2024中考数学压轴题（解答题一）（解析版）

压轴题（解答题一）

1.一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆0上点C处有个吊灯EF,EF//AB,CO_LAB,EF的中点为

D.0A=4.

图①图②图③

（1）如图①,CM为一条拉线,M在0B上，OM=1.6,DF=O.8,求CD的长度

⑵如图②，一个玻璃镜与圆0相切，H为切点，.M为0B上一点，MH为入射光线，NH为反射光线,

3

NOHM=NOHN=45",tan"0〃=彳求ON的长度.

⑶如图③,M是线段0B上的动点，MH为入射光线，ZH0M=50°,HN为反射光线交圆。于*N,在M从

O运动到B的过程中，求N点的运动路径长.

【答案】（1）2

⑵加亍?0

、“16

(3)4+—^

【分析】（1）由DF=0.8,0M=1.6,DF//OB,可得出DF为VCOM的中位线，可得出D为CO中点，即可

得出CD的长度：

（2）过N点侪DLOH,爻0H于点D,可得出△NHD为等模直角三角形,根据可得出

vn34

lan/NOQ==设ND=3x=DH,则OD=4x,根据OD+DH=OH,即可求得就一国再根据勾股

OD4等

定理即可得出答案；

（3）依题意得出点N路径长为：0B+,推导得出NBOT=80。，即可计算给出，即可得出答案.

【详解】（1）•••DF=0.8,0M=1.6,DF"OB

DF为VCOM的中位线

AD为CO的中点

VCO=AO=4

/.CD=2

(2)过N点作ND_LOH,交OH于点D,

c

H

N

AMB

:•NOHN=45。,

•••△NHD为等腰直角三角形,即ND=DH,

XVtanZCW/=1,

/.tanZAW=",

4

tanZNOD=^^=-

OD4

/.ND:OD=3:4,

设ND=3x=DH,则0D=4x,

VOD+DH=OH,

；.3x+4x=4,

解得H

.题匚四酒h避

•¥W

/.^RtANOD中，ON=JND，+OD?==孚

(3)如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合.当点M运动至点A时，点N运动至点T,故点

V^NHO=NMHO、ZTHO=/MHO,/HOM=50°.

・••/OHA=/OAH=650.

」^THO=65°,ZTOH=50°.

二/BOT=80°,

,・.L=2/rx4x"="",

36009

，N点的运动路径长为：0B+/*=4+丁”

故答案为：亚卜照率，

妙

【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以

上知识，并能灵活运用是解题的关键.

2.如图，AB为OO的弦，D,C为ACB的三等分点，AC//BE.

(1)求证：ZA=ZE;

(2)若BC=3,BE=5,求CE的长.

【答案】(1)脚斤：②施w

【分析】(1)根据题意，连接AD,通过证明AB〃CE,再由ACI/BE可证四边形ACEB为平行四边形，进

而即可得到NA=NE;

⑵根据平行四边形ACEB的性质及D,C为ACB的三等分点可证△CBI)sZ^ED,得到|黄・丝，进

BDDE

而求得。£二5即可得到CE的长

【详解】(1)如图连接AD,

VA.D、C、B四点共圆

/.ZBAD+ZBCD=180°

又/BCD+/BCE=180。

.：/BAD=NBCE

VD,C为ACB的三等分点

/.BD=AC

/.ZBAD=^ABC

.：NABC=NBCE

/.AB//CE,XACI/BE

・•・四边形ACEB为平行四边形

AZBAC=ZE即原题中NAnNE;

D

(2)•・•四边形ACER为平行四边形,BE=5

.\BE=AC=5

・・・D,C为ACB■的三等分点，BC=3

・：BC=CD=AD,BD=AC

・：CD=BC=3,BD=AC=5,/CDB=NCBD=ZBAC

:•/BAC=/E

/.ACBD^ABED

・：BC=AD=BE=5

:・CE=DE-DC=——3=—

33

【点睛】本题主要考查了圆中综合知识、平行四边形的性质及判定及三角形相似的判定及性质，熟练掌握

相关几何综合运用知识是解决本题的关键

3.如图，AB为。O的直径，点C在Q0上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交

AD的延长线于点E.

E

⑴求证：AE=AB;

（2）若AB=10,BC=6,求CD的长.

【膂窠】9）蝴嘛;⑵CD=y.

【分析】（1）连接UC,由同旁内角互补得出AD//UC,可得NOCB=NE,即可推出NABE=NE,AE=AE.

⑵连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDCs/\ECA得出相似比，求出CD即可.

