《二次函数y=ax2的图象和性质》课件

第二十二章

二次函数

22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.1.正确理解抛物线的有关概念.2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.（1）你们喜欢打篮球吗？（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？x…-3-2-10123…y=x2…

…

画出二次函数y=x2的图象.94101941.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：二次函数y=ax2的图象的画法知识点12.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：

如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象.369yO-33x

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.369yO-33x画出函数y=-x2的图象.x…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

y24-2-40-3-6-9x

根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.二次函数y=ax2的图象性质知识点21.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点．1.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.1.顶点都在原点（0,0）;3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．2.图像关于y轴对称;二次函数y=ax2的图象性质1.观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)二次函数y=ax2的增减性知识点3对于抛物线y=ax2（a＞0）

当x＞0时，y随x取值的增大而增大；

当x<0时，y随x取值的增大而减小.二次函数y=ax2的性质(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)2.观察图形，y随x的变化如何变化？对于抛物线y=ax2（a＜0）

当x＞0时，y随x取值的增大而减小；

当x<0时，y随x取值的增大而增大.二次函数y=ax2的性质二次函数y=ax2的开口大小与a的关系知识点4

解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5xyO-222464-48【思考】二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？当a>0时，a越大，开口越小.【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数的图象．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5O－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.【思考】二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．xyy＝ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减yOxyOx1.函数y=2x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧，y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.

向上y轴(0,0)减小增大xyO基础巩固题2.函数y=-3x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧,y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.向下y轴(0,0)减小增大xyO

3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是

.xyk>1O1.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：在二次函数y=x2中，a=1＞0

因此当x=0时，y有最小值.

∵当x≥m时，y最小值=0，

∴m≤0．能力提升题2.

已知

y=(m+1)xm2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式解:依题意有:m+1>0,①m2+m=2,②解②,得m1=－2,m2=1.由①,得m>－1.因此m=1.

此时,二次函数为

y=2x2.(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．<3.已知二次函数y＝2x2.

(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB,∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.方法点拨

二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（

）A.y1＞0＞y2

B.y2＞0＞y1

C.y1＞y2＞0

D.y2＞y1＞0C二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性1.一般地,二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做_________

y=ax2+bx+c.

2.下列各点:(-1,2),(-1,-2),(-2,-4),(-2,4),其中在二次函数y=-2x2的图象上的是

.

2.一般地,抛物线y=ax2的对称轴是

,顶点是

.当a>0时,抛物线的开口

,顶点是抛物线的最

点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最

点.对于抛物线y=ax2,|a|越大,抛物线的开口越

.

3.抛物线y=-x2的对称轴是

,顶点是

,开口

,顶点是最

点.

4.请写出二次函数y=2x2和y=-3x2具有的两个共同性质:(1)

;(2)

.

抛物线

(-1,-2)y轴

原点

向上

低

高

小

y轴

原点

向下

高

图象顶点都是原点

图象都关于y轴对称

1.画二次函数y=ax2(a≠0)的图象【例1】

在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象.(1)y=-x2;

(2)y=3x2.分析:在这两个二次函数中,当x=0时,y的值都等于0,故在列表取值时应从原点(0,0)的左右对称取值,先列表,再描点、连线.解：列表如下:描点、连线,画图如下:点拨:在列表取值时,一般取5~10组数据为点的坐标描点即可,描的点越多,图象就越精确.2.二次函数y=ax2(a≠0)的性质【例2】

已知函数y=ax2(a>0)的图象上有A(2,y1),B(3,y2),C(-1,y3)三个点,试比较y1,y2,y3的大小.分析:要比较y1,y2,y3的大小,可直接求出y1,y2,y3的值进行比较,也可以先判断各点是否在对称轴的同一侧,再利用二次函数的性质进行比较.解法一由题意知,y1=4a,y2=9a,y3=a.又a>0,故y2>y1>y3.解法二因为抛物线y=ax2(a>0)的对称轴是y轴,点C(-1,y3)在函数y=ax2(a>0)的图象上,所以点(1,y3)也在该抛物线上.因为a>0,所以当x>0时,y随x的增大而增大.又因为3>2>1,所以y2>y1>y3.点拨:要比较抛物线上多个点所对应的函数值的大小,也可以先比较各点到对称轴的远近.若抛物线开口向上,则离对称轴越近的点所对应的函数值越小;若抛物线开口向下,则离对称轴越近的点所对应的函数值越大.67123451.抛物线y=x2不具有的性质是(

)A.开口向上B.对称轴是y轴C.当x>0时,y随x的增大而减小D.函数有最小值答案答案关闭C6712345答案答案关闭A2.若点M(m,n)(mn≠0)在二次函数y=ax2(a≠0)的图象上,则下列坐标表示的点也在该抛物线上的是(

)A.(-m,n) B.(n,m)C.(m2,n2) D.(m,-n)67123453.已知物体从空中自由下落过程中,下落高度h关于时间t的函数解析式为h=gt2,其中g是一个常数,则这个函数的图象是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭67123454.已知二次函数y1=-4x2,y2=-x2,y3=-x2,它们的图象的开口大小由小到大的顺序是(

)A.y1,y2,y3 B.y3,y2,y1C.y2,y1,y3 D.y3,y1,y2答案解析解析关闭答案解析关闭6712345答案解析解析关闭答