顶点的角有15个；②若平分，平分，，则；③若M为的中点，N为的中点，则；④若，则．正确的是．【答案】①②③【分析】本题主要考查了角和线段的相关知识，正确判断角以及不同的角之间的关系成为解题的关键．在①中，从以为边，以为边，以为边，以为边，以为边，数出有几个角即可．在②中，由平分，平分，可设，再换算即可．在③中，由M为的中点，N为的中点，得，再换算即可．在④中，设，设，再换算即可．【详解】解：在①中，以为边的角有5个，以为边的角有4个，以为边的角有3个，以为边的角有2个，以为边的角有1个，一共有15个，故①正确．在②中，如图，由平分，平分，可设，∵，∴，∴．∵，∴，故②正确．在③中，∵M为的中点，N为的中点，∴，∴，故③正确．在④中，∵，∴设，，∴，∵，，∴，故④错误．综上所述，正确的①②③，故答案为：①②③．6．如图，在三角形中，点、在线段上，平分，有下列说法：①以为顶点的角共有6个；②以、、、为端点的线段共有6条；③若，，则；④若，，，则；其中说法正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②③【分析】本题线段、角的和与差以及角度的计算，按照一定的顺序数出以为顶点的角即可判断①；按照一定的顺序数出以、、、为端点的线段即可判断②；根据角平分线定义、角的和与差计算即可判断③；根据线段的和与差计算即可判断④．【详解】解：以为顶点的角有：、、、、，，共有6个，故①正确；以、、、为端点的线段有：、、、、、，共有6条，故②正确；∵平分，，∴，又，∴，故③正确；∵，，∴设，则，，∵，∴，∴，∴，，，∴，故④错误，故答案为：①②③．类型二、一元一次方程的应用—销售打折问题1．一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以折（即按标价的）优惠卖出，结果每件作服装仍可获利元，则这种服装每件的成本是（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，通过理解题意可知本题的等量关系，即每件作服装仍可获利=按成本价提高后标价，又以8折卖出，根据这两个等量关系，可列出方程，再求解即可，熟练掌握读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解决此题的关键．【详解】设这种服装每件的成本是元，根据题意列方程得：，解这个方程得：，则这种服装每件的成本是元，故选：．2．某件衣服在商场连续两次打折之后的价钱为元，则该衣服的原价为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设商品的原价为元，根据等量关系：售价原价打折数，列出方程，求解即可得到结论，解题的关键是找到等量关系，列出方程．【详解】解：设商品的原价为元，根据题意得：，解得：，故选：．3．“龙行龘龘，前程朤朤”，这句独特的龙年祝福语，融合了我国古老的文化底蕴以及对未来的美好期许．春节前夕，某礼品店以元/套的价格购进一批龙年吉祥物摆件．为了吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出了“八八折后再减元”的促销活动，要使每套摆件仍能获利元，则这批摆件的标价为元．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键；设这批摆件的标价元，根据“八八折后再减元”销售，获利元，列出一元一次方程求解即可．【详解】解：设这批摆件的标价为元，根据题意，得，解得．故答案为：．4．某商品标价元，现在打6折出售仍可获利元，则这件商品的进价是元．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的应用．熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．设这件商品的进价是元，依题意得，，计算求解即可．【详解】解：设这件商品的进价是元，依题意得，，解得，，故答案为：．5．小明爸爸装修要粉刷家里的墙面，在家装商场选购某品牌的乳胶漆：小明爸爸估算家里的粉刷面积，若买“大桶装”，则需若干桶但还差升；若买“小桶装”，则需多买11桶但会剩余升；规格（升/桶）价格（元/桶）大桶装小桶装(1)小明爸爸预计墙面的粉刷需要乳胶漆多少升？(2)十一期间商场进行促销：满减元现金，并且该品牌商家对“小桶装”乳胶漆有“买送”的促销活动，小明爸打算购买“小桶装”，比促销前节省多少钱？(3)在（2）的条件下，商家在这次乳胶漆的买卖中，仍可盈利，则小桶装乳胶漆每桶的成本是多少元？【答案】(1)(2)元(3)元【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键；（1）设需购买“大桶装”乳胶漆桶，则需购买“小桶装”乳胶漆桶，根据所需乳胶漆体积不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论；（2）由（1）可知：需购买桶“小桶装”乳胶漆，结合商家对“小桶装”乳胶漆有“买送”的促销活动可得出只需购买桶“小桶装”乳胶漆，再利用节省钱数促销前所需费用促销后所需费用，即可求出结论；(3)设“小桶装”乳胶漆每桶的成本是元，根据利用销售收入成本，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】（1）解：设需购买“大桶装”乳胶漆桶，则需购买“小桶装”乳胶漆桶，依题意，得：，解得：，答：小明爸预计墙面的粉刷需要乳胶漆升；（2）解：由（1）可知，需购买桶“小桶装”乳胶漆，商家对“小桶装”乳胶漆有“买4送1”的促销活动，只需购买（桶）比促销前可节省(元)答：比促销前节省元钱；（3）解：设“小桶装”乳胶漆每桶的成本是元，依题意，得：，解得：；答：“小桶装”乳胶漆每桶的成本是元；6．年月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加．市场调研：某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息：信息一信息二商场从厂家购进、两款书包，其中款书包个，款书包个，共付款元，已知每个款书包的进价比每个款书包贵元．商场将款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个款书包仍可获利．问题解决：(1)每个款书包的进价为元，每个款书包的进价为元；信息应用：(2)在信息二中，款书包实际销售时打多少折出售？【答案】(1)60，100；(2)在信息二中，B款书包实际销售时打九折出售【分析】本题考查了一元一次方程利润型问题，根据图标信息建立方程是解题的关键．（1）设每个款书包为元，则款书包为元，利用款书包的总价款书包的总价付款总额列出方程求解即可；（2）设折扣为，根据成本售价折扣，列出方程求解即可．【详解】（1）解：设每个款书包为元，则款书包为元，由题意可得：，解得：，∴，∴每个款书包为元，则款书包为元；（2）解：设折扣为由题意可得：解得：，∴打了九折，答：在信息二中，B款书包实际销售时打九折出售类型三、阴影部分问题1．如图，将①和②两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中，正方形①边长为，正方形②边长为，长方形长为，宽为，已知图的阴影部分周长为10，若要求图阴影部分的周长，只需要知道（