(1)证明：连接0C

VCD与。0相切于C点

•\OCJLCD

又rCD上AE

.'.OC//AE

.,.zOCB=ZE

:・OC=OB

AZABE=ZOCB

.*.ZABE=ZE

.'.AE=AB

（2）连接AC

VAB为。0的直径

・•・ZACB=90°

.••AC—/lO2-^

VAB^AE,AC1BE

.•.EC-BC-6

,/ZDEC=ZCEA,ZEDC=ZECA

「•△EDCS/ECA

•DCEC

*'~AC~~EA

【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质，关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求

解.

4.（广东•统考中考真题）如图1,在aABC中，AB=AC,QO是AABC的外接圆，过点C作NBCD=/ACB

交@0于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.

⑴求证:ED=EC;

（2）求证：AF是Q0的切线：

（3）如图2,若点G是aACD的内心，BCBE=25,求BG的£

【答案】（D证明见解析；（2）证明见解析：（3）BG=5.

【分析】（1）根据等腰三:角形的性质可得NABC=/ACB,再根据圆周角定理以及NACB二NBCD可得

ZBCD=ZADC,即可得ED二EC;

（2）连接0A,可得OA_LBC,继而根据CA=CF以及三角形外角的性质可以推导得舀/€AF=ZACB,可得-

AF//BC,从而可得OA_LAF,问题得证：

⑶证明△ABE'^CBA,可得AB2=BCBE,从而求得AB=5,连接AG,结合三角形内心可推导得出

ZBAG=ZBGA,继而根据等腰三角形的判定可得BG=AB=5.

【详解】（1）•••AB=AC,，NABC=/ACB,

又:2AC8=NBCD,^ABC=/ADC,

.../BCD=NADC,

•:ED=EC

⑵连接OA、

TAR二AC,，B=C

.\OA1BC,

VCA=CF,•：ZCAF=ZCFA,

/.^ACD=ZCAF+NCFA=2ZCAF.

VZACB=^BCD,.\ZACD=2ZACB,

・：NCAF=NACB,・：AF//BC,

/.OA±AF,

二•AF为OO的切线；

⑶：NABE=NCBA,NBAD=NBCD=/ACB,

AABE'ACBA..：—,

RCAR

・：AB2=BCBE

VBCBE=25,/.AB=5,

连接AG,•：ZBAG=ZBAD+ZDAG

^BGA=ZGAC+^ACB.

•••点G为内心，.,.ZDAG=ZGAC,

乂7NBAD=NBCD=NACB,

.：ZBAD+/DAG-^GAC+NACB,

・：/BAG=/BGA,

.r.BG=AB=5.

【点睛】本题考杳了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角形的内心等

知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

5.如图，ZXABC内接于Q0,BC=2,AB=AC,点D为AC上的动点，且.cos8=1Q.

10

⑴求AB的长度:

(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E,问AD.AE的值是否变化？若不变，请求

出AD-AE的值：若变化，请说明理由.

(3)在点D的运动过程中，过A点作AH_LBD,求证：BH=CD+DH

【答案】⑴AB=J10;(2)AD・AE=10;(3)证明见解析.

【分析】(1)过A作AF1BC,垂足为F,交©0于G,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RlAAFB

即可求得AB长；

(2)连接DG、则可得AG为Q0的直径，继而可证明△DAGS^EAE,根据相似三角形的性质可得

ADAE-AFAG,连接BG,求得AF=3,.抽』\继而即可求得AD-AE的值；

'寸

(3)连接CD,延长BD至点N,使DN=CD、连接AN.通过证明△ADCgZ\ADN,可得AC=AN,继而可

得AB二AN,再根据AH_LBN,即可证得BH=HD+CD.

【详解】

(1)过A作AFJ_BC,垂足为F,交。O于G,

-AB=AC,AF-LBC,

:・BF=CF=gBC=L

在心△AFB中，BF=1.

—B—E=

・"8=cosB

1()

(2)连接DG,

Al-JBC,Bi'=CF,

AAG为◎€)的直径,

.,.^ADG=^AFE=90Q,

又；/DAG=NEAE、

/,ADAG^AFAE,

/.AD:AF=AG:AE,

.'.ADAE=AFAG,

连接BG、则/ABG=90。，

VBF±AG,

」.△BFGSAAFB

2

1•BF二AFFG,

VAF=^AB2-BF2=3,

:.FG=；,

•^AD-AE=AFAG=AF.(AF+FG)=3、与=IO；

(3)连接CD,延长BD至点N,使DN二CD,连接AN,

a

1/ADB二ZACB=^ABC,ZADC+ZABC=180,NADN+ZADB=180°,

・・・/ADC=NADN,

/AD二AD,CD=ND,

/.AADC^AADN,

/•AC=AN,

*4B=4C

•：AB=AN,

VAH1BN,

.：BH;HN=HD+DN=HD+CD.

