2025-2026学年安徽省临泉县田家炳实验中学（阜阳市临泉县教师进修学校）高三（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年安徽省临泉县田家炳实验中学（阜阳市临泉县教师进修学校）高三（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|y=ln(x−2)}，B={1,2,3,4}，则A∩B=(

)A.{1,2,3,4} B.{3,4} C.{1,2,3} D.{2,3,4}2.已知a，b∈R，则“ab<1”是“lna+lnb<0”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.已知A，B分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长、短轴的一个端点，且直线A.513 B.1213 C.7124.已知直线l1：ax+(a−2)y+2=0和直线l2：3ax+y+13=0平行，且a≠0，则a=(

)A.73 B.76 C.1 5.若函数f(x)=3cos(2x+φ)(φ>0)的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为(

)A.π6 B.π3 C.2π36.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，以线段A.y=±x B.y=±2x C.y=±3x7.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为点A和B相关的阿波罗尼斯圆.现已知点A和B相关的阿波罗尼斯圆为圆O：x2+y2=4，其中点A(−4,0)，且点P在该圆上，点Q在圆M：(x−5)A.16 B.8 C.12 D.68.已知f′(x)是定义在R上的奇函数f(x)的导数，且g(x)=f′(x)−2ex+2x也是定义在R上的奇函数，则关于a的不等式g(2a+1)+g(a−5)<0的解集为A.(−∞,43) B.(43,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，且复数z+1和(1+i)z均为纯虚数，则(

)A.b=−1 B.a=1 C.|z|=5 10.在平面直角坐标系中，方程E：x2+y2cosα=1，A.一条直线 B.一个圆

C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线11.如图，一个半圆柱的轴截面为矩形ABCD，点E在上底面上，连接AE，BE，若AB=2，∠DCE=30°，该几何体的外接球的表面积为13π，则(

)A.BE=33

B.AE=10

C.△ABE面积为39

D.点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}是递增数列，且a5=4a1−1，请写出一个满足上述条件的数列{an}的通项公式：13.已知向量|a|=2|b|=4，且|a+b|=27，则向量14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P(x,y)为该抛物线上的动点，A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则sin∠PAFsin∠AFP的最小值是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知双曲线y2a2−x212=1(a>0)的一个焦点为(0,27)，且双曲线的一个顶点与抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点重合．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线l与抛物线16.(本小题15分)

已知函数f(x)=12x2−(1+1a)x+lnxa+12(a>0)．

17.(本小题15分)

如图，在三棱锥D−ABC中，平面DAC⊥平面ABC，AD=DC，∠ADB=∠BDC．

(1)求证：AC⊥BD；

(2)已知BD=5,AC=2,AD=2，F是线段BD上一点，当18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，右顶点为B，下顶点为D，△DBF1的面积为1+32．

(1)求椭圆C的方程．

(2)设P，19.(本小题17分)

设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互质.若n为正整数且n≥2，集合Xn={1,2,…,n−1}，规定函数φ(n)的值等于集合Xn中与n互质的正整数的个数．

(1)试求φ(5)，φ(7)，φ(35)的值．

(2)设p，q是两个不同的质数，写出φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系．

(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：

①准备两个不同的、足够大的质数p，q；②计算φ(m)，其中m=p⋅q；③选取一个大整数e，满足与φ(m)互质，求正整数k，使得ke除以φ(m)的余数是1；④其中(m,e)称为公钥，(m,k)称为私钥．

已知某RSA加密算法中的公钥是(143,17).若满足私钥条件的正整数k按从小到大排列得到的一列数记为数列{bn}，数列{an}满足120an参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.B

7.B

8.B

9.AD

10.BC

11.BD

12.an=n+113.π314.215.解：(1)根据双曲线y2a2−x212=1(a>0)的一个焦点为(0,27)，那么可得a2=(27)2−12=16，解得a=4，

抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为(0,p2)，根据题意，p2=4，解得p=8，

因此抛物线C为x2=16y．

(2)根据第一问设A(x1,x1216),B(x2,x2216)，由弦AB的中点的横坐标为−4，得x1+x2=−8，

所以直线l的斜率k=x1216−x2216x1−x2=x1+x216=−12．

16.解：(1)因为f(x)=12x2−(1+1a)x+lnxa+12(a>0)，

所以a=2时，f(x)=12x2−32x+lnx2+12，

所以f′(x)=x−32+12x，则f′(1)=1−32+12=0，

又f(1)=12−32+ln12+12=−12，

故所求切线方程为：y=−12；

(2)因为f(x)=12x2−(1+1a)x+lnxa+12(a>0)，定义域为(0,+∞)，

所以f′(x)=x−(1+1a)+1ax=ax2−(a+1)x+1ax=(x−1)(ax−1)ax，

令f′(x)=0，得x=1或x=1a，

当1a=1，即a=1时，f′(x)=(x−1)2x≥0，

故f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当1a>1，即0<a<1时，

所以当0<x<1或x>1a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当1<x<1a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当1a<1，即a>1时，

当0<x<1a或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当1a<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

综上，当a=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当0<a<1，f(x)在(0,1)和(1a,+∞)上单调递增，在(1,1a)上单调递减；

当a>1时，f(x)在(0,1a)和(1,+∞)上单调递增，在(1a,1)上单调递减．

17.解：(1)证明：取AC的中点M，连接DM，BM，

因为DA=DC，DB=DB，∠ADB=∠CDB，

所以△ADB≅△CDB，

所以AB=BC，

因为M为AC的中点，

所以AC⊥DM，AC⊥BM，

又DM，BM⊂平面DBM，DM∩BM=M，

则AC⊥平面DBM，

又BD⊂平面DBM，

所以AC⊥BD；

(2)由侧面DAC⊥底面ABC，且AC⊥BM，BM⊂平面DBM，

平面DAC∩平面ABC=AC，故BM⊥平面DAC，

又DM⊂平面DAC，故BM⊥DM，

即有BM，DM，AC两两垂直，

故可以M为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

由BD=19.解：(1)设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互质，

若n为正整数且n≥2，集合Xn={1,2,…,n−1}，规定函数φ(n)的值等于集合Xn中与n互质的正整数的个数，

则不超过5且与5互质的正整数有1，2，3，4，则φ(5)=4；

不超过7且与7互质的正整数有1，2，3，4，5，6，则φ(7)=6；

不超过35且与35互质的正整数有1，2，3，4，6，8，9，11，12，13，16，17，18，19，22，23，24，26，27，29，31，32，33，34，则φ(35)=24；

(2)设p，q是两个不同的质数，则φ(pq)=φ(p)⋅φ(q)，证明如下：

p，q是两个不同的质数，得φ(p)=p−1，φ(q)=q−1，

在不超过pq−1的正整数中，p的倍数有q−1个，q的倍数有p−1个，

于是φ(pq)=pq−1−(p−1)−(q−1)=pq−p−q+1=(p−1)(q−1)，

所以φ(pq)=φ(p)⋅φ(q)；

证明：(3)某RSA加密