）A．a B．b C．c D．d【答案】A【分析】本题考查了整式的加减的应用，根据题意图的阴影部分周长为，得出，进而得出图的阴影部分周长，即可求解．【详解】解：依题意，图的阴影部分周长为∴，图的阴影部分周长为∴若要求图阴影部分的周长，只需要知道，故选：A．2．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了整式的加减，根据题意正确列式是解题的关键．设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的周长（长宽），用x，y，n表示出两个阴影长方形的周长，再求和即可表示出阴影部分周长之和，再化简即可．【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：阴影部分周长和为，故选：．3．如图，长方形的一组邻边长分别为10，，在长方形的内部放置4个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形和长方形．记长方形的周长为，长方形的周长为，对于任意的值，的值是一个确定的值为．【答案】40【分析】设，根据题意列代数式计算即可；本题考查了整式的加减，根据图形准确列出代数式表示相关边长是解题的关键．【详解】解：由图可知：，，，设，根据题意可知，所以因为长方形的一组邻边长分别为10，m，所以，，所以，所以．故答案为：404．如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图1）按图2、图3两种方式放在一个底面为长方形（长比宽多）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么比大．【答案】7【分析】此题主要考查整式的加减的运用，做此类题要善于观察，在第2个图形中利用割补法进行计算，很容易计算得出结果．此题要先设小长方形的长为，宽为，再结合图形分别得出图形2的阴影周长和图形3的阴影周长，比较后即可求出答案．【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的宽为，长为，∴图2的阴影周长为：，∴图3下面阴影的周长为：，图3上面阴影的总周长为：，∴图3阴影的总周长为：，又∵，∴，∴．故答案为：7．5．已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图2），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中．(1)请用含，的代数式表示下面的问题：①大长方形的长：__________；②阴影的面积：__________．(2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关．【答案】(1)①；②(2)见解析【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．（1）①大长方形的长为小长方形的长上宽的倍；②阴影的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可；（2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和即可．【详解】（1）解：①大长方形的长为，故答案为：；②阴影的长为，宽为，阴影的面积为，故答案为：；（2）阴影的长为，宽为，阴影的长为，宽为，阴影与阴影的周长的和为：阴影与阴影的周长的和与的取值无关．6．如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．(1)从图中可知，每块小长方形较长边的长是______（用含y的式子表示）．(2)分别计算阴影A，B的周长（用含x，y的代数式表示），并说明阴影A与阴影B的周长差不会随着x的变化而变化．(3)当时，试比较阴影A与阴影B的面积大小．【答案】(1)(2)阴影的周长为，阴影的周长为，说明见解析(3)阴影的面积>阴影B的面积【分析】本题主要考查列代数式和整式加减的应用，用含，的代数式表示出阴影与阴影的周长和面积是解题关键．（1）由图可知，每块小长方形较长边的长是大长方形的长减去3倍的小长方形较短边的长；（2）阴影的长为，宽为，阴影的长为，宽为，分别求出阴影，的周长，再用阴影的周长减去阴影的周长即可求解；（3）分别表示出阴影，的面积，再作差，即可求解．【详解】（1）解：由图可知，每块小长方形较长边的长是；（2）解：阴影的周长为，阴影的周长为，则阴影与阴影的周长差为，∴阴影与阴影的周长差与无关，阴影与阴影的周长差不会随着的变化而变化；（3）解：当时阴影的面积为，阴影的面积为，∵又∵∴∴阴影的面积>阴影B的面积．类型四、日历问题1．小明在某月的日历上圈出三个数a,b,A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意对每个选项列出方程求解是解题的关键【详解】解：设最小的数，对于选项，，可得，解得：，故本选项不符合题意；对于B选项，，，解得：x=6对于C选项，，，解得：，故本选项不符合题意；对于D选项，可得，解得：，故本选项符合题意；故选D．2．新年将至，如图是年月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的个代表日期的数，如图若设交叉框中的五个数分别为，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由图形可得：，，代入即可得到关于的一元一次方程，解方程即可求解，根据图形得到，是解题的关键．【详解】解：由图可得，，，∵，∴，∴，故选：．3．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2021年1月的日历，我们任意选择其中如图所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数，这个常数是．【答案】7或﹣7【分析】设四个数为a﹣7，a﹣6，a，a+1，根据已知条件列出算式，再根据运算法则求出答案即可．【详解】解：设四个数为a﹣7，a﹣6，a，a+1，则（a﹣7）（a+1）﹣a（a﹣6）＝a2+a﹣7a﹣7﹣a2+6a＝﹣7，a（a﹣6）﹣（a﹣7）（a+1）＝7，故这个常数是7或﹣7，故答案为：7或﹣7．【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．4．下表是某月的日历,在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数如果被圈出的三个数之和为66,则这三个数中最大的数是