【点睛】本题考杳了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合

性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

跟踪训练

1.（二模）如图，AB是QO的直径，C是弧BD的中点，CE_LAB于点E,BD交CE于点F.

⑴求证：CF=BF：

⑵若CD=2,AC=4,求0()的半径及CE的长

【答案】⑴见解析

⑵©Oft勺半径为V5,。£=及

5

【分析】⑴根据同弧所对•的圆周角相等可证NCAB二NCBD,根据CELAB证明NCBD+NACE=90。，

再利用直径所对的圆周角等于90°,证明NBCF+NACE=90°,等量代换即可证明NCBD二NBCF,再利用

等角对等边即可证明CF=BF;

(2)证明CD=CB=2,再利用5-配.=(/08。=:。从/3即可求出CE.

【详解】(1)证明：・・・C是BD的中点，

・：BC=CD,

，/CAB=NCBD,

VCELAB,

ZCAB+^ACE=90°,

・：/CBD+/ACE=90。,

VAB是QO的直径，

「・/ACB=90。,

・：/BCF+NACE=90。,

・：/CBD=4CF,

.\CF=BF.

⑵解:VCD=BC,

/.CD=CB,

VCD=2,

.\CD=CB=2,

VAB是②O的直径，

・：/ACB=90。,

VAC=4,

AAB=A/22+42=2A/5,

・・・30的半径为JS

VCELAB,

：.S^A8C=-ACBC=-C£-AB,R|l-x4x2=-CEx2^,

22-—

解津寺.

【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，解题的关键是掌握等弧对等弦，直径所对的圆周角等于90。，等

角对等边，勾股定理.

2.（深圳市龙岗区坪地中学校考一模）如图，在4ABC中，以AB为直径的00交AC于点D,点E在00上，

连接DE,BE,/BED=NCBD.

⑴求证：BC是00的切线：

⑵若M）=4,=；求BC的长.

【答案】（D证明见解析

鳄

【分析】（1）由AB是OO的直径，得NADB=90。，由NBED=NCBD=NBAD,得

ZABC=ZCBD+ZABD=ZBAD+ZABD=90°,即可证明BC是00的切线；

⑵由NADB=90。,NBAD=NBED=NCBD,得—=sinZfiJD=sinZ.BED=-i^BD=3m,则AB=5m,

AB5

AD=VAB2-BD2=4m,可得m=l,BD=3,由华=sin/CZO二sinN8M=（=贝|j

32+（：8C）=8CL求解即可.

【详解】（1）证明：:AB是00的直径，

・：/ADB=90c,

:NBED=NCBD,NBED=/BAD、

.：/BED=NCBD=/BAD.

.：/ABC=/CBD+NABD=/BAD+NABD=90。,

r.EClOB,

VOB是00的半径，

，BC是00的切线.

⑵解::•NADB=90。,NBAD=NBED=NCBD,s\nZBED=-.

RD3

—=sinZBAD=sinZBED=-.

AH5

设BD=3m,则AB=5m,

・：ADHAB2・BD5Z(5m户(3m?=4m

■AD=4

.：4tn=4,

・：BD=3,

；・*/BDC=1800・NADB=180°-90°=90",

：.—=sinZC5D=sin乙BED=-,

BC5

：.CD=-BC,

5

VBD2+CD2=BC2,

・・・32+(|叼=RC?,

if号’il号

解得：附㈠寸或颜:三七(不符合题意，舍去)，

ABC的长是”.

4

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明

ZBAD=ZBED=ZCBD是解题的关键.

3.｛深圳市高级中学校联考二模)“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题.

图1图2图3

(1)【知识理解】如图1,圆0的内接四边形ACBD中，ZABC=60°,BC=AC,

①/BDC二:/DAB/DCB(填““<”)

②将D点绕点B顺时针旋转60°得到点E,则线段DB,DC,DA的数量关系为.

(2)【知识应用】如图2,AB是［5510的直行.lan/,48C'=；,猜想DA,DB.DC的数量关系,并证明:

⑶【知识拓展】如图3,已知AB=2,A,B分别是射线DA,DB上的两个动点，以AB为边往外构造等边

△ABC,点C在NMDN内部，若ND=120。，直接写出四边形ADBC面积S的取值范围.

