《实际问题与二次函数（第1课时）》课件

第二十二章

二次函数

22.3实际问题与二次函数（第1课时）2.会应用二次函数的性质解决实际问题.1.掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求图形面积的最值.排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高度h（单位：m）与排球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=20t-5t2（0≤t≤4）．排球的运动时间是多少时，排球最高？排球运动中的最大高度是多少？0ht4【思考】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？二次函数与几何图形面积的最值知识点1t/sh/mO1234562040h=30t-5t2

可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.2.公式法：由于抛物线y=ax2

+

bx+c的顶点是最低（高）点，当时，二次函数

y=ax2

+

bx+c有最小（大）值【想一想】如何求出二次函数y=ax2

+

bx+c的最小（大）值？1.配方法：将

y=ax2

+

bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式小球运动的时间是

3s时，小球最高;小球运动中的最大高度是45m．t/sh/mO1234562040h=30t-5t2解：公式法例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1

矩形面积公式是什么？问题2

如何用l表示另一边？问题3

面积S的函数关系式是什么？素养考点1利用二次函数求几何图形的面积的最值素养考点lS解：场地的面积S=l(30-l)，即S=-l2+30l(0<l<30).即当

l是15m时，场地的面积

S最大.矩形场地的周长是60m,一边长为

lm,所以另一边长为m.因此，当时，S有最大值方法点拨利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.变式1

如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题1

变式1与例题有什么不同？问题2

我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3

面积S的函数关系式是什么？S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.设垂直于墙的边长为x米.问题4

如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5

如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.变式2

如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？x问题1

变式2与变式1有什么异同？问题2

可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3

可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示

另一边与面积？答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则问题4

当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5

如何求自变量的取值范围？0＜x≤18.问题6

如何求最值？由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.不正确.方法点拨

实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.

已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x,∴另一边长为8-x.

则该直角三角形面积：即：当S有最大值＝∴当时，直角三角形面积最大，最大值为8.S=（8-x）x÷2,x==4,另一边为4时,8,两直角边都是41.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.基础巩固题2.如图1，在△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过

秒，四边形APQC的面积最小.3ABCPQ图1能力提升题1.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面积为y，则DG=1-x.即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.当x=时，y有最小值.∴2.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.解：即(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？解：∵0＜x＜25，∴当x=20时，满足条件的绿化带面积ymax=200.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),

S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.拓广探索题(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）.(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解：如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；解：设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45.当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10.答：AD的长为10m；解：设AD=xm，∴S=

x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定1.因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,所以当x=______

时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值

.

2.当x=

时,二次函数y=x2+2x-2有最小值.

3.利用二次函数求最大利润时,若列出的二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内,则二次函数的最

就是所要求的最大利润;当求得的二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内,我们先要搞清自变量的取值在对称轴

侧还是

侧,然后结合二次函数的增减性求出最大利润;当在不同的自变量取值范围内,函数表达式不同时,我们需要分段讨论,求出每种情况下的

,然后综合考虑.

-1大值

左

右

最大值

4.某商店经营一种水产品,成本为40元/千克,据市场分析,若按50元/千克销售,一个月能售出500千克;销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,销售单价定为

元时,获得的利润最多.

701.利用二次函数解决几何问题【例1】

如图,已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形CBFG都是正方形,设BC=x.(1)试用x表示AC.(2)设正方形ACDE和正方形CBFG的总面积为S,请写出用x表示S的函数解析式,并画出其图象.(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?(4)总面积S取最大值或最小值时,点C在AB的什么位置?分析:根据线段和差关系用x表示出正方形ACDE的边长AC,利用正方形面积公式表示它们的面积,构建二次函数解决最值问题即可.解:(1)当BC=x时,AC=2-x(0<x<2).(2)S正方形ACDE=(2-x)2,S正方形CBFG=x2,故S=(2-x)2+x2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2,画出函数S=2(x-1)2+2(0<x<2)的图象,如图.(3)由图象可知,当x=1时,S最小值=2;没有最大值.(4)当x=1时,总面积S取得最小值,此时点C恰好在AB的中点处.点拨:此题中的图形为规则图形,可直接求面积,对于不规则图形的求面积问题,一般通过割补法,将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差来求.用二次函数求最值时,一定要考虑题目的实际意义,确定自变量的取值范围,图象也应该只画出自变量允许范围内的部分图象.2.利用二次函数解决经济问题【例2】

某化工材料经销公司购进一种化工原料共7000千克,购进价格为30元/千克,物价部门规定其销售价格不得高于70元/千克,也不得低于30元/千克.市场调查发现,价格定为70元/千克时,日均销售60千克;单价每降低1元,日均多售出2千克,在销售的过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足1天时,按整天计算).设销售价格为x元/千克,日均获利y元.(1)试求y关于x的二次函数解析式,并注明x的取值范围.(2)将(1)中所求出的二次函数配方成y=a(x-h)2+k的形式,写出函数图象的顶点坐标,画出草图,观察图形,指出销售价格定为多少元/千克时日均获利最多?最多是多少?(3)若将这种化工原料全部售出,比较日均获利最多和销售价格最高这两种方式,哪一种获总利较多?多多少?分析:(1)由日均获利=每千克获利×日均销售数量-支出费用,可列出关系式;(2)画草图的关键是确定抛物线顶点的坐标,这可由二次函数配方实现;(3)在(1)(2)的基础上通过计算可解.解:(1)若销售价格为x元/千克,则每千克降价(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利为(x-30)元.依题意得y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x2+260x-6

500(30≤x≤70).(2)y=-2x2+260x-6

500=-2(x2-130x)-6

500=-2(x-65)2+1

950(30≤x≤70),顶点坐标为(65,1

950).

二次函数的草图如图,经观察可知,当销售价格定为65元/千克时,日均获利最多,最多获利为1

950元.(3)当日均获利最多时,销售价格为65元/千克,日均销售60+2×(70-65)=70(千克),获得总利为

=195

000(元).当销售价格最高为70元/千克时,日均销售60千克,将这种化工原料全部售完需7

000÷60≈117(天),获得总利为(70-30)×7

000-117×500=221

500(元).因为221

500>195

000,且221

500-195

000=26

500(元),所以销售价格最高时获总利较多,且多获利26

500元.点拨:为了用图象更好地表示二次函数的关系,针对不同的情况要具体分析,如x轴和y轴的单位长度可以不统一,但在同一坐标轴上的单位长度必须统一.123451.某公司准备修建一个长方体的污水处理池,若池底矩形的周长为100m,则池底的最大面积是(

)A.600m2 B.625m2

C.650m2 D.675m2答案解析解析关闭设矩形的一边长为x

m,则与其相邻的另一边长为(50-x)m,若面积为S,则S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625.∵-1<0,∴S有最大值.当x=25时,最大值为625.故选B.答案解析关闭B123452.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S的最大值为(

)A.196m2 B.195m2 C.190m2 D.180m2答案解析解析关闭S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196,因为在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15

m和6

m,所以x≥6,28-x≥15,所以6≤x≤13.因为a=-1<0,且对称轴为直线x=14,所以在6≤x≤13范围内,S随x的增大而增大,故当x=13时,S有最大值,S最大值=-(13-14)2+196=195(m2).答案解析关闭B123453.老刘准备在某地投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村,并将其全部利润用于当地建设.据测算,若每个房间的定价为60元/天,则房间将会住满;每个房间的定价每增加5元/天,就会有一个房间空闲.度假村对旅客住宿的房间每间将支