2026届内蒙古包头市包钢第四中学数学高三上期末检测模拟试题含解析

2026届内蒙古包头市包钢第四中学数学高三上期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为82．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A．0 B． C． D．13．设函数在定义城内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A． B．C． D．4．已知定义在上的偶函数，当时，，设，则（）A． B． C． D．5．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为()A． B． C． D．6．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（）A． B． C． D．7．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（）A．48 B．60 C．72 D．1208．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形9．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（）A． B． C．2 D．10．已知若在定义域上恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则（）A． B．4 C．5 D．12．已知角的终边经过点，则的值是A．1或 B．或 C．1或 D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q.若为直角三角形，则该双曲线的离心率是______.14．若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为________.15．如图，已知扇形的半径为1，面积为，则_____.16．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令.求数列的前n项和.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上上一点，且点的横坐标为，.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与抛物线交于、两点，过点且与直线垂直的直线与准线交于点，设的中点为，若、、四点共圆，求直线的方程.19．（12分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．20．（12分）在角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若的面积为，求的周长．21．（12分）已知分别是椭圆的左焦点和右焦点，椭圆的离心率为是椭圆上两点，点满足.(1)求的方程；(2)若点在圆上，点为坐标原点，求的取值范围.22．（10分）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求的取值范围；（2）若函数在区间上恰有3个零点，且，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.【详解】样本的平均数是10，方差为2，所以样本的平均数为,方差为.故选:D.【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.2、B【解析】

根据题意可得平面，，则即异面直线与所成的角，连接CG，在中，，易得，所以，所以，故选B．3、D【解析】

根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.【详解】由的图象可知，在上为增函数，且在上存在正数，使得在上为增函数，在为减函数，故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，故排除A，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.故选：D.【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.4、B【解析】

根据偶函数性质，可判断关系；由时，，求得导函数，并构造函数，由进而判断函数在时的单调性，即可比较大小.【详解】为定义在上的偶函数，所以所以;当时，，则，令则，当时，，则在时单调递增，因为，所以，即，则在时单调递增，而，所以，综上可知，即，故选：B.【点睛】本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.5、C【解析】

设为中点,先证明平面，得出为所求角,利用勾股定理计算,得出结论．【详解】设分别是的中点平面是等边三角形又平面为与平面所成的角是边长为的等边三角形，且为所在截面圆的圆心球的表面积为球的半径平面本题正确选项：【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．6、A【解析】

由复数的除法求出，然后计算．【详解】，∴．故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．7、A【解析】

对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，共有个数字出现在第位时，同理也有个数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，共有个故满足条件的不同的五位数的个数是个故选【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。8、C【解析】试题分析：画出截面图形如图显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C．考点：平面的基本性质及推论．9、C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.10、C【解析】

先解不等式，可得出，求出函数的值域，由题意可知，不等式在定义域上恒成立，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】，先解不等式.①当时，由，得，解得，此时；②当时，由，得.所以，不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时，，则，此时；当时，，此时.综上所述，函数的值域为，由于在定义域上恒成立，则不等式在定义域上恒成立，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.11、D【解析】

由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出，结合余弦定理即可求出的值.【详解】解：，即，即.，则.，解得.，故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角的正弦值余弦值.12、B【解析】

根据三角函数的定义求得后可得结论．【详解】由题意得点与原点间的距离．①当时，，∴，∴．②当时，，∴，∴．综上可得的值是或．故选B．【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

根据是等腰直角三角形，且为中点可得，再由双曲线的性质可得，解出即得.【详解】由题，设点，由，解得，即线段，为直角三角形，，且，又为双曲线右焦点，过点，且轴，，可得，，整理得：，即，又，.故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质，是常考题型.14、【解析】

注意平移是针对自变量x，所以，再利用整体换元法求值域（最值）即可.【详解】由已知，，，又，故，，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.15、【解析】

根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角，再根据等腰三角形性质求出，利用向量的数量积公式求出.【详解】设角，则，，所以在等腰三角形中，，则.故答案为：.【点睛】本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.16、【解析】

先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求.【详解】解：的渐近线是因为在渐近线上，所以，故答案为：【点睛】考查双曲线的离心率的求法，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.试题解析：（1）由题意知当时，，当时，，所以．设数列的公差为，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．考点1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题.“错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18、（1）（2）【解析】

（1）由抛物线的定义可得，即可求出，从而得到抛物线方程；（2）设直线的方程为，代入，得.设，，列出韦达定理，表示出中点的坐标，若、、、四点共圆，再结合，得，则即可求出参数，从而得解；【详解】解：（1）由抛物线定义，得，解得，所以抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，代入，得.设，，则，.由，，得，所以.因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，则直线的方程为.由解得.若、、、四点共圆，再结合，得，则，解得，所以直线的方程为.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.19、（1）；（2）.【解析】

试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.试题解析：（1）对求导得．设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1．（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得．当时，恒成立．当时，，从而．∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：

3

0

极小值

∴，故“在上恒成立”只需，即．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.20、（1）；（2）1.【解析】

（1）由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=sinBcosA，求得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A=．（2）利用三角形的面积公式可求bc=8，由余弦定理解得b+c=7，即可得解△ABC的周长的值．【详解】（1）由题意，在中，因为，由正弦定理，可得sinAsinB=sinBcosA，又因为，可得sinB≠0，所以sinA=cosA，即：tanA=，因为A∈（0，π），所以A=；（2）由（1）可知A=，且a=5，又由△ABC的面积2=bcsinA=bc，解得bc=8，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得：25=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-24，整理得（b+c）2=49，解得：b+c=7，所以△ABC的周长a+b+c=5+7=1．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21、（1）；（2）.【解析】

（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中的关系，即可求得的值，进而得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程为，由题意可知为中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出，由判别式可得；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简可得，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点的坐标，代入圆的方程，化简可得，代入数量积公式并化简，由换元法令，代入可得，再令及，结合函数单调性即可确定的取值范围，即确定的取值范围，因而可得的取值范围.【详解】（1）分别是椭圆的左焦点和右焦点，则，椭圆的离心率为则解得，所以，所以的方程为.（2）设直线的方程为，点满足，则为中点，点在圆