［答案］(1)①60。，二;②DC=DB+DA

(2)yl5CD=DB+2AD

(3)万＜SV华

【分析】(1)①根据等边三角形的判定得到^ABC是等边三角形，同弧同弦所对的圆周角相等即可解答；②

利用旋转的性质得到4DBE是等边三角形，再利用全等三角形的判定即可得到△ABD/4CBE再利用全等

三角形的性质即可解答；

⑵在AB上取一点E,使/ADE:/BDC,根据三角函数得出AC=\an£ARC・BC=*BC,求出

AB=JRC2+f-BCT=证明△ADEs^CDB,得出42二任即AD-CB=€D-AE,证明

VUJ2CDCB

RCRF

△BDEs/XCDA,得出==—；；,即BDAC=CDBE,证明ABCD=ACDB+ADBC,即可得出

CDAC

yl5CD=DB+2AD

(3)根据圆内接四边形的对角互补即可得到当点A和点D重合时，四边形ADBC面积S最小：当CD_LAB

时，四边形ADBC面积S最大，进而得到解答.

【详解】(1)解：@VZABC=60°,BC=AC,

•••△ABC是等边三角形，

・：/BAC=60。,

/.ZBDC=60°,

•・•/DAB和NDCB所对的弦是DB,

・：ZDAB:ZDCB,

故答案为：60°,=;

②连接BD,如图所示：

•・•将D点绕点B顺时针旋转60°得到点日

/.DB=EB,NDBE=60。,

・•.△DBE是等边:角形,

・：/BDE=/BED=60。,BD=BE=DE,

•・NABC=6()o,BC=AC,

•••△ABC为等边说形，

.，.ZBAC=60°,AB=BC,

•:NBDA=180°-^ACB=/20。，

.•・NBDA+NBED=180。,

D,E,C三点共线,

7/DRE=ZEBA+/ABD,/ABC=/EBA+NCBE,

・：/ABD=/CBE,

在aABD和4CBE中，

AB=BC

{Z.4BD-ZCBE.

[DB=EB

/.VABD^VCBE(SAS),

.\AD=CE,/BEC=/BDA=120。

VDI3=DE,DC=DE+CE,

・：DC=DB+DA,

DC=DB+DA

(2)解：仆.AB上取•总E,使NADE二NBDC如图所示:

AB是限iO的HK，lanZABC=；,

・•.AC=tanNABC・BC=；BC,

••・布•△ACB中,AB=\BCJA-BC\=—BC

\UJ2

・「BD=BD

・：/DAB=NDCB,

VZADE=ZBDC,

/.AADE^ACDB,

.AD_AE

9U~CD~'CR'

•1ADCB=CDAE,

\9AD=AD,

/.ZDBA=ZDCA,

VZADE-ZCDE=NCDB-ZCDE,

即/ADC=NBDE,

/.ABDE^ACDA,

.RDBE

••-=■,

CDAC

・・・BDAC=CDBE,

.\ADCB+ACBD=CD.AE+CDBE=CD(AE+BE)=CDAB

/.ABCD=AC.DB+AD.BCf

A—5C-CD=-BCDB+ADBC，

22

：・-CD=-DB+AD

22t

:.CD=1DB+AD.

22

即J5CADB+2AD

故答熟:y/5CD=DB+2AD.

⑶解：..・A,B分别是射线DA,DB上的两个动点，ND=120/ABC是等边三角形,

・•・四边形ADBC的两个对角NADB+NACB=180°,

・•・陶造四边形ADBC的夕媵圆，

.••根据四边形夕微圆的性质可得：

当点A和点D重合时，四边形ADBC面积S最小；

当CDJLAB时，四边形ADBC面积S最大，

①当点A和点D重合时，四边形ADBC面积SUM、，

:△CBD时等边三角形，且AB=2,

二/CBD=60。,AB=BD=BC=2

%BD-如60-BC-BD=忑,

②当CD_LAB时，四边形ADBC面积S最大,

VACBD时等边三角形，且AB=2.

AZACD=30°,AC=2,

“一旦2G

/.AD=amZACD.一行~

3：1S"12行,25/3

2鳍=『°℃=丁丁2=亍

:.Sww=2S对’一

【点睛】本题考杳了网内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的

性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键.

4.(统考模拟预测)如图，AABC中，AB=AC,以AC为00直径的与边AB、BC分别交于点D、E,过E

作直线与AB垂直，垂足为F,且与AC的延长线交于点G.

⑴求证：直线FG是00切线

(2)若GE=4,CG=2,求00半径.

【答案】(1)见解析；

(2)00的半径为3.

【分析】(1)证明OE//AB,由FG_LAB,一条直线垂直于两平行线的一条直线，则这条直线也垂直于

另一条直线，可得OELGF,FG与QO相切.