【答案】29【分析】根据题意设出这三个数分别是x-7，x，x+7，列出方程(x-7)+x+(x+7)=66，解方程进一步可得出答案．【详解】解：设这三个数分别是x-7，x，x+7，根据题意得(x-7)+x+(x+7)=66，解得x=22，因此x+7=29．故答案为：29．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出（x-7）+x+（x+7）=66是解题的关键．5．如图是2023年一月份的日历：(1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）；(2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数；若不能，请说明理由；(3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是．【答案】(1)(2)不能，理由见详解(3)140【分析】（1）设“H”框中最中间的数为x，则其他六个数为，，，，，，相加即可得到答案；（2）设“H”框中最中间的数为x，得，解得，最大数为32，2023年一月份的日历中找不到这个数，即可得到结果；（3）当，即时，框出的七个数的和最大，再代入求值即可．本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，理解题意，用含x的代数式表示其它六个数是解题的关键．【详解】（1）解：∵设“H”框中最中间的数为x，则其他六个数为，，，，，，它们的和为：；（2）解：设“H”框中最中间的数为x，则由（1）可知它们的和为﹐假设和可以为168，则，解得，此时最大数为，2023年一月份的日历中找不到这个数，∴七个数的和不可能等于168；（3）解：∵2023年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列，∴当，即时，框出的七个数的和的最，最大值为，故答案为：140．6．【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．

(1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方．(2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________；(3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由．(4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则________．【答案】(1)见解析（答案）(2)3(3)能，见解析(4)或【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，解题的关键是读懂题意，抓住幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可；（2）根据规则知，据此求解可得x的值；（3）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可；（4）根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和，可得每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等．图中有四个三角形，四个三角形上的数字相加后，中间正方形四个顶点上的数字之和就多算了一遍，所以所给的8个数字的和除以3即可得到每个三角形三个顶点的数字之和，代入求解即可．【详解】（1）解：如下表：61237450（2）由题意知，解得，故答案为：3；（3）解：∵，∴只要使每行、每列、每条对角线上的三个数的和为33即可．如下表：123181711541910（4）解：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等，每个三角形的三个顶点上的数字之和，，，，，，所给的数剩下7，6，3，2，，，，，，或，，，，或，或故答案为∶或．类型五、一元一次方程的应用——电水费问题1．水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下：用水量（吨）水费（元/吨）不超过10吨的部分超过10吨且不超过15吨的部分超出15吨的部分另：每吨用水加收1元的城市污水处理费小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（