(2)设Q0的半径为r,则OE=OC=r,在RlZ\OGE中用勾股定理列出关于1•的方程，并求解即可.

VAB=AC,

.\ZB=ZACB.

在QO中,OC=OEf

・：/OEC=/ACB.

・：/B=NOEC,

/.OE//AB.

又ABIGF,

:OELGF.

又OE是QO的半径，

.:FG与QO相切.

(2)设00的半径为r,则OE=OC=r,

:，GE9,CG=2,且/OEG=90°,

OE2+GE2=OG2

即产+42=(r+2)2

解得：i=3,

即Q0的半径为3.

【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理，在圆中证明一条直线是圆的切线是常考

题型，常运用的辅助线为：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线隹垂线”；②有

切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.

5.(统考二模)如图，Q0的弦AB,CD交于点E,连接AC,BC,延长DC到点P,连结PB,PB与Q0相

切，且PB=PE.

D

A

・。

B

(1)求证：点A是CD的中点；

(2)若AE=BE,AC=4,求AE的长

【答案】(1)见解析

(2)2V2

【分析】(1)连接OBQAQA交CD「F点，如图，根据切线的性质得到NOBP=90。，再证明/AFE=90。,

则根据一径定理得到AC=AD

(2)根据圆周角定理，rflAC=AD得到NACD=NABC,贝ij可证明△ACEO2kABC,然后利用相似三角形的

性质得到AC:AB=AE:AC,从市根据比例的性质可计算出AE的K.

【详解】(1)证明：连接OBQAQA交CD于F点，如图，

VPB1QOffl

二・NOBP=90°,

即/OBA+ZPBE=900,

：PB=PE,

・・・NPBE=/PEB,

T/PEB=NAEF,

/.ZOBA+ZAEF=90°,

,.'OA=OB,

••・/OBA=/OAB、

ZOAB+ZAEF=90\

・'・/AFE=900,

・：OAJ.CD,

Z.AC=AD,

即点A是CD的中点：

⑵解：VAC=AD,

/.ZACD=ZABC,

VZCAB=ZEAC,

ZzUCE-zlABC,

AC:AB=AE:AC,

“AC=4,AE=BE

.\4:2AE=AE:4

解得AE=242（负值舍去），

即AE的长为2J2.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了垂径定理和相似三角形的判

定与性质.

6.（校考模拟预测）如图，已知等边△ABC,以AB为直径的圆与BC边交于点D,过点D作DFJ_AC,垂

足为F.过点F作FGLAB、垂足为G.连接GD.

⑵若AB=I2,求FG的长.

【答案】（1）见解析

耍0D.由题意可知NA=NB=NC=60°，则OD=OB，可以ill川.ZOBD

导NC=NODB=60°，再运用

⑵先说明OD为AABC的中位线，得到BD=CD=6.在RlaCDF中，由NC=60。，得NCDF=3（F,根据含

30度的立用：地形:边的关系得c/则AF=ACQ=9,最后4RaAFG中，根据正弦的定义即可

解答；

【详解】(1)如图所示，连接0D.

•「△ABC是等边三角形，

.\^A=ZB=ZC=60°

VOD=OB

•••△OBD为等边三角形，

・：/C=/ODB=60。,

/.ACI\OD,

・・・/CFD;NFDO,

VDFJ.AC,

；・/CFD=/FDO=90。,

，DF是QO的切线

⑵.•,点0是AB的中点，

，OD是AABC的中位线.

'•△ABC是等边三角形，AB=12,

/.AB=AC=BC=12,CO=80=；8c=6

：・/C=6()o,NCFD=90。,

：.ZCDF=30°,同理可得NAFG=3()。，

/.CF=yCD=3

AAF=12-3=9.

,g/1r9"

••FG———xAF=——x9=-

222

【点睛】本题考查了切线的判定、等边三角形的性质以及30°角的宜角三角形性质，连接圆心与切点的半径

是解决问题的常用方法.

7.(深圳市南山外国语学校校考一模)如图，在AABC中，以边AB为直径作◎(),交AC于点D,点E为

边BC上一点，连接DE.给出下列信息：①AB=BC;②NDEC=90°;③DE是Q0的切线.

c

（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩F的一条作为结论，组成一个命题.你选择的两个条件

是______，结论是（只要填写序号）.判断此命题是否正确，并说明理由：

（2）在（1）的条件下，若CD=5,CE=4,求©0的直径.