）A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨【答案】C【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键．设7、8两月小明家共用水吨，然后根据题意列出一元一次方程求解即可．【详解】解：设7、8两月小明家共用水吨，，解得：，经检验，是原方程的解，答：7、8两月小明家共用水23吨．故答案为：C．2．为提倡节约用水，政府采用“阶梯水价”收费：每户用水不超过5方，每方水费x元，超过5方，每方加收2元，小张家今年3月份用水11方共交水费56元，根据题意列出关于x的方程，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分两段去计算水费，不超过5方的部分共收费元，超过5方的部分共收费元，加起来等于56元，列出方程．【详解】解：不超过5方的部分共收费元，超过5方的部分共收费元，一共收费56元，列方程：，整理得，D选项，整理得．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程．3．某城市按以下规定收取水费，用水量如果不超过6吨，按每吨元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨元收费，而超过的部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份的水费为平均每吨元，那么该用户5月份应交水费元．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．水费平均为每吨元大于元，说明本月用水超过了6吨，那么标准内的水费加上超出部分就是实际水费．根据这个等量关系列出方程求解，求出所用吨数，再乘以平均价格，即可求出5月份应交水费．【详解】解：设该用户5月份用水吨，则，整理得：，，解得：，元，答：该用户5月份应交水费元．故答案为：．4．2019年起我国个人所得税起征点有新调整，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累加计算：（本题不计算规定中的抵扣部分）全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分超过3000元到12000元的部分超过12000元到25000元的部分（纳税款应纳税所得额对应的税率）按此规定解答下列问题：如果小丽的爸爸三月份应缴交所得税款540元，那么他三月份的工资、薪金是元．【答案】12500【分析】设他三月份的工资、薪金是x元，先通过计算判断出小丽的爸爸三月份的应纳税所得额超过3000元而不超过12000元，则他三月份的纳税款为元，可列方程，解方程求出x的值即得到问题的答案．【详解】解：设他三月份的工资、薪金是x元，∵（元），（元），∴应纳税所得额为3000元、12000元时的纳税款分别为90元、990元，∵90元＜540元＜990元，∴小丽的爸爸三月份的应纳税所得额超过3000元而不超过12000元，根据题意得，解得，∴他三月份的工资、薪金是12500元，故答案为：12500．【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示小丽的爸爸三月份的纳税款是解题的关键．5．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司以如下表所示的标准收取水费：月用水量单价/（元/）不超过超过的部分另：每立方米用水加收元的城市污水处理费(1)如果月用水量不超过，那么实际每立方米收取水费_____元；如果7月份嘉淇家的用水量为，那么嘉淇家7月份应该缴纳水费_____元．(2)如果嘉淇家8月份共缴纳水费72元，那么她家8月份用水多少立方米？(3)若嘉淇家水表9月份出现了故障，只有的用水量计入水表中，这样她家在9月份只缴纳了45元水费，问嘉淇家9月份实际应该缴纳水费多少元？【答案】(1)；(2)嘉淇家8月份用水．(3)嘉淇家9月份实际应该缴水费80元．【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并列出方程求解．（1）每立方米用水加收元的城市污水处理费，知不超过的水费为3元，超过的部分水费为4元，用单价乘以用水量可得此用户应缴费用；（2）设嘉淇家8月份用水，先根据费用判断出用水量所处范围，再列出方程求解可得；（3）设嘉淇家9月份实际用水，由判断出该用户上交水费的单价为3元，再列出方程，解之可得．【详解】（1）解：因为每立方米用水加收元的城市污水处理费，则不超过的水费为3元，超过的部分水费为4元．7月份嘉淇家的用水量为，嘉淇家7月份应该缴纳水费（元），故答案为：3；45；（2）解：嘉淇家8月份共缴纳水费72元，设8月份用水，而，则，根据题意，得：，解得：，答：嘉淇家8月份用水．（3）解：设嘉淇家9月份实际用水，∵，∴嘉淇家上交水费的单价为3元，由题意：，解得：，∴嘉淇家9月份实际应缴纳水费：元，答：嘉淇家9月份实际应该缴水费80元．6．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：用水量/月单价（元/吨）不超过吨的部分超过吨但不超过吨的部分超过吨的部分注意：另外每吨用水加收元的城市污水处理费．例如某用户2月份用水吨，共需交纳水费元．(1)若小明家2月份用水吨，共需交纳水费多少元？(2)若小明家2月份共交纳水费元，那么小明家2月份用水多少吨？(3)若小强和小明家2月份一共用水吨，共交纳水费元，其中小强家用水量少于吨，小明家用水量少于吨，那么小强和小明家2月份各用水多少吨？【答案】(1)(2)(3)小强和小明家2月份各用水和吨【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．（1）由题意知，小明家2月份共需交纳水费，计算求解即可；（2）由题意知，当用水吨，共需交纳水费（元），由，可知小明家2月份用水超过吨但不超过吨，设小明家2月份用水吨，依题意得，，计算求解即可；（3）设小强家2月份用水吨，则小明家2月份用水吨，依题意得，，计算求解，然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，小明家2月份共需交纳水费（元），∴共需交纳水费元；（2）解：当用水吨，共需交纳水费（元），∵，∴小明家2月份用水超过吨但不超过吨，设小明家2月份用水吨，依题意得，，解得，，∴小明家2月份用水吨；（3）解：设小强家2月份用水吨，则小明家2月份用水吨，依题意得，，解得，，∴，∴小强和小明家2月份各用水和吨．类型六、规律问题1．观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2024个图形中共有（