【答案】（1）①和②，③，真命题，证明见解析：（答案不唯一）

玳

【分析】⑴选择①和②为条件，③为结论，连接OD,由等边对等角可得出NA=NC,NA=NODA,即

可推山NC=NODA,从而可证明OD〃BC,再根据平行线的性质和NDEC=90。，可证明NODE=NDEC=90。,

即OD_LDE,说明DE是@0的切线；

（2）连接BD,由直径所对圆周角为直角得出DBJ_AC.再结合等腰三角形三线合一的性质可得出

AD=CD=5.又易证△ABD~Z\CDE.即得出任=四代入数据即可求出AB的长.

【详解】（1）解：选择①和②为条件，③为结论，且该命题为真命题.

证明：如图，连接OD,

:'AB=BC,

V0A=0D,

:・NC=NOD'

.'.0D//BC.

/ODE=NDEC=90°,&/JOD1DE

ADE是（DO的切线.

故答案为：①和②，③；（答案不唯一）

（2）解：如图，连接BD,

〈AB为直径,

"ADB-90c即DBJ_AC.

VAB=BC,

.\AD=CD=5.

"DB=NDEC=90C

在aABD和△CC€中，,“〃，

Z/l=zc

/.AABD-ACDE,

・・・丝=丝诵£

CDCE5'4、

AAH=—.

故E10的直径为『竽,

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理以及三角形

相似的判定和性质.解题的关键是连接常用的辅助线.

8.(模拟预测)如图1,0为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且连接AC并延长，与BD的

延长线相交于点E.

(2)AD与OC,BC分别交于点F,H.

①若CF=CH,如图2,求证：CF.AF=FO.AH;

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

7

【答案】⑴见解析；⑵①见解析；②

一

【分析】（1）连接BC,ffitEZACB=ZBCE=90°,ZECD+ZBCD=90°且BD=CD,则NE=/ECD,即

可挂导出CD=ED;

（2）©CF=CH,则NAFO二NCHF,XBD=CD,ZCAD=ZBAD,则△AFCfZ^AHC,进而推导出

CFAF=FOAH;

2连接OD交BC于G.设OG=x,则DG=2-x,根据在RtaOGB和RtaBGD中

列式22-X2=12_（2_X）2,进而求得X的值，再根据中位线定理求出AC的长.

【详解】证明：（1）连接BC,

•••AB为直径

J/ACB二NBCE=90。

/ECD+/BCD=90。

VBD=CD

・：/EBC=/BCD

・・・4=ZECD

.\CD=ED.

）VCF=CH

・：/CFH:NCHF

（：NAFO=NCFH

・・・NAFO=NCHF

又・.,BD=CD

，/CAD=/BAD

/.AAFO^AAHC

,AFOF

**=

./IFOF

''7H~~CF

/.CFAF=OF.AH

E

c

一

AOB

②连接0D交BC于G.

设OG=x,则DG=2-x

VCD=BD

・：/COD=/BOD

又・・・OC=OB

/.OD工BC,CG=BG

在RtAOGB和RtZXBGD中

22-x2=l2-(2-x)2

?7

,Z.、OG=_

©即4

VOA=08

AOG是AABC的中位线

工在嫌〜工月焚

【点睛】本题考杳了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点，属于综合题型，借助

辅助线是解决这类问题的关键.

9.（统考三模）如图，在4ABC中，AC=BC,以BC为直径作乳，交AC于点F,过C点作CD_LAC交

AB延长线于点D,E为CD上一点，且EB=ED.

F,()E

AH

⑴求证：BE为OO的切线：

（2）若AF=2,tanA=2,求BE的长

【答案】（1）见解析

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得NA=/ABC,ZD=ZEBD,根据等腰三角形的性质得到/A二/ABC,

ND二NDBE,推出NCBE=90。，于是得到结论；

（2）连接BF,根据圆周角定理得到BF_LAC,根据三角函数的定义得到BF=4,设CF=x,列出关于x的方

程并求解，再根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】（1）证明：：AC=BC,EB=ED

•4=/EBD

VCD!AC

:./A+/D=900

.：/ABC+/EBD=90。

.：NCBE=90。

•・力(2是©0的直径

ABE是OO的切线.

(2)解:连接BF

•「BC是©O的直径.

."./BFC=/BFA=90°

一人,BEBF、

在RtAABF中.taivf--；=—=2

Ar2

.".BF=4

设CF=x,则AC=BC=x+2

在RiZXBCF中,BC2=CF2+BF2

即(x+2)2=x2+42

:・CF=3,BC=5

VZACB=^AFB=90°

.,.BF//CD

.*.zl=Z2

又丁/CFB:ZEBO90。

/.ACFB^AEBC

.FCFB

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相彳以三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出

辅助线是解题的关键.