）个○．A．6070 B．6071 C．6072 D．6073【答案】D【分析】本题主要考查了图形变化规律的问题，有理数的运算，列代数等知识点，由图形可知：第1个图形○的个数是，；第2个图形○的个数是，；第3个图形○的个数是，；第4个图形○的个数是，，…由此得出第n个图形○的个数是，然后将2024代入计算即可得解，把○成两部分进行考虑，并找出第n个图形○的个数的表达式是解题的关键．【详解】解：观察发现，第1个图形○的个数是，，第2个图形○的个数是，，第3个图形○的个数是，，第4个图形○的个数是，，…以此类推，第n个图形○的个数是，，∴第2024个图形○的个数是为，故选：D．2．生活情境·民族服饰少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个的基础图形组成的有规律的图案：第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…，如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为（

）A．6067 B．6070 C．6073 D．6076【答案】D【分析】本题主要考查了图形的规律探究、代数式求值等知识点．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意可推导一般性规律为第n个图案由个基础图形组成，将2025代入计算即可．【详解】观察图形，可知：第1个图案由4个基础图形组成，即，第2个图案由7个基础图形组成，即，第3个图案由10个基础图形组成，即，⋯⋯，第个图案的基础图形的个数为：．所以第2025个图案的基础图形的个数为：．故选：D．3．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是．【答案】【分析】本题考查数字类规律探究，观察可知：三角形左上角的数字规律为，右上角的规律为，下方数字规律为：，进而求出的值，再进行计算即可．【详解】解：观察所给图形可知，左上角的数字依次为：，，，，…，所以第n个图形中左上角的数字可表示为：．右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2，所以第n个图形中右上角的数字可表示为：．下方的数字为同一个图形中左上角数字的，所以第n个图形中下方的数字可表示为：．当时，，，，所以．故答案为：．4．如图是用三角形摆成的图案，摆第一层图案需要1个三角形，摆第二层图案需要3个三角形，摆第三层图案需要7个三角形，摆第四层图案需要13个三角形，摆第10层图案需要个三角形，……，摆第层图案需要个三角形．【答案】【分析】本题考查了图形规律，理解图示中数量关系，找出数量关系是解题的关键．根据层次与数量的关系可得：第层上的三角形个数比第层多个三角形，分别算出每个三角形的个数，运用整式混合运算即可求解．【详解】解：第1层，1个三角形，第2层，3个三角形，比第一次多2个，第3层，7个三角形，比第二次多4个，第4层，13个三角形，比第三次多6个，∴第5层三角形的个数为：（个），第6层三角形的个数为：（个），，∴第10层三角形的个数为：（个），∴第层与第的数量关系是：第层上的三角形个数比第层多个三角形，∴第层三角形的个数为：，故答案为：，．5．学习情境•规律探究探索规律，观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：……(1)请猜想_______；(2)请猜想=_______；(3)请计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查探索规律，由题中所给的特殊的式子，归纳概括出一般规律即可得到答案．（1）由题中所给特殊式子，归纳概率得到规律是式子结果为首尾两数和一半的平方，代值计算即可得到答案；（2）由（1）中规律直接计算即可得到答案；（3）将拆分成，分成两部分计算，后面部分根据（2）中结论代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：式子运算结果的规律是：首尾两数和一半的平方，，故答案为：；（2）解：由（1）中式子运算结果的规律是：首尾两数和一半的平方，，故答案为：；（3）解：由（2）中结论可知，．6．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

(1)在④后面的横线上写出相应的等式；①；②；③；④_____________________；(2)试用含有的式子表示这一规律：____________；（为正整数）(3)请计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形和算式找到规律是解答本题的关键．（1）根据图形结合算式规律直接得到第4个图案所代表的算式；（2）根据图形结合算式规律可以找到一般规律：第n个图案所代表的算式为：，写出答案即可．（3）根据（2）得出的一般规律，将，写成，即可得到答案．【详解】（1）解：由已知可知：第1个图案所代表的算式为：；第2个图案所代表的算式为：；第3个图案所代表的算式为：；第4个图案所代表的算式为：；故答案为：；（2）解：由已知可知：第1个图案所代表的算式为：；第2个图案所代表的算式为：；第3个图案所代表的算式为：；第4个图案所代表的算式为：；以此类推：第n个图案所代表的算式为：．故答案为：．（3）解：根据（2）得出的一般规律，，，．类型七、新定义运算1．新趋势·新定义规定新运算“”：对于任意实数、都有，例如：，则方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了实数运算、解一元一次方程等知识点，根据新定义运算将原式变形成一元一次方程是解题关键．直接根据新运算“⊕”，将原式变形成方程求解即可．【详解】解：∵，，∴，解得．故选：C．2．新趋势▪新定义规定新运算“”：对于任意实数、都有，例如：，则方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次方程．解决本题的关键是根据新定义运算的规则把方程转化有一般形式的一元一次方程，解一元一次方程即可得到结果．【详解】解：，根据，可得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为得：．故选：C．3．对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，．（1）计算；（2）若是一个“互差数”，且，那么的值是．【答案】3【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意，明确运算规则是解题的关键．（1）由题意知，，计算求解即可；（2）设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为，依题意得，，，可求，，然后根据都不为0且互不相等，确定合适的的取值，然后判断作答即可．【详解】解：（1）由题意知，，故答案为：3；（2）设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为，依题意得，，，∴，解得，，∴，∵都不为0且互不相等，∴，，∴；故答案为：．4．定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：（1）有理数与5，因为，所以与5是一对“友好数”．有理数和是一对“友好数”，当时，则；（2）对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数，．当时，的值为；【答案】【分析】本题考查了新定义，找规律问题，观察定义，通过计算找到规律即可求解：（1）通过定义，代入数据即可求解；（2）根据题意依次求出的数值，可找到周期性的规律即可求解；【详解】解：（1）∵有理数和是一对“友好数”，∴将代入：，解得：故答案为：（2）当时，∵，解得:∵的倒数为，∴，∵，解得：，∵的倒数为，∴，∵，解得：可得：，即：，，，，，，，∴这组数是次一个循环，，∴，故答案为：5．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．(1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”；(2)若关于x的方程与关于y的方程是“1差解方程”，求n的值；(3)关于x的方程与关于y的方程，若对于任何数m，都使得它们不是“2差解方程”，请直接写出n的值．【答案】(1)是(2)或；(3)【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解含字母系数的方程等，理解新定义是解题的关键．（1）根据“m差解方程”的定义解答即可；（2）根据定义列出方程关于n的方程，再去掉绝对值，并求解；（3）根据定义列出方程，并根据m的系数为0时，符合题意，求出解．【详解】（1）解：方程的解是；方程的解是．根据题意可得，所以这两个方程是“2差解方程”；（2）方程的解是；方程的解是．根据题意可得，整理，得，解得或；（3）方程的解是；方程的解是．根据题意可得，即，当时，即，对于任何数m，得，它们不是“2差解方程”．6．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知．(1)求a，b的值；(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；(3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【答案】(1)(2)m(3)【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．【详解】（1）解：由题意得，解得：；（2）解：依题意得，解得：，∵，∴，解得：；（3）解：由题意得：方程组的解为，∴由方程组得方程组，∴方程组的解满足，解得．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．类型八、旋转求t1．如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，有以下t的值：①；②；③；④．其中正确的序号是（）

A．③ B．④ C．①②④ D．①②③【答案】C【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角的运算，解题的关键是能够根据运动时间，进行分类讨论．分三种情况讨论使得是的2倍时，分别画出图形，求出t的值即可．【详解】解：第一种情况：当从向旋转，在左边时，如图，

则度，度，∴，解得：；第二种情况：当从向旋转，在右边时，如图，

则度，度，∴，解得：；第三种情况：当运动到，又返回时，如图，

则度，度∴，解得：，此时正好与重合，停止运动；综上所述：或或44，故选：C．2．如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当∠COE-∠BOD=40°时，t的值为（