10.（校考二模）如图，在半径为5cm的QO中，AB是QO的直径，CD是过QO上点C的直线，且AD_LDC

于有、D,NC平分/BAD,E是BC的中点,OE=3cm.

C

【答案】⑴证明见解析;⑵

£

【分析】（1）连接OC,由题意知NDAC=NOAC=NOCA,据此得AD//OC,根据AD_LDC即可得证;

⑵连接BC,证△ADCs/XACB即可得.

【详解】解：（1）如图，连接OC

VOA=OC,

/.ZOAC=^OCA,

VAC平分/DAO,

/.ZDAC=^OAC,

/.ZDAC=^OCA,

/.AD//OC,

■AD1DC,

・：0C上DC,

又•「OC是©o的半径，

，CD是。O的切线：

(2)如图，连接BCQE,

•・・E是BC的中点，OE=3cm,

AC=6cm,

TAB是OO的直径，AD±DC,半径0A=5cm,

丁・/ADC=/ACB=900,AB=10cm,

XVZDAC=ZCAB,

/.AADC^AACB,

ADAC

则H1一=—

ACAB

2

・.•A"八D=-A-C=—6=—18.

AB105

【点睛】木题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识；

熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键.

11.（统考二模）如图，AB是QO的直径，弦AC=BC,E是OB的中点，连接CE并延长到点F,使EF=CE,

连接AF交QO于点D,连接BD,BF.

c

(1)求证：直线BF是OO的切线;

(2)若AF长为5J2,求BD的长.

【答案】⑴见解析；

(2)BD=2<2

【分析】(1)连接OC、OF,证明四边形OFBC是平行四边形，则BF〃OC,根据AC=BC,得到OC_LAB,

ZABF=ZBOC=90°,可证明BF是QO的切线；

艇AB嬲糖龈般承照跚气6维删则眄8=0旧桶.根据勾

股定理求出AB、BF的长，再根据三角形的面积公式即可求出BD的长.

【详解】(1)证明：如图，连接OC、OF,

VEF=CE,OE=BE,

・•・内边形OFBC是平行四边形，

/.BF//OC,

VAC=BC,OA=OB.

・：OC」AB,

・：/ABF=/BOC=90。,

VOB是©O的半径，且BF_LOB,

.,.直线BF是QO的切线；

(2)如图，TAB是QO的直径，

B

；・」ADB=/ACB=90°,

.NCAB=NCBA=45°,

-*OC=OB,

・・・/OCB=/OBC=45°,

・：/BFO=NOCB=45。,

VOF//BC;

:・/BOF=NOBC=45。,

.\ZBFO=ZBOFt

:・FB=OB=OA=』AB,

7FB2+AB2=AF2,且AF=5、2

・•・(；力8)2+/炉=(5亚产，

・・・AB=2山()

・••怯二而，

・・.。的半径为J10

VSDBFH；AB・BF=9AF・BD,

:2由()E10=5XBD,

・：BD=K2.

【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、

勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

12(深圳市观澜第二中学校考模拟预溅如图，必XB为直径的制B中，点是圆心，点C是半圆上一^点(不

与点A,B重合)，点E是0C的中点，连接AE并延长到点D,满足ED=AE,连接CD、BD.

AB

(1)求证：四边形OBDC是菱形；

(2)连接BC,交AD于点F.

①当NABC=_度时•，CD是。O的切线;

②若DF=2,求EF的长.

【答案】(1)见解析：

⑵045;②1

【分析】(1)连接0D,易得四边形AODC是平行四边形，进而可得CD〃OB,CD=OB,得得四边形OCDB

是平行四边形，由邻边相等即可得出结论；

⑵①由CD是©O的切线；可知/0CD=9()。，由棱形性质即可得出结论；

仁介r\ci

②由相似三角形性质可得线段比—结合DE=AE=EF+DF,列方程即可解答，

ABAF2

(1)

证明：如图，连接0D,

，四边形AODC是平行四边形,

/.CD//OB,CD=OA,

又'・・OB=OA

・：CD=OB,

・・・四边形OCDB是平行四边形，

又*OC=OB,

・•・平行四边形OCDB是菱形；

⑵

解：®ZABC=45°

理由：若CD是◎。的切线；则/OCD=90。，

又“四边形OCDB是菱形；

/OBD=NOCD=90。,ZABC=1/OBD=45。：

7

②；CD〃OB,

/.ACDF'ABAF

.DFCD\

••---=---=-।

AFAB2

DE=EF+DF,FD=2,

.2_l

2+2EF2

.\EF=L

【点睛】本题主要考查了圆得基本性质、特殊四边形的性质和判定、相似三角形判定和性质.思路比较简

单，涉及知识点较多，掌握几何图形的法本性质并灵活运用是解题关键.