）A．或28 B．或28 C．或 D．【答案】B【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．分两种情况：①当时，，，可得，②当时，，，有，解方程可得答案．【详解】解：①当时，，∵射线为的角平分线，射线为的四等分线，∴，，∴，解得（舍去）或；②当时，，∵射线为的角平分线，射线为的四等分线，∴，，，解得（舍去）或；综上所述，t的值为或28；故选：B．3．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，当与成时，与同时停止旋转，设旋转的时间为秒，当射线是的“巧分线”时，的值为．

【答案】3或或【分析】本题考查巧分线定义，角度的计算，一元一次方程的应用，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“巧分线”的定义是解题的关键．分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．【详解】解：当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．故t的值为3或或．故答案为：3或或．4．如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：（1）当旋转8秒时，则的度数；（2）第秒时，所在直线恰好平分，则的值为．【答案】10220或50/50或20【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，角平分线的定义，一元一次方程的应用，找出角度之间的数量关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．①由题意可知，旋转8秒时，，从而求出，即可求出的度数；②分两种情况讨论：当的延长线平分角时；当的延长线平分角时，利用角度的和差关系分别列方程求解，即可得到答案．【详解】解：由题意可知，旋转8秒时，，,，；若第秒时，所在直线恰好平分，①如图，当平分角时，，，，，，；②如图，当的延长线平分角时，，，，,，，；综上可知，第秒或秒时，所在直线恰好平分，故答案为：102；20或50．5．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板、三角板均可绕点逆时针旋转．(1)试说明图①中；(2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求；(3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角形旋转过程中（转到与重合时，两个三角板都停止转动），问是否存在某个时刻，使，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)存在，【分析】本题是三角形的综合题，考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转，掌握图形旋转的特征，找出等量关系列出方程是解题的关键．（1）利用直角三角形的内角和直接求得；（2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；（3）建立与时间有关的方程分别求得与，然后求解即可．【详解】（1）解：由题意，得，，则；（2）解：平分，∴设，．则，，，，，；故的度数为；（3）解：在旋转过程中，存在某个时刻，使，理由：设运动时间为秒，，，，解得：，故存在某个时刻，使．6．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．【问题感知】(1)一个角的平分线______这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）【问题初探】(2)如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为______；【问题推广】(3)在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）【答案】(1)是(2)当为、、时，射线是的“量尺金线”．(3)当t为x或或时，射线是的“量尺金线”．【分析】本题主要考查新定义下的角的计算、角平分线的定义、几何图形中的角度计算等知识点，理解题意、列出相应的式子是解题额关键．（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；（3）射线是的“量尺金线”，则在的内部，在的外部，然后分三种情况分别求解即可．【详解】（1）解：一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义．故答案为：是．（2）解：∵．射线是的“量尺金线”，∴根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：如图：当时，即∵，∴，∴；如图：当时，∵，∴，∴；如图：当时，∵，∴．综上：当为、、时，射线是的“量尺金线”．（3）解：∵射线是的“量尺金线”，∴在的内部，在的外部；∵射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，∴，∵首次等于时停止旋转，∴∴需分以下三种情况：①如图，当时，即∵，，∴；即：；②如图，当时，∵∴，∴；③如图：当时，∴，∴，∴．综上：当t为x或或时，射线是的“量尺金线”．类型九、一元一次方程的应用——方案问题1．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折；兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（

）A．288元 B．288元或332元C．332元 D．288元或316元【答案】D【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款：360×0.8=288元395×0.8=316元故选D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．2．某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；小敏在该超市两次购物分别付了85元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（

）元A．284 B．308 C．312 D．320【答案】B【分析】设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，分0＜x＜100及100≤x＜350两种情况可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，由第二次购物付款金额=0.9×第二次购物购买商品的价格可得出关于y的一元一次方程，解之可求出y值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额=0.8×两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论．【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，当0＜x＜100时，x=85；当100≤x＜350时，0.9x=85，解得：（不符合题意，舍去）；∴；当100≤y＜350时，则0.9y=270，∴y=300．当y>350时，0.8y=270，∴y=337.5（不符合题意，舍去）；∴；∴（元）．∴小敏至少需付款308元．故选：B．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的90元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．3．国家发展改革委表示，今年国庆中秋小长假中，居民消费需求集中释放，进一步巩固了消费回升的好势头．小长假期间，某商场推出回馈消费者的打折活动，具体优惠情况如下表：购物总金额（原价）折扣超过元且不超过元全部商品打九折超过元且不超过元全部商品打八五折超过元全部商品打八折某市民在该商场购买了一件原价元的商品和一件原价元的商品，实际付费元，则的值可能为．（注：两件商品可以单独付款或一起付款）．【答案】；【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论，根据不同情况列式求出的值．分情况讨论，分两件商品一起付款或单独付款两种情况分别列方程即可；【详解】解：当两件商品分别付款时，第二件商品实际付款为：（元），，，，或解得：或（不合题意，舍去），当两件商品一起付款时，解得：故答案为：；4．某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠；小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款元．【答案】304或336【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100元，即是60元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过350元一律9折；一种是购物不低于350元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．【详解】解：第一次购物显然没有超过100元，即在第一次消费60元的情况下，他的实质购物价值只能是60元．第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有：，解得：．第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有：，解得：．即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元．综上所述，他两次购物的实质价值为或，均超过了350元．因此均可以按照8折付款：（元），（元）．故答案为:304或336．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的288元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．5．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：一次性购物优惠办法少于元不予优惠低于元但不低于元八折优惠元或超过元其中元部分给予八折优惠，超过元部分给予七折优惠(1)若王老师一次性购物元，他实际付款元．若王老师实际付款元，那么王老师一次性购物可能是元；(2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于元但不小于时，他实际付款元，当大于或等于元时，他实际付款元（用含的代数式表示并化简）；(3)如果王老师有两天去超市购物原价合计元，第一天购物的原价为元，用含的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当元时，王老师两天一共节省了多少元？【答案】(1)；或(2)，(3)共付款元，节省元【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用等知识，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键；（1）按照优惠条件计算购物元，计算实际付款的钱数即可；设王老师一次性购物元，分两种情况：和，根据优惠办法求解即可得；（2）根据一次性购物的优惠办法列出代数式，利用整式的加减法则化简即可得；（3）计算出第一天和第二天购物实际付款，将代入求解即可【详解】（1）解：（元），设王老师一次性购物可能是元，①，根据题意得，，解得，②，；综上所述：王老师一次性购物可能是：元或元．故答案为：，或；（2）解：当小于元但不小于时，他实际付款元，当大于或等于元时，他实际付款：（元），故答案为：，；（3）第一天购物实际付款：元，第二天购物实际付款：（元），两天共付款：元，当元时，元，所以共节省：元．答：两天购物王老师实际一共付款元，一共节省了元6．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为万元；经粗加工后销售，每吨利润可达万元；经精加工后销售，每吨利润涨至万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案利润最大，为什么？【答案】方案三获得利润最大，最大利润为75万元【分析】本题考查了一元一次方程的应用，方案选择问题，本题的关键是设未知数，通过方程计算出精加工和粗加工的天数，从而算出利润解题．由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，计算可得到方案一的利润；由条件可知15天可精加工蔬菜75吨，计算可得到方案二的利润；设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜，列方程求出的值，得精加工蔬菜50吨，粗加工蔬菜70吨，计算可得到方案三的利润，对比即可得到结果．【详解】解：方案三获得利润最大，理由如下：方案一：由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，（万元），将蔬菜全部进行粗加工再销售，可获得利润60万元；方案二：由条件可知15天可精加工蔬菜（吨），则剩下（吨）在市场上直接销售，（万元），尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售，可获得利润万元；方案三：设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜，依题意得，，解得，得精加工蔬菜（吨），粗加工蔬菜（吨），（万元），，方案三获得利润最大，最大利润为75万元．类型十、数轴动点求t1．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，满足．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点P、Q同时出发，点P与点Q间的距离为4个单位长度时，点P运动的时间t为（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据绝对值和偶次方的非负性，得到点A表示的数为，点B表示的数为，进而得出点表示的数为，点表示的数为，根据题意列一元一次方程，求出的值即可．【详解】解：，，，，，点A表示的数为，点B表示的数为，由题意可知，点表示的数为，点表示的数为，由题意得：，即，当，解得：；当，解得：；综上可知，点P与点Q间的距离为4个单位长度时，点P运动的时间t为2或，故选：D．2．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（

）①点B对应的数是；②点P到达点B时，；③时，；

④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．A．2个 B．1个 C．4个 D．3个【答案】D【分析】本题考查了数轴，①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．【详解】解：设点对应的数是，点A对应的数为，且，，，点对应的数是，故①正确；由题意得：（秒），点到达点时，，故②正确；当点在点右边时，，，，（秒），当点在点左边时，，，，（秒），综上，时，或；故③