13.（二模）如图，Q0是^畋的外接圆，AD是Q0的直径，F是AD延长线上一点，连接CD,CF,且

/DCF=NCAD.

⑴求证：CF是◎€）的切线；

（2）若cos4Pj,AD=2,求FD的长

【答案】（1）见解析；（2）y

【分析】（1）根据切线的判定，连接0C,证明出OC_LFC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形

的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；

⑵由cosB=（根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD:AC:AD=3:4:5,再根据相似三角形的性质

可求出答案.

【详解】解：⑴连接OC,

TAD是QO的直径，

ZACD=90°,

^ADC+^CAD=90°,

又・.・OC=OD,

^ADC=^OCD,

XrZDCF=ZCAD.

.-.^DCF+^OCD=90\

即0C_LFC,

.,.FC是00的切线;

(2)VZB=ZADC,cos5=1

?9

.*.cosZ/lDC=-

5

在RlZ\ACD中,

3CD

COSZ.ADC=-=—,AD=2,

5AD

CD=^DcosZ/f£X7=2x-=-(

S5

*.=CD'/(¥=2

CD_3

1C~4

；/FCD=NFAC,NF=NF,

；2FCDs△卜AC.

CDFCFD3

.-----------——

ACFAFC4(

设FD=3x,贝I]FC=4x,AF=3x+2,

又,FC2=FDFA

即(4x)2=3x(3x+2),

fi

解得律(取正值),

s'

【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的

判无方法，直角二角形的边角关系以及相似二角形的性质是正确解答的前提.

14.(统考模拟预测)如图，AB为Q0的宜径，C为Q0上一点，D为AB上一点，BD=BC,过点A作AE_LAB

交CD的延长线于点E,CE交Q0于点G,连接AC,AG,在EA的延长线上取点F,使NFCA=2/E.

(1)求证：CF是Q0的切线；

(2)若AC=6,AG=Y10,求00的半径.

c

Er

【答案】（1）见解析；（2）5

【上析】（1）根据题意判定△ADGs^DCB,然向性质求得NAGD=2NE,从而「

ZFCA=ZAGD,然后结合等腰三角形的性质求得NFCO=90。，从而判定CF是QO的切线；

⑵111切线长定理可得AF=CF,从而可价NFAC=2NE,储到AC=AE,然后利用勾腹定理解H用

形可求得圆的半径.

【详解】⑴证明:VZB=ZAGC,4DG=/CDB,

/.AADG^ADCB,

BDBC

~GD~~GA'

TBD=BC

.\CD=GA,

.\ZADG=^DAG,

又：AE上AB.

・：/EAD=90。,

・：ZGAE+NDAG=NE+NADG=90。;

・：NGAE=/E,

・：AG=DG=EG,/AGD=2/E,

：/FCA=2NE,

:.NFCA=NAGD=NB,

TAB是00的直径，

ZCAB+ZB=90Q,

VQ0A=0C,

.*.^ACO=^CABf

.^^FCA+^ACO=90°,

・：NFCO=90°,

即CF是QO的切线；

（2）VCF是OO的切线，AE±AB,

/.AF=CF,

.♦./FAC=NFCA=2ZE,

•\AC=AE=6y

又：・AG=DG=EG=7IO

在RtAADE中，AD=^DE2-AEM(2^10)-62=2,

设00的半径为X,则AB=2x,BD=BC=2x-2,

在Rtz^ABC中，62+(2x-2)2=(2xH

解得：x=5,

・・・QO的半径为5.

【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握

相关定理与性质是解决本题的关键.

15.(统考二模)如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,点O在AC上，NOBC=NA,点D在AB上，以点O

为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长线于点E,交AC于点F,NE=%OC.

2

⑴求证：AB为。。的切线；

⑵若。0的半径为3,tanZO^C=-,求BD的长.

2

【答案】(1)见解析；(2)4

【分析】(1)先证出NBOC=NDOF,再根据直角三角形两锐角互余得NA+NDOF=90。，即可证明；

(2)先利用止切得出AD,再设OC二k,表示出BC、AC,利用AOOA+OC,解出k,再由勾股定理得

出他即可计算出结果；

【详解】(1)证明：如图.

B

VZE=-Z50C,ZE=-ADOF,

22

・：/BOC=/DOF,

在RMiOBC中，ZC=90°,

.：/OBC+NBOC=90。,